大学基础物理学答案(习岗)第3章.doc

第三章 热力学
第三章 热力学

本章提要

1．准静态过程

· 系统连续经过的每个中间状态都无限地接近于平衡态的过程称为准静态过程。
· 准静态过程是一个理想的过程，pV图上的任何一条光滑的曲线都代表了一个准静态过程。

2．内能

· 内能是系统的固有能量，它包含了系统内所有分子的热运动动能和分子之间相互作用势能。
· 内能是态函数，对气体系统，内能的特点可表示为

对理想气体，由于不考虑分子之间的相互作用，理想气体的内能只是所有分子热运动动能的和，因而，其内能只是温度的单值函数，即

3．功

· 气体系统在膨胀过程中对外所做的功的微分形式为

积分形式为

· 功是过程量，在数值上功值等于过程曲线下的面积。

4．热量

两个物体之间或物体内各部分之间由于温度不同而交换的热运动能量称热量，热量也是过程量。

5．热力学第一定律

· 热力学第一定律的数学表达式为

热力学第一定律的微分表达式为

· 热力学第一定律表明，第一类永动机是不可能造成的。

6．理想气体的热功转换

· 等体过程
系统在状态变化中体积保持不变的过程为等体过程。在等体过程中常数，，系统吸收的热量全部转换为系统内能的增量。
热量（和内能）的增量为

或

其中，为等体摩尔热容量。
· 等压过程
系统在状态变化中压强保持不变的过程为等压过程。在等压过程中 常数，。系统吸收的热量一部分转换为对外所做的功，另一部分转变为系统内能的增量。
系统对外所做的功为

内能的增量为

热量的增量为

或

· 等温过程
系统在状态变化中温度保持不变的过程为等温过程。在等温过程中 常数 ，。系统吸收的热量全部转换为对外所做的功。
在等温过程中，热量增量（或对外所做的功）为

或

· 绝热过程
系统在状态变化过程中与外界不发生热量交换的过程称绝热过程。在绝热过程中，，系统要对外做功必定以消耗其内能为代价。
在绝热过程中，系统对外所做的功为

或

· 在绝热过程中理想气体的p、V、T三个状态参量之间满足如下泊松方程：

7．热容量

· 等体摩尔热容量
1mol气体在等体过程中温度升高1K所吸收的热量称等体摩尔热容量，用表示。

对理想气体

其中，i为气体分子的自由度。
· 等压摩尔热容量
1mol气体在等压过程中温度升高1K所吸收的热量称等压摩尔热容量，用表示。等压摩尔热容量的数学表达为

对于理想气体

· 迈耶公式

· 比热容比

8．焓

· 焓的定义
在等压过程中，由热力学第一定律可得

由于，上式可写为

定义

称为系统的焓，则

· 焓是态函数。

9．循环过程
系统经过一系列状态的变化又回复到起始状态的变化过程称循环过程。
· 正循环的热机效率

· 逆循环的致冷系数

10．卡诺循环

由两个等温过程和两个绝热过程构成的循环称卡诺循环。卡诺循环是一个理想的循环。
· 卡诺正循环的效率

· 逆循环的效率

11．热力学第二定律

· 开尔文表述
不可能制成一种循环动作的热机，只从单一热源吸收热量，使之全部转变为有用的功，而其他物体不发生任何变化。
· 克劳修斯表述
热量不可能自动地从低温物体传向高温物体，而不引起其他的变化。
· 热力学第二定律的统计意义
一个不受外界影响的孤立系统，其内部所发生的过程总是由热力学概率小的宏观状态向热力学概率大的宏观状态进行，即从有序向无序的状态发展。
· 热力学概率
系统某一宏观状态所包含的微观状态数称为该状态的热力学概率，它表征了系统的混乱程度。

