资源描述
七章 实数的完备性
判断题：
1. 1. 设为开区间集,则H是(0, 1 )的开复盖.
2. 2. 有限点集没有聚点.
3. 3. 设S为 闭区间 , 若则 必为S的聚点.
4. 4. 若存在, 则点集只有一个聚点.
5. 5. 非空有界点集必有聚点.
6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.
7. 7. 如果闭区间列满足条件 , 则闭区间套定理成立.
8. 8. 若在上一致连续, 则在上连续.
9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.
10. 10. 设为R上连续的周期函数, 则在R上有最大值与最小值.
答案: √√√√×××√√√
证明题
1. 1. 若A与B是两个非空数集,且有 , 则.
2. 证明: 若函数在单调增加, 且, 有(其中M是常数), 则 使 .
3. 证明: 若E是非空有上界数集, 设 且 , 则 存在数列, 有 .
4. 证明: 函数在开区间一致连续函数在开区间连续, 且与都存在.
5.设为单调数列,证明: 若存在聚点,则必是唯一的, 且为的确界.
6. 证明: 在上一致连续.
7. 证明: 为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列.
8. 设在上连续, 又有, 使 . 证明: 存在, 使得 .
答案
1.证明: 设 用反证法. 假设 即 有, 一方面, 则存在 另一方面, 则. 于是, 有, 与已知条件矛盾, 即 .
2. 证明: 已知数集 有上界, 则其存在上确界, 设
由上确界的定义, , 使得
; 或
有 或 . 即 .
3. 证明: 已知 , 由确界定义,
, 有
, 有 , 并且
, 有 , 并且
于是, 得到数列. 有 .
4. 证明: 已知 在一致连续,
即, 有
显然 在连续, 且
, 有 .根据柯西收敛准则,函数在存在右极限同理可证函数在存在左极限.
已知与存在, 将函数在作右连续开拓, 在作左连续开拓, 于是函数在闭区间连续, 从而一致连续, 当然在也一致连续.
5. 证明: 不妨设递增.
(1) 先证若存在聚点必唯一. 假定都是的聚点, 且. 取, 由是聚点, 必存在又因递增, 故时恒有
于是, 在中至多含的有限多项, 这与是的聚点相矛盾. 因此的聚点存在时必唯一.
(2) 再证上确界存在且等于聚点.
为上界. 如果某个, 则 时恒有, 取 则在内至多含的有限多项, 这与为的聚点相矛盾.
对由聚点定义, 必存在使. 由定义
.
6. 6. 证明: 令
由于 , 而 时, 所以
在上连续, 又因 存在, 所以 在上一致连续,从而在上也一致连续, 即 在上一致连续.
7. 7. 证明: 设为有界数列, 则的任一子列也有界, 由致密性定理知必存在其收敛子列.
设 的任一子列都存在其收敛子列. 若无界, 则对, 必存在正整数使得; 对存在正整数使得一般地,对, 存在正整数使得. 于是得到的子列, 它满足, 从而的任一子列必须是无穷大量, 与充分性假定相矛盾.
8. 8. 证: 因为有界数列, 故 必有收敛子列, 设 ,
由于, 故 . 一方面, 由于在连续有再由归结原则有 ; 另一方面, 由
及 是的子列有
因此
第八章 不定积分
填空题
1. .
2. 若函数与是同一个连续函数的原函数, 则与之间有关系式_______________.
3. 若 且 , 则
4. 若, 则
5.
6. 若， 则作变换___________计算.
7. .
8.
9. 若, 则 .
10. 过点斜率为的曲线方程为___________.
答案:
1. . 2. (C为任意常数). 3. .
4. . 5.. 6. .
7. . 8. . 9.
10.
判断题:
1. 1. 有理函数的原函数是初等函数.
2. 2.
3. 3. 若函数存在一个原函数,则它必有无限多个原函数.
4. 4. 设是在区间I上的原函数,则在区间I上一定连续.
5. 5. 函数的不定积分是它的一个原函数.
6. 6. 的有理函数分解式为:
7. 7.
8. 8. 若函数在区间I上连续, 则它在区间I上必存在原函数.
9. 9. 存在一些函数, 采用不同的换元法, 可以得到完全不同的不定积分.
