子式和代数余子式.doc

3.4 子式和代数余子式 行列开的依行依列展开
教学目的：
1. 掌握计算行列 式的能力
2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧
教学内容:
1. 子式和余子式:
定义1 在一个n阶行列式D中任意取定k行k列.位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式.
例1 在四阶行列式

D=
中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式

M=
定义2 n(n>1)阶行列式

D=
的某一元素余子式指的是在D中划去所在的行和列后所余下的n-1阶子式.
例2 例子的四阶行列式的元素

=

定义 3 n阶行列式D的元素的余子式附以符号后,叫做元素的代数余子式.
元素的代数余子式用符号来表示:
=.
例3 例1中的四阶行列式D的元素的余子式是

==-=-
现在先看一个特殊的情形，就是一个n阶行列式的某一行（列）的元素最多有一个不是零的情形。
定理3.4.1若在一个n阶行列式

D=

中，第I行（或第j列）的元素除a外都是零，那么这个行列式等于a与它代数余子式A的乘积：
D= aA
证 我们只对行来证明这个定理。
1） 先假定D的第一行的元素除a外都是零。这时
D=
我们要证明，
D=aA= a（-1）M= aM，
也就是说，

D= a （1）
子式M的每一项都可以写作
aa……a，
此处j，j，…，j是2，3，…n这n-1个数码的一个排列。我们看项（1）与元素a的乘积
a aa……a，
这一乘积的元素位在D的不同的行与不同的列上，因此它是D的一项。反过来，由于行列式D的每一项都含有第一列的一 个元素，而第一行的元素除a外都零，因此D的每一项都可以写成（2）的形式，这就是说，D的每一项都是a与它的子式M的某一项的乘积，因此D与aM有相同的项，
乘积（2）在D的符号是
（-1）=（-1）
另一方面，乘积（2）在aM中的符号就是（1）在M中的符号。乘积（1）的元素既然位在D 的第2，3，…，n行与第j，j，…j列，因此它位在M的第1，2，…，n-1行与j-1，j-1，…，j-1列，所以（1）在M中的符号应该是（-1）。显然，л（j…j）=л（（j-1）…（j-1））。这样，乘积这（2）在aM中的符号与D中的符号一致。所以
D= aM
现在我们来看一般的情形。设
D=
我们变动行列式D的行列，使a位于第一行与第一列，并且保持a的余子式不变。
为了达到这一目的，我们把D的第I行依次与第I-1，I-2，…2，1行变换，这样，一共经过了I-1次交换两行步骤，我们就把D的第I行换到第一行的位置。然后在把第j列依次与j-1，j-2，…，2，1列交换，一共经过j-1次交换两列的步骤，a就被换到第一行与第一列的位置上，这时，D 变为下面形式的行列式：
D=
是由D经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而得到的.由命题3.3.3,交换行列式的两行或两列,行列式改变符号.因此
D==.
在中,位在第一行与第一列,并且第一行的其余元素都是零;由1),

D= =
因此
D====.
这样,定理得到证明.
定理 3.4.2 行列式D等于它任意一行(列)的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的和.
换句话说,行列式有依行或依列的展开式:
D=(I=1,2,…，n)， （ 3）
D=(j=1,2,…，n)。 （4）
在证明这一定理这前，我们先注意以下事实：
设

= ，=

是两个N阶行列式，在这两个行列式中除去第I行外，其余的相应行都不得相同。那么，的第I行的对应元素有相同的代数余子式。事实上，的子式是划去的第I行第J列后所得的N-1阶行列式。由于与只有第I行不同，所以划去这两个行列式的第I行和第J列，我们得到同一的行列式。因此与的子式相同，而它们的代数余子式也相同。
显然对列来说，也有同样的事实。
现在我们来证明定理3.4.2.我们只对行来证明,换句话说,只证明公式(3).公式(4)的证明是完全类似的.
先把行列式D写成以下形式:

D=
也就是说,把D的第I行的每一元素写成N项的和.根据命题3.3.9,D等于个行列式的和:
D= +
+…+ .

在这N个行列式的每一个中,除了第I行外,其余的行都不得与D
的相应行相同。因此，每一行列式的第行的元素代数余子式与D的第行的对应元素的代数余子式相同。这样，由定理3.4.1，

以下定理在某种意义下和定理3.4.2平行。
定理3.4.3 行列式

的某一行（列）的元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。
换句话说：
（5）
（6）
证 我们只证明等式（5）。看行列式

的第行与第行完全相同，所以。另一方面，与D仅有第行不同，因此的第行的元素的代数余子式与D的第行的对应元素的代数余子式相同。把依第行展开，得

因而

例4 计算四阶行列式

在这个行列式里，第三行已有一个元素是零。由第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得

根据定理3.4.1

把所得三阶行列式的第一行加到第二行，得

所以D=40。
例5 计算阶行列式

按第一列展开，得

这里的第一个阶行列式和有相同的形式，把它记作；第二个阶行列式等于。所以

这个式子对于任何都成立。因此有

但。所以
例6 计算行列式

这个行列式叫做一个阶范得蒙（Vandermonde）行列式。
由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以，得

根据定理3.4.1

提出每一列的公因子后，得

最后的因子是一个阶的范得蒙行列式，我们用代表它：

同样得

此处是一个阶的范得蒙行列式。如此继续下去，最后得