12．克劳修斯熵

· 克劳修斯熵表达式

· 熵增加原理
在孤立系统内，当热力学系统从一个平衡态到达另一个平衡态时，它的熵永远不减少。如果过程不可逆，系统的熵增加；如果过程可逆，系统的熵不变。即

13．玻耳兹曼熵

玻耳兹曼熵表达式为

其中，是系统的热力学概率。它表明熵是系统混乱程度的标志。

思考题

3-1 （1）热平衡态与热平衡有何不同?（2）热平衡与力学中的平衡有何不同?
答：（1）一个孤立系统的各种宏观性质（如温度、压强、密度等）在长时间内不发生任何变化，这样的状态称为热平衡态。从宏观上看，处于热平衡态的系统内部各处的密度、温度和压强处处均匀，并不随时间变化；在微观上，系统内部还存在大量微观粒子的无规则热运动，但这种热运动不会改变系统的宏观性质。
当两个温度不同的处于平衡态的系统通过传热，两者温度达到相同时则称这两个系统达到了热平衡。处于热平衡的两个系统都处于热平衡态，这时每个系统都具有热平衡态时的宏观特征（温度、密度、压强均匀）及微观特征，但两个系统的宏观特征除了温度都一样外，其他的性质可以相同，也可以不相同。
（2）力学中的平衡是指几个力作用在一个物体上，合力为零，或力矩的代数和为零，这时物体处于匀速直线运动状态或匀速转动状态。热平衡是指热力学系统的宏观性质处处均匀、不随时间变化的状态。力学平衡只是受力平衡，而热平衡是指温度、压强、密度等各种性质处处平衡。

3-2 在热力学中为什么要引入准静态过程的概念？
答：在系统从一个平衡态过渡到另一个平衡态的过程中，如果任一个中间状态都可看作是平衡状态，这个过程就叫准静态过程。准静态过程是无限缓慢的过程。由于pV图上的任何一个点都代表了一个稳定的平衡态，因而pV图上任何一条光滑的曲线都代表了一个准静态过程。如果假定系统在状态变化过程中所经历的实际过程是准静态过程的话，那么这个过程就可以在pV图上画出来，从而使对状态变化的研究变得简单而直观了。因此，在热力学中引入准静态过程的方法实际上是一种将过程简化的理想化方法。

3-3 关于热容量的以下说法是否正确？（1）热容量是物质含有热量多少的量度；（2）热容量是与过程有关的量；（3）热容量不可能是负值。
答：（1）不正确，因为热容量指的是在一定过程中，物体温度升高或降低1K时所吸收或放出的热量。并不是指含有多少热量。
（2）正确，因为系统经历不同的过程，热容量不同。由定义不难理解（3）也是正确的。

3-4 在本书所讨论的理想气体热功转换的四个过程中，哪些地方应用了热力学第一定律？在这四个过程中，哪一个过程的热功转换效率最大？
答：在等体过程中，应用热力学第一定律得到

在等压过程中，应用热力学第一定律得到

在等温过程中，应用热力学第一定律得到

在绝热过程中，应用热力学第一定律得到

图3-1
O
p
A B
V
C
在四个等值过程中，等温过程的热功转化效率最大，为100%。

3-5 如图3-1所示，系统从初状态A等压膨胀到B态，从B态等体增压到C态，再从C态压缩回到A态，试确定每一过程中的正负。
答：A→B过程，,,
B→C过程，,,
C→A过程，,,
图3-2
O
p
A (p0,V0,T0) B(p0,V1,T1)
V
C(p1,V1,T0)
D(p2,V1,T2)
V0
V1

3-6 理想气体从状态A开始，分别经过等压过程、等温过程和绝热过程，使体积膨胀到，如图3-2所示。在哪种情况下最大，那种情况下最小？
答：由于过程做功的大小等于曲线下面积大小，故由图3-2可知，等压过程做功值A最大，绝热过程A值最小。
由热力学第一定律可知，等压过程吸热，等温过程热，因为，所以，故等压过程吸热最多；绝热过程中，Q值最小。
由于>>，所以，等压过程最大，等温过程＝0，绝热过程是负值，为最小。

图3-3
O
P
V
b
a
c
等温线
O
P
V
b
a
c
绝热线
b′
(a)
(b)

3-7 讨论理想气体在下述过程中的正负：（1）等体过程，压强减小；（2）等压压缩；（3）绝热膨胀；（4）图3-3(a)所示过程a-b-c；（5）图3-3(b)所示过程a-b-c和a-b’-c。

答：设系统向外做功时A值为正，外界对系统做功时A为负；系统从外界吸热时Q值为正，系统向外界放热时Q值为负。则在（1）的等体过程中，，，，。在（2）的等压压缩过程中，，，，。在（3）的绝热中，，,,。在（4）所述的过程中，,,,。在（5）所述的过程中，,,,；在过程中，，，，。

3-8 两条绝热线和一条等温线是否可以构成一个循环？为什么？
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
图3-4
答：不能。如图3-4所示，若等温线Ⅲ与Ⅰ和Ⅱ两个绝热线相交，就构成了一个循环。这个循环只有一个单一热源，它把吸收的热量全部转变为功，即，并使周围环境没有变化，这是违背热力学第二定律的。所以，这样的循环是不可能构成的。