10. 10. 若, 则
答案: 1---10 √√√√××√√×√
选择题：
1．下列等式中（ ）是正确的
2．若满足则 ）
3．若则（ ）
4．设函数在上的某个原函数为零，则在上 （ ）
A．的原函数恒等于零. B. 的不定积分等于零.
C. 不恒等于零但其导数恒等于零. D. 恒等于零.
5. 下列凑微分正确的是 ( )
6. ( )
.
7. 若, 则 ( )
8. 函数的一个原函数是 ( )
9. 若, 则( )
10. 下列分部积分中对和选择正确的有 ( )
答案：1—10 DCCDADCBBC
计算题:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. . 8.
9. . 10.
答案:
1. 1. 原式=
.
2. 2. 原式
3.
4.
5. .
6.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
第九章 定积分
一、 一、 选择题（每题2分）
1、若，则（ ）
（A）1 （B） （C）0 （D）
2、若是奇函数，且在上可积，则下列等式成立的有（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3、设在上连续，则下面式子中成立的有（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4、设为连续函数，，则=（ ）
（A） （B）0 （C）1 （D）2
5、函数在上连续是存在的（ ）
（A） （A） 必要条件 （B）充要条件 （C）充分条件 （D）无关条件
6、在上连续，，则正确的是（ ）
（A）是在上的一个原函数；
（B）是在上的一个原函数；
（C）是在上唯一的原函数；
（D）是在上唯一的原函数
7、=（ ）
（A）0 （B）2e-2 （C） （D）
8、已知，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、下列关系中正确的有（ ）
（A） （B）
（C） （D）以上都不正确
10、（ ）
（A）（B）（C）（D）
11、设，，则（ ）；
（A） （B） （C）（D）
12、下列积分中可直接使用牛顿—莱布尼兹公式计算其值的是（ ）；
（A） （B） （C） （D）
13、设为连续函数，则积分（ ）
（A）与有关 （B）与有关
（C）与有关 （D）仅与有关
14、（ ）
（A） （B）
（C） （D）
15、下列积分中，使用换元积分正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答案：ACACC ACCBD BAAAC
二、 二、 填空题（每题2分）
1、已知，则 .；
2、比较大小： .
3、= ；
4、函数在区间上连续且平均值为4，则= ；
5、设为连续函数，则 ；
6、 ；
7、 ；
8、 ；
9、设为连续函数，且则= ；
10、设，若，则 ；
11、已知，则 ；
12、 ；
答案：1、2、3、 4、12 5、 6、 7、
8、 9、 10、 11、 12、
三、计算题 （每题5分）
1、
解：令，则，
=
=
=
2、
=
=
3、
=
=
=
4、
解：令，
==
=
5、=
=
=
6、==
=
=
则 =
7、
解：为奇函数，且积分区间关于原点对称
8、=
==
=
9、=
解：令，
=
===
10、
解：令，，则，
==
==
11、
解：令,则,
==
=
12、=+
= …
=
13、
解：令，则，，
=
==
14、=
=
15、=
=
五、证明题（每题5分）
1、 1、 证明：若在上可积，在上连续，且除有限个点外有，则有
证：设除
即
可设
在上应用N-L公式知:
2、 2、 证明：若增加若干个分点后所得到的分割，则
证：由性质2知 。故
，即
3、 3、 证明：若在上可积，，则在上也可积。
证：因为在上可积，，由定理10.10，在上可积，又，再由10.10，在上也可积
4、设均为定义在上的有界函数。证明：若仅在中有限个点处，则当在上可积时，在上也可积，且。
证：设，则是上只有有限个点处不为零的函数，由定理10.5，在上可积，从而也在上可积。对上任何分割，取每个上的介点，使，就有
由在上可积性，知
因此
5、设在上有界，，。证明：若在上只有
为其间断点，则在上可积。
证明：设，，任给，
由知存在，使得时，，从而在上至多只有有限个间断点。由定理9.5，知：存在上的分割使得
记 的分点并添上点作成的上的分割，则有
故由定理知：在上可积
6、证明：若在区间上有界，则
证：记
i）若，则，有
结论成立
ii)若则由确界定义知
a），有 ，
故
b），则
由此 且
即
由 a），b）得
7、设在上连续，且不恒等于零，证明
证：因为在上连续，故在上连续，且
又由于在不恒等于零，则至少存在一点使得，故有
，所以
8、设在上连续，且，证明：
证：对任意的，有
=
=
而当即
故
