资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝3，x2＝﹣5
3．分式方程的根是（ ）
A． B． C． D．无实根
4．抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2
5．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．关于的方程的一个根是，则它的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB⊥OB，AB=2，OB=4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（ ）
A．2 B．2π C．π D．π
8．下列图形中，是中心对称的图形的是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正五边形
9．若的半径为3，且点到的圆的距离是5，则点在( )
A．内 B．上 C．外 D．都有可能
10．用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．方程的解为________.
12．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝．其中正确结论的个数是______个．
13．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，BC为⊙A的直径，点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，若△OAB的面积为，则k的值为_____．
14．在平面直角坐标系中，已知点A（－6，3），B（9，0），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A对应点A′的坐标是__________．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝_____cm．
16．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，若EG＝4，则AC＝________.
17．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BAD＝60°，则∠ACD＝_____°．
18．如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为50cm，水面宽AB=80cm，则水深CD约为______cm．
三、解答题(共66分)
19．（10分）化简分式，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．
20．（6分）已知函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）的图像经过点A（－1，0）、B（0，2）．
（1）b＝ （用含有a的代数式表示），c＝ ；
（2）点O是坐标原点，点C是该函数图像的顶点，若△AOC的面积为1，则a＝ ；
（3）若x＞1时，y＜1．结合图像，直接写出a的取值范围．
21．（6分）自贡是“盐之都，龙之乡，灯之城”，文化底蕴深厚.为弘扬乡土特色文化，某校就同学们对“自贡历史文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：
⑴本次共调查 名学生，条形统计图中= ；
⑵若该校共有学生1200名，则该校约有 名学生不了解“自贡历史文化”；
⑶调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学进行测试，发现其中共有四名同学相当优秀，它们是三名男生，一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人去市里参加“自贡历史文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽取一男生一女生的概率.
22．（8分）先化简，再从0、2、4、﹣1中选一个你喜欢的数作为x的值代入求值．
23．（8分）如图所示,是的直径，其半径为 ，扇形的面积为 .
（1）求的度数；
（2）求的长度.
24．（8分）如图所示，某学校有一边长为20米的正方形区域（四周阴影是四个全等的矩形，记为区域甲；中心区是正方形，记为区域乙）．区域甲建设成休闲区，区域乙建成展示区，已知甲、乙两个区域的建设费用如下表：
区域
甲
乙
价格（百元米2）
6
5
设矩形的较短边的长为米，正方形区域建设总费用为百元．
（1）的长为 米（用含的代数式表示）；
（2）求关于的函数解析式；
（3）当中心区的边长要求不低于8米且不超过12米时，预备建设资金220000元够用吗？请利用函数的增减性来说明理由．
25．（10分）我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：
（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
26．（10分）如图，反比例函数的图象与一次函数y=x+b的图象交于A，B两点，点A和点B的横坐标分别为1和﹣2，这两点的纵坐标之和为1．
（1）求反比例函数的表达式与一次函数的表达式；
（2）当点C的坐标为（0，﹣1）时，求△ABC的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】本题可先通过抛物线与y轴的交点排除C、D，然后根据一次函数y＝ax图象得到a的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．
【详解】解：由函数y＝ax2﹣1可知抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故C、D错误；
A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故A错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故B正确；
故选：B．
【点睛】
此题考查的是一次函数的图象及性质和二次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与系数关系和二次函数的图象及性质与系数关系是解决此题的关键．
2、A
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），然后利用抛物线与x轴的交点问题求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线与x轴的一个点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3、A
【分析】观察可得分式方程的最简公分母为，去分母，转化为整式方程求解．
【详解】方程去分母得：，
解得：，
检验：将代入，
所以是原方程的根．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
4、A
【解析】试题分析：由题意知抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故答案选A．