3-9 一个热机以卡诺循环的方式做功。如图3-5所示，如果体积增大，此曲线所包围的面积也增大，所做的净功如何变化？热机效率又如何变化？
图3-5
图3-6
O
V
O
V
P
a
b
b′
c′
c
d
P
a
b
b′
c′
c
d′
a′
答：如体积增大，热机所做的净功将增大，增大的功在数值上等于增加的bb′c′c部分的面积。所做的净功虽然增大了，但热机的效率仍相同，这是因为热机效率，高低温热源的温度不变，故也就不变。

3-10 有两个可逆热机使用不同的热源，分别作卡诺循环abcd′a和a′b′c′d′a′，在p-V图上，它们的循环曲线所包围的面积相等，但形状不同，如图3-6所示。它们吸热和放热是否相等，对外所做的净功是否相同？效率是否相同？
答：若a-b过程的温度为T1，a′-b′过程的温度为T1′，c′-d′过程的温度为T2。
设c′处的状态参量为（p3′,V3′,T2），c处的状态参量为（p3，V3，T2）， d′处的状态参量为（p4，V4，T2）。
因为两个循环曲线所包围的面积相等，所以，在这两个循环过程中所做净功相等。
由图3-6可知，c-d′过程与c′-d′过程在同一等温线上，故在c-d′过程中放出的热量为

在c′-d′过程中放出的热量为

其中，为摩尔数。
由于V3′＞V3，Q2′＞Q2。所以，在两个循环过程中放出的热量不等，a′b′c′d′a′循环过程放出的热量较多。
又设在a-b过程中吸收的热量为Q1，在a′- b′过程中吸收的热量为Q2。则由于Q1－Q2＝A， Q1′－Q2′＝A， Q1－Q2＝Q1′－Q2′。考虑到Q2′＞Q2，所以Q1′＞Q1，由此可见，a′b′c′d′a′循环过程吸收的热量较多。
对于d′a绝热过程，由泊松方程有

对于d′a′绝热过程，由泊松方程有

将上两式联立可解出

由图3-6，，所以。
根据卡诺循环的效率公式，abcd′a循环过程的效率为

a′b′c′d′a′循环过程的效率为

将两式比较易知

所以，abcd′a过程的效率高于a′b′c′d′a′过程的效率。

3-11 下列过程是否可逆，为什么？ （1）高温下加热使水蒸发；（2）绝热过程中，不同温度的两种液体混合；（3）在体积不变下加热容器内的气体，使其温度由T1变化到T2。
答：以上过程都不可逆，因为不可能在对环境不造成任何影响的前提下，使之回复原状。事实上，热力学第二定律已经表明，一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的。

3-12 根据热力学第二定律判断下面说法是否正确？（l）功可以全部转化为热，但热不能全部转化为功；（2）热量能从高温物体传向低温物体，但不能从低温物体传向高温物体。
答：（1）不正确。在理想气体的等温膨胀过程中热就可以全部转化为功。但是，不存在循环动作的热机，其唯一效果是将吸收的热量全部转变为功，而对环境不造成任何影响。
（2）不正确。通过致冷机就可以将热量从低温物体传向高温物体，但是它需要消耗外界能量。因此，正确的理解应为：在不引起其它变化或不产生其它影响的条件下，热量不可能从低温物体传到高温物体。

3-13 请说明违背热力学第二定律的开尔文表述也必定违背克劳修斯表述。
答：可用反证法证明。
假设有一个违反开尔文表述的机器，它从高温热源T1吸热Q，全部变为有用的功，A＝Q，而未产生其它影响。这样，可利用此机器输出的功A去供给在高温热源T1与低温热源T2之间工作的制冷机。这个制冷机在循环中得到功A（A＝Q），并从低温热源T2处吸热Q2，最后向高温热源放出热量Q2＋A。这样，两机器综合的结果是：高温热源净吸热Q2，而低温热源恰好放出热量Q2，此外没有发生其它任何变化。从而违背了克劳修斯表述。因此，如果违背开尔文表述也必定违背克劳修斯表述。

3-14 系统从某一初态开始，分别经过可逆与不可逆两个过程，到达同一末态，则在这两个过程中系统的熵变一样大吗？
答：熵变一样大。因为熵是一个状态参量，熵变只与系统的始末状态有关，而与过程无关。