9、设是定义在上的一个连续周期函数，周期为，证明：
证：由于本题讨论时的极限问题，不妨假设
对任意的，存在，且
=
=
当且为常数，为有界量，故有
==
10、设为连续函数，证明，
并利用此等式求
证明: 令,则,,
=
=
=
而 =
===
第十章 定积分的应用
一、单选题（每题2分）
1、与所围图形的面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、；两曲线， 相交于，，这两曲线所围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积可表示为（ ）
A、 B、
C、 D、
3、将曲线与轴和直线所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积可表示为（ ）
A B、 C、 D、
4、若利用极坐标计算曲线和直线所围成的平面图形的面积，可用定积分表示为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、曲线上从点到点的一段弧长为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、曲线和直线所围成的平面图形的面积（ ）
A、B、C、 D、
7、曲线，直线和轴所围成的平面图形被直线分为面积相等的两部分，则（ ）
A、 B、 C、 D、
8、曲线与轴所围平面图形面积可表示为（ ）
A、 B、
C、 D、
9、曲线与轴所围平面图形，绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、射在区间上连续，且为常数），则曲线，所围成平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
11、双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为（ ）
A、 B、 C、 D、
12、曲线所围成的公共部分的面积（ ）
A、 B、 C、 D、
13、曲线所围成的图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积（ ）
A、 B、 C、 D、
14、设圆周所围成的面积为，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
15、由曲线及轴所围成的图形面积是（ ）
（A）（B）（C）（D）
答案： CACAB BBCCB ADBBC
二、填空题（每题2分）
1、函数在区间上连续且平均值为4，则= ；
2、曲线与轴所围成的图形的面积 ；
3、介于之间由曲线所围成的图形的面积 ；
4、把抛物线及直线所围成的图形绕轴旋转所得旋转物体的体积 ；
5、对数螺线自到的弧长 ；
6、与直线所围成的图形的面积 ；
7、曲线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积为 ；
8、由曲线与所围成的平面图形的面积 ；
9、由圆周所围介于之间的面积 ；
10、曲线介于之间一段曲线弧的长度 ；
11、设质点由静止开始沿直线运动，其速度，其中为时间，则质点出发后内所走的路程 m;
12、曲线与直线所围成的图形的面积 ；
13、曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积是 ；
答案：1、 2、 3、 4、 5、
6、 7、 8、 9、 10、
11、 12、 13、
三、计算题（每题10分）
1、求曲线与轴所围成的图形的面积；
解：的零点：
从而
=
2、 2、 线一拱的弧长；
解：，，所以
从而
3、 3、 曲线所围成的平面图形的面积，并求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积；
解：如图，所求面积
所以
平面绕轴旋转一周所得的旋转体的体积
从而所求旋转体的体积为
4、 4、 求由曲线和直线所围图形分别绕直线及轴旋转所成旋转体的体积；
解：（1）绕直线旋转
（2）绕轴旋转
5、 5、 求曲线的全长；
解：，，所以
6、 6、 用铁锤将铁钉击入木板，设木板对铁钉之阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤击第一次时能将铁钉击入木板内，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时能把铁钉又击入多少？
解：由题意，击入木板深度为时，铁钉所受阻力（为比例常数），功元素为，击第一锤所做功为，设击第二锤时，铁钉击入木板深度为，则击入第二锤所做功为，得 =
即 所以
故铁锤击第二次时能把铁钉击入cm
7、已知曲线为星形线：。求：
（1） （1） 所围成图形的面积；（2）绕轴旋转所得的旋转体的体积；
解：（1）由对称性得，
=
=
（2）
=
