高中数列通项公式求法及数列求和.doc

数列的综合应用【教学目标】：1、掌握常见的求数列通项的一般方法；2、用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。【教学重难点】：1、掌握常见的求数列通项的一般方法；2、用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题3、灵活应用等差数列、等比数列的定义，把非等差或等比数列的问题，转化成等差或等比数列问题来 解决.4、用数列知识对数列应用题进行正确的建模。【教学过程】知识要点梳理知识点一：求数列通项公式的一般求法1公式法：若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.若已知数列的前n项和公式，则。2观察法：观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳找出通项公式。（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号 n之间的关系。（2）熟记以下数列的前几项：，。（3）项若正负相间，注意用或表示。3累加法：利用恒等式求通项公式的方法；形如（为可求和的等差或者等比数列）的递推数列求通项公式常用此法。4累乘法：利用恒等式求通项公式的方法；形如的递推数列求通项公式常用此法。5转化法：通过对递推关系式进行适当变形，将非等差（等比)数列转化为与等差数列或等比数列有关的数列形式，从而求得通项公式的方法。常用转化途径：（1）把数列的每一项都取倒数，构成一个新的数列，看新数列是否为等差或者等比 数列；（2）一般地，对递推式为，（为常数，）的数列,均可用待定 系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设得 ，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列 的通项。6数列通项与的关系法：如果已知条件是关于、的关系式，可利用，将条件转化为仅含或的关系式再根据关系式想法求通项公式。注意分n=1和n2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。知识点二：数列应用题在我们生活中经常遇到利息、分期付款和优化等实际问题.1.复利的概念：银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.2.分期付款采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确以下几点：(1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定时间内分几期付款，选择什么还款方式；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息按复利计算.在选择分期付款方案时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较，优化选择方案.规律方法指导求数列通项公式的常用方法总结：1公式法：若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.若已知数列的前n项和公式，则。2观察法：观察数列特征，找出各项共同的构成规律，用不完全归纳法求通项公式。3累加法：已知（可求和），求通项公式常用此法。4累乘法：已知，求通项公式常用此法。5转化法：通过对递推关系式进行适当变形构造，得到一个新数列为等差数列或等比数列。一般地，对递推式为，（为常数，）的数列,均可用待定系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项。6数列通项与的关系法：已知、的关系式，利用，将条件转化为仅含或的递推关系式，再根据关系式选用以上方法求通项公式。注意分n=1和n2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。7先猜后证法：根据已知条件求出前几项，猜出通项，再用数学归纳法证明。类型一：观察法求数列的通项公式1写出下面各数列的一个通项公式：（1）1，；（2）2，11，101，1001，10001，；（3）3，0，3，0，3，；解析：（1）各项正负相间，可用表示； 各项分母是21，221，231， 数列的一个通项公式为。（2）各项为100+1，101+1，102+1，103+1， 数列的一个通项公式。（3）因为1，0，1，0，的通项为， 3，0，3，0，的通项公式为。总结升华：（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号 n之间的关系。（2）熟记以下数列的前几项：，。（3）项若正负相间，注意用或表示。举一反三：【变式】写出下面各数列的一个通项公式：（1），。（2）8，88，888，8888，88888，【答案】（1）， 数列的通项公式为。（2）将数列改写为 .类型二：累加法求数列的通项公式2求分别满足下列条件的数列的通项公式.（1），； （2），.思路点拨：分析（1）题的结构，可以判断数列是等差数列，因此可以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等差数列，但可以利用等差数列的通项公式的推导过程中的方法（叠加法）求解.解析：（1），数列是等差数列，且首项为，公差为 .