练习题

3-1 有人声称设计了一台循环热机，当燃料供给1.045×108J的热量时，机器对外作了30kW·h的功，并有3.135×107J的热量放出，这种机器可能吗？
解：设燃料供给热机的热量为Q1，热机放出的热量Q2，则可转化为功的热量为

而题中所设的功输出为

由于，根据热力学第一定律可知，此机器需消耗内能做功，而无穷尽地消耗内能循环做功是不可能的，所以这种机器不可能存在。

图3-7
P
B
V

C
A
O
3-2 如图3-7所示，在系统从状态A沿ABC变化到状态C的过程中，外界有326J的热量传递给系统，同时系统对外做功126J。当系统从状态C沿另一个过程CA返回到状态A时，外界对系统做功52J，则在此过程中系统是吸热还是放热?传递的热量是多少?
解：当系统从状态A出发，经过A-B-C过程达到状态C时，按照热力学第一定律可写出

其中，Q为在此过程中系统吸收的热量，为系统内能的变化，A为在此过程中系统对外所做的功。
将上式改写为

带入已知数据得
＝326－126＝200（J）
当系统由状态C经过程C-A回到状态A时，在此过程中热力学第一定律的表达为

其中， 为系统在此过程中吸收的热量，为在此过程中系统对外界所做的功。
将题设条件带入可得
＝－200－52＝－252（J）
其中已考虑到，外界对系统做功为负值。
由于算出的热量为负值，因此可知系统放出的热量为252J。

3-3 压强为1.013×105Pa，容积为0.0082m3的氮气，从初始温度300K加热到400K。如加热时（l）体积不变；（2）压强不变。问在这两个过程中各需要多少热量？哪一个过程所需的热量多？为什么？
解：已知：p1＝1.013×105Pa，V1＝0.0082m3，T1＝300K，T2＝400K
（1）在等体过程中，根据热力学第一定律可知

由于对理想气体

其中，为气体的摩尔数，为等体摩尔热容量。则在等体过程中，系统吸收的热量为

又由理想气体状态方程

得

将其带入上述热量表达式，再考虑到氮气为双原子分子，，可得

(2) 在等压过程中，系统吸收的热量为

将带入上式，得

＝969.1(J)

因为，可知等压过程吸热多，这是因为在等体过程中系统吸收的热量全部转化为系统的内能增加；而在等压过程中，系统吸收的热量一部分使内能增加，另一部分转化为系统对外所做的功。

3-4 如图3-8所示，使1mol氧气（1）由a等温变到b；（2）由a等体变到c，再由c等压变到b。分别计算气体所做的功和传递的热量。
解：（1）a-b为等温过程，在此过程中，由热力学第一定律可得

由于，，上式可化为
P (×105Pa)
0
a
V(m3)
2
1
0.022 0.044
c b
图3-8

（2）在a-c-b过程中，由于状态a和状态b在同一等温线上，故当系统由a态出发经过c态到达b态时。故根据热力学第一定律可知系统在a-c-b过程中也有。
因为a-c为等体过程，在此过程中＝0。c-b为等压过程，在此过程中系统对外所做的功为

故

3-5 温度为 27℃、压强为 1.013×105Pa的一定量的氮气，经过绝热压缩，体积变为原来的，求压缩后氮气的压强和温度。
解：在常温常压下的气体可视为理想气体。在绝热过程中，根据泊松方程有

对于氮气，，，其比热比为

于是

又由理想气体状态方程得
，
将两式联立解得

3-6 0.020kg的氦气温度由17℃升高到27℃。若在升温过程中，（1）体积保持不变；（2）压强保持不变；（3）不与外界交换热量。试分别求出气体内能的改变、吸收的热量和外界对气体所做的功。（设氦气可看作刚性理想气体。）
解： 由于内能为状态参量，其变化与过程无关，而在题设的三种不同过程中温度变化相同，因此，在此三个过程中气体内能的变化量也相同。
考虑到氦气为单原子气体，其自由度为3，故内能的变化量为

（1）在等体过程中，由于，因此，系统吸收的热量为

在此过程中系统从外界吸收热量全部用于增加系统的内能，外界对系统不做功。
（2）在等压过程中，由于，系统吸收的热量为

根据热力学第一定律，可得，系统对外界所做的功为

于是，外界对系统做功为-415.5J。
（3）在绝热过程中，因为 ，由热力学第一定律可知，在此过程中系统对外所做的功为

于是，外界对系统做功623.75J，此功全部用来增加系统的内能。

3-7 分别通过下列过程把标准状态下的 0.014kg氮气压缩为原体积的一半：（1）等温过程；（2）绝热过程；（3）等压过程。试分别求出在这些过程中内能的改变、传递的热量和外界对气体所做的功。（设氮气可以看作刚性理想气体）
解：由题中条件可知气体的摩尔数为