8、 8、 由曲线与所围成平面图形的面积，并求此图形绕轴旋转的旋转体的体积；
解：双曲线与抛物线的交点为
9、 9、 计算由所围成的平面图形的面积。
解：
=++
==
10、求由抛物线与直线所围成的图形的面积；
解：抛物线与直线的交点坐标为和
选为积分变量，，
有
则
11、求由抛物线与直线所围平面图形的面积
解：抛物线与直线的交点
由得交点
选为积分变量，则
=
12、求抛物线被圆所截下的有限部分的弧长；
解：由解得，
所求弧长为
=
13、计算曲线的弧长；
解：因为 所以，且
故 =
第十一章 反常积分
一、单选题（每题2分）
1、广义积分=（ ）
A、 B、 C、 D、发散
2、广义积分=（ ）
A、 B、 C、 D、发散
3、广义积分=（ ）
A、 B、 C、 D、发散
4、下列广义积分收敛的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、下列广义积分发散的是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、下列积分中（ ）是收敛的
A、 B、 C、 D、
7、下列广义积分发散的是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、（ ）
A、 B、 C、 D、
9、已知，则（ ）
A、 B、 C、 D、
10、广义积分（ ）
A、 B、 C、 D、
11、下列积分中绝对收敛的是（ ）
A、 B、 C、 D、
12、已知广义积分，则下列答案中正确的是（ ）
A、因为在上是奇函数，所以
B、=
C、=
D、发散
13、设广义积分收敛，则（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：BCDCB DAABD ADB
二、判断题（每题2分）
1、 1、 当时，无穷积分条件收敛； （ ）
2、当时，无穷积分绝对收敛； （ ）
3、若无穷积分收敛，而函数在单调有界，
则无穷积分收敛； （ ）
4、若收敛，则； （ ）
5、若在无界，则发散； （ ）
6、若不存在，则发散； （ ）
7、若单调， 收敛，则； （ ）
8、若收敛，则收敛； （ ）
9、若，收敛，则收敛； （ ）
10、如果收敛，在上有界，则收敛；（ ）
11、若收敛，，则收敛； （ ）
12、如果绝对收敛，，则收敛；（ ）
答案：Ö×Ö×× ×Ö×Ö× ×Ö
三、填空题（每题2分）
1、若无穷积分收敛，则 ；
2、若无穷积分收敛，则时，无穷积分 ；
3、设，函数，是其瑕点，且极限，若，则瑕积分 ；
4、设，函数，，且极限，
若，则无穷积分 ；
5、若收敛，则无穷积分 ；
6、当时，无穷积分 ；
7、当时，瑕积分 ；
8、若收敛，且存在极限，则 ；
9、 ； ；
10、设，则常数 ；
11、如果广义积分收敛，则 ；
12、如果广义积分发散，则 ；
答案：1、 2、收敛 3、发散 4、收敛 5、绝对收敛 6、绝对收敛
7、发散 8、 9、； 10、 11、 12、
四、计算题（每题5分）
1、
解：=
=
2、
解：设，则，
有=
3、
解：=
=
4、
解：=
5、
解：=
=
=
6、
解：因为
所以 =
=
7、
解：由
得 =
8、
解：时，
时，
=
故当时，=
时，发散；
9、
解：=
=
=
=
由此求得
10、
解：当时，
当时，
=
则
五、证明题（每题5分）
1、 1、 证明
证：令，则 =
则有
2、 2、 证明收敛，且
证：==
又，而收敛，所以
收敛收敛
而
3、 3、 证明：若在上连续，且收敛，则对任何，有
证：由条件，都存在；再由连续可得
4、 设收敛，证明：（1）若极限存在，则
（2）若在上为单调函数，则
证：（1）设。若，则由极限保号性，，
当时满足
于是有
而这与收敛相矛盾，故。
（2）若在上单调而无界（设为递增而无上界），则，，当时，使。类似于（1）的证明，推知，矛盾。所以在上单调而有界，则存在极限。依据已证得的命题（1），
5、证明：若收敛，且在上一致连续，则必有。
证：由在上一致连续，则（设），当且时，总有，
又因收敛，故对上述，，当时，有
现对任何，取 ，且使。此时有
便有 ，这就证得
6、证明：若绝对收敛，存在，则必定绝对收敛
又若把该为条件收敛，试举出反例说明不一定收敛。
证：由可知当充分大时有
从而又有
再由 收敛，根据比较法则便证得收敛。
例如对于条件收敛的=和
得到 =
由于 收敛。而
显然是发散的，所以也是发散的无穷积分。
7、证明当时，和是等价无穷小量。
证：，又因 ，所以收敛，
又收敛定义又知
这说明当时，它们是无穷小量；下面再来证明它们是等价无穷小量
故结论成立。
8、证明：若收敛，则也必收敛.
证：由于 =，，
而收敛，在上单调有界，
故由 判别法证得收敛.
9、证明：若收敛，为单调函数，则 .
证：不妨设 单调减少。先证当时，。否则 点，使，而时，，从而
得出 发散，与收敛矛盾，故为非负的单调函数.
