锐角三角函数框架.doc

1、 三角函数定义
对 边
a
c
b
ɑ

斜边EBIAe
sinɑ= =a/c
邻 边

斜边EBIAe
cosɑ= =b/c
对 边

邻 边
tanɑ= a/b
2、 常见的三角函数值
45
1
30
√2
1
60
√3
1
2
2
1
√3

30 45 60

sinɑ 1/2 √2/2 √3/2
cosɑ √3/2 √2/2 1/2
tanɑ √3/3 1 √3
1
1
1/√3
1
2/√3
1/√2
1.√2
√3/2
1/2

例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

①＝______， ＝______；
②＝______， ＝______；
③＝______， ＝______．

例2．特殊角的三角函数值.
a
sina
cosa
tana
30°

45°

60°

例3、（2014•长宁区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（　　）
A．
B．
C．
D．

3、三角函数值与角度的关系
0＜ɑ＜90
sinɑ = 对边 /斜边(不变)
cosɑ =邻边 /斜边(不变)
tanɑ =对边 /邻边

例1、B为锐角，且sinB>，那么∠B（ ）．
A．小于30° B．大于30° C．大于45°且小于60° D．大于60°
例2、若sinA=，则A的取值范围是（ ）．
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
例3、（2014•高港区二模）若α为锐角，且cosα＝，则m的取值范围是 ．
例4、已知∠A为锐角，且cosA≤，那么∠A的范围是 ．
例5、比较大小：①tan21° tan31°；②sin21° cos21°；
③cos21° cos22°．

4、 三角函数之间的关系B
C
A

（1） 互余关系sinA=cos(90-A)=cosB=BC/AB
（2） 平方关系sin2A+sin2B=(AC2+BC2)/AB2=1
（3） 商数关系tanA=sinA/cosA
（4） 倒数关系tanA*tanB=1
例8、（2012•嘉定区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则sinA的值为 ．
例9、（2003•陕西）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA= ．
例10、（2014•普陀区一模）已知α为一锐角，且cosα=sin60°，则α= 度．
例11、求适合下列各式的锐角：①2sinα=1； ②2cosα-=0
例12、等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，求底角∠B的三角函数值。
5、15°、75°、22.5°三角函数的求法
sin15°=cos75°=AB/AC=1/(√6+√2)
cos15°=sin75°=BC/AC=(2+√3)/ (√6+√2)
tan15°=AB/BC=1/(2+√3)=2-√3
tan75°=BC/AB=2+√3

D
30°
B
A
√3

C
1
√6+√2

15°
2
2

1/√2
B
22.5°
1
B
A
C
1/√2
C
1/2
1/2
D
1
3√2/4
4+2√2
√2
D
√2
1
A
√5/2
45°
45°
ɑ
β
tan22.5°=AC/BC=1/(1+√2)= √2-1

sinɑ=CD/AD=√5/5 sinβ=DE/AD
cosɑ=AC/AD=2√5/5 cosβ=AE/AD
tanɑ= CD/AC=1/2 tanβ=DE/AE
E

6、 求三角函数
如何找等角
1、 等腰三角形：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
2、 直角三角形中的互余角。
3、 同弧所对的圆周角相等。
4、 平行，同位角、内错角相等。
5、 全等、相似，对应角相等。

7、 做辅助线的思路
（1） 有中点：

（2） 有角平分线：

（3） 有圆

例1、（2014•白银）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= ．
例2、（2014•攀枝花）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA-1|+（cosB-）2=0，那么∠C= ．
例3、（2014•靖江市模拟）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，如果∠BAC=120°，那么cosB= ．

例4、（2014•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（　　）
A． B． C． D．

例5、（2014•义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（　　）
A．1
B．1.5
C．2
D．3

例6、（2014•威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　）
A．
B．
C．
D．

例7、（2014•兰州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3）和点B（7，O），则tan∠AB0的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．

例1、（2014•黄浦区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高，若AB=1，则线段BD的长是（　　）
A．sin2A
B．cos2A
C．tan2A
D．cot2A

例2、如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，
垂足点E．已知AC=15，cosA=．
（1）求线段CD的长； （2）求sin∠DBE的值

例3、（2014•上海）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD=，求BE的值．

例4、（2014•花都区一模）如图，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，点D是斜边AB的中点，点E在CB的延长线上，且CD=BE．求AC的长和∠E的度数．

例5、（2014•海淀区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，以AC为边在△ABC的外部作等边△ACD，连接BD．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）求BD的长．

例3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，，AB=a.用含a及、的三角函数的式子表示CD的长。

例4、（2010•柳州）如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．
（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．
（2）若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半径．

（五）实际问题应用

例2、（2014•呼和浩特）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）

（六）特殊角及其函数的应用
例1、（2014•石景山区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=2，∠A=∠C=60°，DB⊥AB于点B，∠DBC=45°，求BC的长．

例2、（2013•丰台区二模）如图，四边形ABCD中，CD=，∠BCD=90°，∠B=60°，∠ACB=45°，∠CAD=30°，求AB的长．

例3、（2013•平谷区一模）已知：如图，四边形ABCD中，∠A=90°，∠D=120°，E是AD上一点，∠BED=135°，BE=，DC=，DE=2−．求：
（1）点C到直线AD的距离；
（2）线段BC的长．

例4、（2013•门头沟区二模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，BC⊥AC，AC与BD交于点E，AD=6，CE=，tan∠BEC=，求BC、DE的长及四边形ABCD的面积．

21.(10分) 如图9，已知，在△ABC中，∠ABC=，BC为⊙O的直径， AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F.
（1）求证：ED是⊙O的切线.
（2）如果CF =1,CP =2，sinA =，求⊙O的直径BC.

图9

26．（本小题满分10分）
如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F。

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.
25．（9分）如图，在中，是的中点，以为直径的交的三边，交点分别是点．的交点为，且，．
（1）求证：．
（2）求的直径的长．
（3）若，以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，求直线的函数表达式．
E
A
D
G
B
F
C
O
M
第25题图

A
B
C
E
D
O
M
已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=.
(1) 求证：；
(2) 求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值.

如图（8）所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O 上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
·
（1）求证：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

图（8）