（1） 在等温过程中，由于，据热力学第一定律可知，在此过程中系
统吸收的热量全部转化为系统对外界所做的功，于是，系统吸收的热量亦即系统对外所做的功为

该结果表明，系统向外界放出热量J，外界对系统做功J。
（2） 在绝热过程中，系统传递的热量。根据热力学第一定律，系统
对外所做的功为

由泊松方程

考虑到，可得

其中，。将其带入上述功的表达式得

又根据理想气体状态方程

上式又可化为

带入数据可解得

由此可知，在此过程外界对系统做功907.45J，该功值全部转化为系统内能的增加。
（3） 在等压过程中，系统对外所做的功为

由理想气体状态方程可得

再考虑到，于是

由此可知，外界对系统做功为567.15J。
在等压过程中，系统吸收的热量可通过下式求出

根据理想气体状态方程，对始末状态有

再考虑到，可得

于是

由热力学第一定律可知系统内能的增量为

即系统向外放热1985.05J，系统内能减少1417.90J。

3-8 请证明理想气体在绝热过程中满足（为常数）
证明：由热力学第一定律及绝热过程的特征d，可得

其中，气体得为摩尔数。
又因在绝热过程中，理想气体状态方程中的各参量都在变化，将其微分，可得

将两式联立求解，消去dT，得

将梅耶公式和 带入上式，可得

积分后得
（C1为常数）
即
（C为常数）

3-9 试证明1mol理想气体在绝热过程中所做的功为

其中T1、T2分别为初末状态的热力学温度。
解：对于绝热过程，由泊松方程

得

于是，1mol理想气体在绝热过程中所做的功为

再由泊松方程，上式可化为

再由理想气体状态方程，上式又可改写为

证毕。

3-10 在1.013×105Pa压强下，1mol（63.5g）铜的温度从300K变到1200K，铜的等压摩尔热容量Cp＝ 2.3×104＋5.92T [J/(mol·K)]，求铜的焓变。
解：此过程可视为等压过程，于是在此过程中吸收的热量为

将代入上式，可得

因定压过程中系统吸收的热量等于态函数焓的增量，所以

3-11 计算标准状态下，下列反应的反应热：
CH4（气）＋CO2（气）2CO（气）＋ 2H2（气）
解：查表可知，各物质的标准生成焓为
Hf（CH4）＝－74.85 (kJ·mol-1)
Hf（CO2）＝－393.51 (kJ·mol-1)
Hf（CO）＝－110.52 (kJ·mol-1)
Hf（H2）＝0 (kJ·mol-1)
该反应的反应热为
ΔH反应＝2 Hf（CO）+2 Hf（H2）-Hf（CH4）- Hf（CO2）
=2×(－110.52)+0－(－74.85)－(－393.51) = 247.32 (kJ·mol-1)

3-12 0.32kg的氧气作如图3-9所示的循环，循环路径为abcda， V2＝ 2V1， T1＝ 300K，T2＝200K，求循环效率。设氧气可以看做理想气体。
解：由已知可得氧气的摩尔数为
图3-9
O
P
V
a
b
c
d
T1
T2
等温
等温

V1
V2

氧气为双原子分子，其等体摩尔热容量为
。
（1） a-b过程为等温过程，在此过程中。
按热力学第一定律，气体吸收的热量为

（2） b-c过程为等体过程，在此过程中A＝0。由热力学第一定律可知，气
体与外界的热交换为

负号表示在此过程中，系统向外放出的热量为。
（3） c-d过程为等温过程，在此过程中＝0，系统与外界的热交换为

该结果表示，外界对系统做功，系统向外界放热。
（4） d-a过程为等体过程，A＝0。在此过程中，系统与外界的热交换为

由此可知，系统从外界吸热。
综合上述结果可得该循环的效率为

3-13 已知气体（）做卡诺循环，热源温度为127℃，冷源温度为7℃。设p1＝1.013×105Pa，V1＝10.0×10－3m3，V2＝20.0×10－3m3，试求：（1）p2、p3、p4、V3、V4；（2）一个循环过程中气体所做的功；（3）从热源吸收的热量；（4）循环效率。
解：
（1）设卡诺循环a、b、c、d四个状态的状态参量分别为：（p1，T1，V1）、（p2，T1，V2）、（p3，T2，V3）、（p4，T2，V4）。
对a、b两个状态，由理想气体状态方程可写出