（2）， 当时， ， ， ， 将上面个式子相加得到： （）， 当时，符合上式 故.总结升华：1. 在数列中，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.2当数列的递推公式是，可以利用累加的方法求数列的通项公式.举一反三：【变式1】数列中，求通项公式.【答案】当时，将上面个式子相加得到：（），当时，符合上式故.【变式2】数列中，求通项公式.【答案】当时，将上面个式子相加得到：（），当时，符合上式故.类型三：累乘法求数列的通项公式3求分别满足下列条件的数列的通项公式.（1），； （2），.思路点拨：分析（1）题的结构，可以判断数列是等比数列，因此可以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等比数列，但可以利用等比数列的通项公式的推导过程中的方法（累乘法）求解.解析：（1），数列是等比数列，且首项为，公比为 .（2）， 当时， ， 将上面个式子相乘得到： ， （）， 当时，符合上式 故.总结升华：1在数列中，若为常数，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关 于的式子，则数列不是等比数列.2当数列的递推公式是，可以利用累乘的方法求数列的通项公式.举一反三：【变式1】数列中，求通项公式.【答案】时，当时，符合上式【变式2】已知数列中，（nN+），求通项公式.【答案】由得， ，当时， 当时，符合上式类型四：转化法求通项公式4数列中，,，求.思路点拨：对两边同除以得，得为等差数列。把求数列的通项公式转化为求等差数列的通项公式。解析：，两边同除以得，成等差数列，公差为，首项， ，.总结升华：对递推公式可变形为（为非零常数）的一类数列，两边同时除以，得，即把数列的每一项都取倒数，构成一个新的数列，而恰是等差数列，其通项易求，先求的通项，再求的通项.举一反三：【变式1】数列中，,，求.【答案】， 成等差数列，公差为，首项， ， .【变式2】在数列中，a1=1，求。【答案】由得。 是首项为1，公差为的等差数列， ， 。5已知数列中, ()，求的通项公式.思路点拨：把整理成，得数列为等比数列。解析：方法一：待定系数法()，,令，则，是首项为且公比为的等比数列，, 方法二：迭代法 = 。方法三：阶差法 ，-得:成等比数列且公比为，首项，,当时 .当时，符合上式总结升华：（1）递推公式为（为常数）的数列是一类常见的递推数列，称之为线性递推数列。 当c=1，d=0时它是常数列；当c=1，d0时它是等差数列；当c0，d=0时它是等比数列。（2）一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,均可用以下 几种方法求通项公式。 待定系数法： 设得，利用已知得即，从而将数列 转化为求等比数列的通项。 迭代法 阶差法。实质是通过通项换元引入一个辅助数列，将问题转化为一个基本数列等比数列的 问题，通过对辅助数列求和而得到原数列的通项公式，这一方法充分体现了数学中的换元思想 和转化思想。举一反三：【变式1】已知数列中，求【答案】，令，则是首项为公比为的等比数列，【变式2】已知数列中，求【答案】令，则，即，为等比数列，且首项为，公比，故.【变式3】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】，设，则，即，数列是以为首项，3为公比的等比数列，.。类型五：与的关系式的综合运用6数列满足，（1）用表示 （2）证明：数列是等比数列；（3）求和的表达式.思路点拨：由推出和，要证明是等比数列，只需利用定义证明是常数，这需要探求与的关系，再由等比数列的前n项和反过来求或直接利用关系式求.解析：（1）， 当时，即 当时 , ， 所以.（2）证明：,，显然, （常数）， 所以数列是等比数列，首项为，公比.（3) 由（2）知：是以2为公比的等比数列，首项为， ，即， , 方法一： 方法二： 数列的前n项和： ， 即， . 方法三： ， .总结升华：与的关系式的综合运用，如果已知条件是关于、的关系式，可利用n2时，将条件转化为仅含或的关系式。注意分n=1和n2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。把数列的递推公式进行适当的变形，使之出现熟悉的等差数列或者是等比数列，从而利用已知的通项公式求出递推数列的通项公式.举一反三：【变式1】如果数列的前n项和为，那么数列的通项公式是（ ）A B C D【答案】D，n2时，即是等比数列且a1=6。【变式2】已知数列中，是数列的前n项的和，且，求。【答案】将变形为。 将（n2）代入并化简，得。 由已知可求得S1=a1=1。 是等差数列，公差为1，首项为1。 。 ，。 n2时，。 而n=1时，a1=1也适合上式。 的通项公式。【变式3】已知数列，（1）设，证明是等比数列并求；（2) 设,证明是等差数列并求.（3）求数列的通项公式.【答案】（1）, 当时， 当时， ， ，即(), 数列是等比数列，首项为,公比为. .（2）由(1)知: ,. ,即， ，即, 数列为首项,公差为的等差数列. .（3）由（2）知：，所以【变式4】在数列中，若存在常数，使得对任意的正整数，均有成立.（1）求的值；（2）求证是等差数列.【答案】（1）由已知得， 又，得或. 若，则当时，即，得， 这与已知矛盾， 当时，得， ，.（2）由（1）知， ， 解得，即. 所以， 即. 又因为（常数）， 所以数列成等差数列.求和：