高三数学理二轮专题复习：圆锥曲线人教实验版(B).doc

高三数学理二轮专题复习：圆锥曲线人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：高三二轮专题复习：圆锥曲线二. 高考要求（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；（4）了解圆锥曲线的初步应用。三. 热点分析高考圆锥曲线试题一般有3题（1个选择题, 1个填空题, 1个解答题）, 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习中应充分重视。【典型例题】例1. 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆的方程、离心率、准线方程及准线间的距离.【解析】设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c4.则所求的椭圆的方程为或，离心率；准线方程，两准线的距离为16.例2. 椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且P F1F1F2,| P F1|=,| P F2|=.（I）求椭圆C的方程；（II）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。【解析】解法一：（）因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2c2=4， 所以椭圆C的方程为1.（）设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+（y1）2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 从而可设直线L的方程为 y=k（x+2）+1,代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k27=0.因为A，B关于点M对称. 所以 解得，所以直线L的方程为 即8x-9y+25=0. （经检验，符合题意）解法二：（）同解法一. （）已知圆的方程为（x+2）2+（y1）2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）.由题意x1x2且由得 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2，代入得，即直线L的斜率为，所以直线L的方程为y1（x+2），即8x9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）例3. 已知圆C1的方程为，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。【解析】由设椭圆方程为设 又 两式相减，得 又所以直线AB的方程为即将由。得，解得 故所求椭圆的方程为例4. 过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.【解析】解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A（x1, y1），B （x2, y2）在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，（x12x22）+2（y12y22）=0, 设AB中点为（x0, y0）,则kAB =,又（x0, y0）在直线y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,设l的方程为y=x+1.右焦点（b,0）关于l的对称点设为（x, y）,由点（1,1b）在椭圆上，得1+2（1b）2=2b2,b2=.所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1.解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k（x1）,将l的方程代入C的方程，得（1+2k2）x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k（x11）+k（x21）=k（x1+x2）2k=.直线l：y=x过AB的中点（）,则,解得k=0，或k=1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F（c,0）关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=（x1）,即y=x+1,以下同解法一.解法三：设椭圆方程为直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。故可设直线，则， 所以所求的椭圆C的方程为：即：例5. 如图，已知P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.【解析】以O为原点，P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为=1（a0,b0）由e2=，得.两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=x设点P1（x1, x1）,P2（x2,x2）（x10,x20）,则由点P分所成的比=2,得P点坐标为（）,又点P在双曲线=1上，所以=1,即（x1+2x2）2（x12x2）2=9a2, 整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4,b2=9故双曲线方程为=1.例6. 过椭圆C：上一动点P引圆O：x2 +y2 =b2的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。（1） 已知P点坐标为（x0，y0 ）并且x0y00，试求直线AB的方程；（2） 若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；（3） 椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。【解析】（1）设A （x1，y1），B （x2， y2）切线PA：，PB：P点在切线PA、PB上，直线AB的方程为（2）在直线AB方程中，令y=0，则M（，0）；令x=0，则N（0，） 2b=8 b=4 代入得a2 =25, b2 =16椭圆C的方程为： （注：不剔除xy0，可不扣分）（3） 假设存在点P（x0，y0）满足PAPB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA| 又P点在椭圆C上 由知xab0 a2 b20当a22b20，即ab时，椭圆C上存在点P，由P点向圆O所引的两条切线互相垂直；当a22b20，即bab0）,其半焦距c=6,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为（II）点P（5,2）、F1（-6,0）、F2（6,0）关于直线y=x的对称点分别为点P（2，5）、F1（0，-6）、F2（0，6）.设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为10. 解: （I）椭圆方程可写为: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 （x0,y0）. y=2（0x1），y = 设P（x0,y0）,因P在C上,有0x01,y2） （）| 2= x2+y2, y2= =4+ , 2= x21+54+5=9.且当x21= ,即x=1时,上式取等号.故的最小值为3.11. 解：（1）设过点T（3,0）的直线交抛物线y2=2x于点A（x1,y1）、B（x2,y2）.当直线的斜率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A（3,）、B（3,）. =3；当直线的斜率存在时,设直线的方程为，其中，由得 又 ， ， 综上所述，命题“如果直线过点T（3,0），那么=3”是真命题；（2）逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T（3,0）.该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A（2,2），B（,1），此时=3,直线AB的方程为：，而T（3,0）不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A （x1,y1）、B （x2,y2） 满足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点（3,0）；如果y1y2=2，可证得直线AB过点（1,0）,而不过点（3,0）.12. 解：（）由已知条件，得F（0，1），0. 设A（x1，y1），B（x2，y2）. 由，即得 （x1，1y）（x2，y21），将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得 y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx. 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是yx1（xx1）y1，yx2（xx2）y2，即yx1xx12，yx2xx22. 解出两条切线的交点M的坐标为（，）（，1）. 所以（，-2）（x2x1，y2y1）（x22x12）2（x22x12）=0所以为定值，其值为0. （）由（）知在ABM中，FMAB，因而S|AB|FM|. |FM|. 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y222（）2. 于是 S|AB|FM|（）3，由2知S4，且当1时，S取得最小值4. 13、解：设椭圆方程为（）由已知得所求椭圆方程为.（）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由，消去y得关于x的方程：由直线与椭圆相交于A、B两点，0解得又由韦达定理得原点到直线的距离.解法1：对两边平方整理得：（*），整理得：又，从而的最大值为，此时代入方程（*）得所以，所求直线l的方程为：.解法2：令，则当且仅当即时，此时.所以，所求直线方程为解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，由解法一知且，解法1：=.下同解法一.解法2：=下同解法一.用心 爱心 专心