考点：抛物线与x轴的交点．
5、D
【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；
故选．
【点睛】
本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
6、C
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】由根与系数的关系可知：x1x2＝−3，
∴x2＝−1，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
7、C
【解析】根据勾股定理得到OA，然后根据边AB扫过的面积==解答即可得到结论．
【详解】如图，连接OA、OC．
∵AB⊥OB，AB=2，OB=4，∴OA==，∴边AB扫过的面积=== =．
故选C．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
8、C
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【详解】解：A．直角三角形不是中心对称图象，故本选项错误；
B．等边三角形不是中心对称图象，故本选项错误；
C．平行四边形是中心对称图象，故本选项正确；
D．正五边形不是中心对称图象，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
9、C
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：∵点到圆心的距离5，大于圆的半径3，
∴点在圆外．故选C．
【点睛】
判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
10、D
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．
【详解】解：移项得x2=9，
解得x=±1．
故答案为．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
12、1
【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2−4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA＝OC可得到A（−c，0），再把A（−c，0）代入y＝ax2＋bx＋c得ac2−bc＋c＝0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA＝−x1，OB＝x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2＝，于是OA•OB＝，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2−4ac＞0，
而a＜0，
∴＜0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（−c，0），
把A（−c，0）代入y＝ax2＋bx＋c得ac2−bc＋c＝0，
∴ac−b＋1＝0，所以③正确；
设A（x1，0），B（x2，0），
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，
∴x1•x2＝，
∴OA•OB＝，所以④正确．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
13、1
【分析】连接OC，根据反比例函数的几何意义，求出△BCO面积即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OC，
∵BC是直径，‘
∴AC＝AB，
∴S△ABO＝S△ACO＝，
∴S△BCO＝5，
∵⊙A与x轴相切于点B，
∴CB⊥x轴，
∴S△CBO＝，
∴k＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查反比例函数、切线的性质等知识，解题的关键是理解S△BCO=，属于中考常考题型．
14、（—2，1）或（2，—1）
【分析】根据位似图形的性质，只要点A的横、纵坐标分别乘以或﹣即可求出结果．
【详解】解：∵点A（－6，3），B（9，0），以原点O为位似中心，相似比为把△ABO缩小，
∴点A对应点的坐标为（—2，1）或（2，—1）．
故答案为：（—2，1）或（2，—1）．
【点睛】
本题考查了位似图形的性质，属于基本题型，注意分类、掌握求解的方法是关键．
15、1
【分析】根据30°直角三角形的比例关系求出AD,再根据外角定理证明∠DAB=∠B,即可得出BD=AD．
【详解】∵∠B＝30°，∠ADC＝10°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴BD＝AC＝2CD＝1cm，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查30°直角三角形的性质、外交定理,关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用．
16、12
【解析】试题解析：根据平行线分线段成比例定理可得：
故答案为
17、1
【解析】连接BD．根据圆周角定理可得.
【详解】解：如图，连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠DAB＝1°，
∴∠ACD＝∠B＝1°，
故答案为1．
【点睛】
考核知识点：圆周角定理.理解定义是关键.
18、1
【解析】连接OA，设CD为x，由于C点为弧AB的中点，CD⊥AB，根据垂径定理的推理和垂径定理得到CD必过圆心0，即点O、D、C共线，AD=BD=AB=40，在Rt△OAD中，利用勾股定理得（50-x）2+402=502，然后解方程即可．
【详解】解：连接OA、如图，设⊙O的半径为R，
∵CD为水深，即C点为弧AB的中点，CD⊥AB，
∴CD必过圆心O，即点O、D、C共线，AD=BD=AB=40，
在Rt△OAD中，OA=50，OD=50-x，AD=40，
∵OD2+AD2=OA2，
∴（50-x）2+402=502，解得x=1，
即水深CD约为为1．
故答案为；1
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.
三、解答题(共66分)
19、；x=2时，原式＝.
【解析】先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．最后在﹣1≤x≤3中取一个使分式分母和除式不为1的数代入求值．
【详解】解：原式=．
∵﹣1≤x≤3的整数有－1，1，1，2，3，
当x=﹣1或x=1时，分式的分母为1，当x=1时，除式为1，
∴取x的值时，不可取x=﹣1或x=1或x=1．
不妨取x=2，此时原式=．
20、（1）a+2；2；（2）-2或；（3）
【分析】（1）将点B的坐标代入解析式，求得c的值；将点A代入解析式，从而求得b；；（2）由题意可得AO=1，设C点坐标为（x,y），然后利用三角形的面积求出点C的纵坐标，然后代入顶点坐标公式求得a的值；（3）结合图像，若x＞1时，y＜1，则顶点纵坐标大于等于1，根据顶点纵坐标公式列不等式求解即可.