由收敛，则，使得当 时，恒有
但是
所以当时，，即 或 .
当单调增加时，只要考虑，同样可证得 .
10、设 且单调减少，证明：与敛散性相同.
证：（1）若，由狄利克雷判别法收敛，于是由
==
知 与敛散性相同.
(2) 若,则 发散，从而与同时发散.
第十二章 数项级数
一、单选题（每题2分）
1、 1、 设常数,则级数( )
A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 收敛与发散与有关
2、 2、 设是常数，则级数（ ）
A．绝对收敛 B.条件收敛 C. 发散 D.收敛性与的取值有关
3、 3、 级数（ ）
A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与有关
4、 4、 设常数，且级数收敛，则级数（ ）
A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与有关
5、 5、 设，且级数收敛，常数，
则级数（ ）
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C.发散 D. 敛散性与有关
6、 6、 设，则级数（ ）
A. 与都收敛 B. 与都发散
C. 收敛而发散 D. 发散而收敛
7、 7、 设，则下列级数中肯定收敛的是（ ）
A. B. C. D.
8、 8、 下列各选项正确的是（ ）
A. A. 若和都收敛，则收敛
B. B. 若收敛，则和 都收敛
C. C. 若正项级数发散，则
D. D. 若级数收敛，且，则级数也收敛
9、 9、 若级数和都发散，则（ ）
A. 发散 B. 发散
C. 发散 D. 发散
10、和符合（ ）条件，可由发散推出发散。
A. B. C. D.
[答案]
CCCCA CDACD
二、判断题（每题2分）
1、 1、 若发散，则不趋于零 （ ）
2、 2、 若的部分和数列有界，则收敛 （ ）
3、 3、 与满足，且收敛，则收敛 （ ）
4、 4、 与均收敛，且，则收敛 （ ）
5、 5、 与都收敛，则收敛 （ ）
6、 6、 若给加括号后级数发散，则发散 （ ）
7、 7、 若收敛，发散，则发散 （ ）
8、 8、 发散，发散，则发散 （ ）
9、 9、 若收敛，且，则收敛 （ ）
10、 10、 若收敛，则发散 （ ）
11、 11、 若绝对收敛，则收敛 （ ）
12、 12、 若，则收敛 （ ）
13、 13、 设级数收敛，且绝对收敛，则级数也收敛 （ ）
14、 14、 若级数收敛,,则必有收敛 ( )
15、 15、 若收敛, ,则一定收敛 ( )
[答案]
×××√√ √√××√ √√√×√
三、填空题（每题2分）
1、等比级数(a0)当 时收敛，当 时发散；
2、当p________ 时绝对收敛；
3、若，则级数 ；
4、若与都收敛，则
5、若，则级数
6、若与都收敛，则
7、正项级数的部分和数列有界是正项级数收敛的 条件。
8、若数项级数收敛, 则
[答案]
1、|q|<1, 2、 3、发散 4、收敛 5、发散 6、收敛
7、充分必要 8、0
四、判断下列级数的敛散性（每题5分）
1、
解：由于
即原级数的通项不趋于零，故原级数发散
2、
解：当
则
故原级数发散
3、
解：因为
而级数收敛，则原级数收敛
4、
解：因为 ，当充分大即时成立
而收敛，故原级数收敛
5、
解：由于当时，
因此
同时
于是有
又级数 收敛，则原级数收敛
6、
解：由于
因此 当，即时，原级数发散；当，即时，原级数收敛
7、
解：
当 时，，则原级数收敛
时，，则原级数收敛
时, ,则原级数收敛
时,原级数显然收敛
8、
解：设 则
则数列从开始递减，又，则原级数收敛
9、
解：将此级数分为两个级数
，此二级数都收敛，故原级数收敛
10、
解：因为，而 发散，即不绝对收敛，但是单调递减且 ，所以条件收敛
11、
解：数列当时有
同时 当时有 ，即严格单调递减且有界；
当时，原级数即为，满足莱布尼兹条件，即收敛
当时，有，即严格单调递增且有界；
又由于是收敛的，故由Abel判别法知原级数收敛