和

其中，为气体的摩尔数。比较两式可得

在b-c绝热过程中，由泊松方程可写出

即

再由泊松方程的另一形式

可得

在d-a绝热过程中，由泊松方程可写出

即

再由泊松方程的另一形式

可得

（2）在a-b等温过程中，系统对外所做的功为

在c-d等温过程中，系统对外所做的功为

在b-c的绝热过程中，根据热力学第一定律可知，在此过程中，系统对外所做的功为

类似地，在d-a绝热过程中系统对外所做的功为

比较两功值易见

于是，一个循环中系统所做的总功

（3）由上面可知，从热源吸收的热量
Qab = Aab=702.16(J)
（4） 由卡诺循环的效率公式可得

3-14 一个平均输出功率为 5.0×104 kW的发电厂，在T1＝1000K和T2＝300K的热源下工作。（l）该电厂的理想热效率为多少？（2）若这个电厂只能达到理想热效率的70％，实际热效率是多少？（3）为了产生 5.0×104 kW的电功率，每秒种需提供多少焦耳的热量？（4）如果冷却是由一条河来完成的，其流量为10m3/s，由于电厂释放热量而引起的温度升高是多少？
解：
（1） 卡诺循环为理想的循环，若按此循环进行，该电厂理想的热效率为

（2） 若只能达到理想热效率的70％，则实际的热效率是

（3） 为了产生 5.0×104 kW的电功率，每秒种需提供的功为

由热机效率的定义式，可得

（4）由，将其变形得

于是温度升高为
＝1.24℃

3-15 一台冰箱工作时，其冷冻室中的温度为－10℃，室温为15℃。若按理想卡诺致冷循环来计算，此致冷机每消耗1000J的功可以从被冷冻物品中吸收多少热量？
解：由已知条件可得
T1＝15+273＝288（K）
T2＝－10+273＝263（K）
按理想卡诺制冷循环，致冷系数为

由题设条件，A＝1000J，于是吸收的热量为

3-16 一个卡诺致冷机从0℃的水中吸收热量制冰，向27℃的环境放热。若将 5.0kg的水变成同温度的冰（冰的熔解热为 3.35×105J／kg），（l）放到环境的热量为多少？（2）最少必须供给致冷机多少能量？
解：设高温热源温度为T1，低温热源温度为T2，由题中条件知
T1＝27+273＝300K，T2＝0+273＝273K
（1）设此致冷机从低温热源吸收的热量为Q2，则将 5.0kg的水变成同温度的冰时致冷机吸收的热量为

设此致冷机的致冷系数为，则

又由，可得放到环境中的热量为

（2）设最少必须供给致冷机的能量为A，则

3-17 设有一个系统储有1kg的水，系统与外界间无能量传递。开始时，一部分水的质量为0.30kg、温度为90℃；另一部分水的质量为0.70kg、温度为20℃。混合后，系统内水温达到平衡，试求水的熵变。（水的定压比热为）
解：设水温达到平衡时的温度为T，水的定压比热为。由题意知，热水的温度为T1＝90+273＝363（K），冷水的温度为T2＝20+273＝293（K），热水的质量为，冷水的质量为。混合平衡后，热水放出的热量应等于冷水吸收的热量，即

由此解出平衡后的温度为

带入数据，解得T＝314（K）。
按照熵的可加性，系统总的熵变应为两部分水熵变之和，即

在上述结果中，第一项的结果为负，表明热水的熵减少；第二项的结果为正，表明冷水的熵增加。两者混合后，总熵变大于零。因此，该过程为不可逆过程。

3-18 有一个体积为2.0×10-2m3的绝热容器，用一隔板将其分为两部分，如图3-10所示。开始时在左边一侧充有1mol理想气体，体积为V1＝5.0×10-3m3，右侧为真空。现打开隔板，使气体自由膨胀充满整个容器，求系统的熵变。
图3-10
解：因为初末状态时气体的体积均为已知，且温度相同，故可假设一个连接初末两状态的可逆等温过程，则在此等温过程中

气体从状态1到状态2时的熵变为

由理想气体状态方程，可得

将其带入上述熵变的表达式，可得

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