12、
解：由于当时，有
即的部分和数列有界，而数列单调减，且，
故由Dirichlet判别法知原级数收敛
五、证明题（每题5分）
1、 1、 设数列有界，证明收敛；
证明：由于有界，则存在M，使得 ，即，
又 收敛，则收敛
2、 2、 设收敛，且，求证 收敛且
证明：由于 =
又收敛，且，则存在且
故 原题得证
3、若与均收敛，且，则收敛；
证明：由于 ，则
又因为 与均收敛，则收敛，由比较判别法知收敛，而，故收敛。
4、设收敛，且级数绝对收敛，则级数绝对收敛；
证明：设级数收敛于，则
其中
从而
则存在M，使对一切有
又 ，而绝对收敛，故绝对收敛
5、设，证明：级数收敛；
证明：因为
所以
又，故单调减少且有下界，故收敛，从而级数收敛。
6、设级数收敛，且绝对收敛，则级数也收敛；
证明：由题设收敛，则由cauchy准则，
当时，，有
， ①
即 ②
又由收敛，则其部分和数列收敛。由cauchy准则，对上述
当时，，有 ③
故对，有
由式②，式③知，数列和都收敛，从而都有界。
即，有 与
综上所述知，，有
=
=
+
+
即 级数也收敛
7、设在点的某邻域内有二阶连续导数，且，
证明：级数绝对收敛；
证明：由题设知，在点的某邻域内有二阶Taylor公式
又由 的连续性知，，于是
令 ，得 。因 收敛，故级数绝对收敛
8、若正项级数收敛，且数列单调，则；
证明：由于正项级数收敛，即
故数列单调递减。由Cauchy准则知 ，有
又当 时，
从而当时，
取，则
因而 ，故
9、设，证明数列与级数同时收敛或同时发散；
证明：由于数列与级数有相同的敛散性。
因而本题只需证和的敛散性相同，这两者之一若收敛，必有
且当时，
故由比较原则的推论知：与有相同的敛散性。
故数列与级数有相同的敛散性。
10、证明：若级数发散，，则级数也发散。
证明：因为发散，则其部分和数列单调加且无上界，
或，有
=
即 ，（使），有
于是级数也发散
第十三章 函数列与函数项级数
一、判断题（每题2分）
1、 1、 在上收敛的函数列与函数项级数，则它在上一致收敛 （ ）
2、 2、 在内任意闭区间上都一致收敛的函数列或函数项级数必在内一致收敛（ ）
3、 3、 一致收敛，一致收敛，则也一致收敛 （ ）
4、 4、 在上绝对收敛，则在上一致收敛 （ ）
5、在上绝对收敛，且一致收敛，则必在上一致收敛 （ ）
6、若在上收敛于，而在上不连续，则在上不一致收敛 （ ）
7、若的每一项在上有连续的导函数，且收敛于，，则收敛于 （ ）
8、设在上连续函数列收敛于，在上可积，则必有
（ ）
9、若在上收敛或一致收敛于且每一个在上有连续导数，则在上可导 （ ）
10、收敛的连续函数列其极限函数不一定连续 （ ）
[答案]
×××√× √×××√
二、计算题（每题5分）
1、 1、 求级数的和函数
解：因为
所以 ，当时，；当时，；当时，；当时，
故级数收敛域为。在收敛域上，其和函数为
2、 2、 求级数的收敛域；
解：
所以，当时，级数收敛；当，级数绝对收敛；当时，级数发散。
故级数收敛域为
3、 3、 判定函数列在上是否一致收敛？
解：，有极限函数
所以在上一致收敛
4、判定函数列在上是否一致收敛
解：，有极限函数
取上的自然数列，有
所以在上不一致收敛。
5、设，求
解：因为，故讨论的邻域，不妨设。
，有
当时，上式也成立，而收敛，由M判别法知，在内一致收敛。而级数每一项在内都连续，故由连续性定理知，在内都连续，所以=
6、判定级数是否一致收敛
解：因为在上有
而收敛，由M判别法知，级数一致收敛
7、判定级数的一致收敛性；
解：设
则，有，及
即单调递减，且由
可知 即 一致收敛于0，，
故由Dirichlet判别法知
8、设，计算积分
解：由于 ，由M判别法知上一致收敛，而每一项在上连续，故有
9、讨论级数在上的敛散性
解：对某一确定的，，当时总有成立
即有
而是收敛的，因此在上收敛，但不一致收敛，如取，就有，故在上仅收敛，而非一致收敛。
10、设，计算积分
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