【详解】解：（1）将B（0，2）代入解析式得：c=2
将A（－1，0）代入解析式得： a×（-1）2＋b×（-1）＋c=0
∴a-b+2=0
∴b=a+2
故答案为：a+2；2
（2）由题意可知：AO=1
设C点坐标为（x,y）
则
解得：
当y=2时，
由（1）可知，b=a+2;c=2
∴
解得：a=-2
当y=-2时，
由（1）可知，b=a+2;c=2
∴
解得：
∴a的值为-2或
（3）若x＞1时，y＜1，又因为图像过点A（－1，0）、B（0，2）
∴图像开口向下，即a＜0
则该图像顶点纵坐标大于等于1
∴
即
解得：或（舍去）
∴a的取值范围为
【点睛】
本题考查二次函数的性质，掌握顶点坐标公式及数形结合思想解题是本题的解题关键.
21、 (1)60,18;⑵240;⑶.
【分析】（1）根据了解很少的有24人，占40%，即可求得总人数；利用调查的总人数减去其它各项的人数即可求得m的值；（2）利用1200乘以不了解“自贡历史文化”的人所占的比例即可求解；（3）列出表格即可求出恰好抽中一男生一女生的概率．
【详解】⑴. ∵ ， 故分别应填： 60 , 18.
⑵.在样本中“不了解”的占： ，所以 ；故应填： 240.
⑶.列表如下（也可以选择“树状图”，注意是“不放回”）
由上表可知：共有12种可能，其“一男一女”的可能性有6种.
∴ （一男一女）=
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用以及求随机事件的概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22、原式=x，当x＝﹣1时，原式＝﹣1
【分析】先对分子分母分别进行因式分解，能约分的先约分，再算括号，化除法为乘法，再进行约分；再从0、2、4、﹣1中选使得公分母不为0的数值代入最简分式中即可.
【详解】解：原式
∵x﹣2≠0，x﹣4≠0，x≠0
∴x≠2且x≠4且x≠0
∴当x＝﹣1时，
原式＝﹣1.
【点睛】
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23、（1）60°；（2）
【分析】（1）根据扇形面积公式求圆心角的度数即可；（2）由第一问，求得∠BOC
的度数，然后利用弧长公式求解.
【详解】由扇形面积公式得：
∴的长度为：
【点睛】
本题考查扇形面积和弧长的求法，熟练掌握公式正确进行计算是本题的解题关键.
24、（1）；（2）y=；（3）预备建设资金220000元不够用，见解析
【分析】（1）根据矩形和正方形的性质解答即可；
（2）利用矩形的面积公式和正方形的面积公式解答即可；
（3）利用二次函数的性质和最值解答即可．
【详解】解：（1）设矩形的较短边的长为米，，根据图形特点．
（2）由题意知：化简得：（百元）
（3）由题知：，解得，
当x=4时，，当x=6时，，
将函数解析式变形：，当时，y随x的增加而减少，所以（百元），而, 预备建设资金220000元不够用．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求最值和正方形的性质等知识，正确得出各部分的边长是解题关键．
25、（1）500件；（2）利润的最大值为1；（3）每月的成本最少需要10000元．
【分析】(1)设函数关系式为y=kx+b，把(40，600)，(75，250)代入，列方程组即可．
(2)根据利润=每件的利润×销售量，列出式子即可．
(3)思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S，构建一次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】(1)设函数关系式为y=kx+b，
把(40，600)，(75，250)代入可得，
解得：，
∴y=﹣10x+1000，
当x=50时，y=﹣10×50+1000=500(件)；
(2)根据题意得，W=(x﹣40)(﹣10x+1000)
=﹣10x2+1400x﹣40000
=﹣10(x﹣70)2+1．
当x=70时，利润的最大值为1；
(3)由题意，
解得：60≤x≤75，
设成本为S，
∴S=40(﹣10x+1000)=﹣400x+40000，
∵﹣400＜0，
∴S随x增大而减小，
∴x=75时，S有最小值=10000元，
答：每月的成本最少需要10000元．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数的实际应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
26、（1），y=x+1；（2）2．
【解析】试题分析：（1）根据两点纵坐标的和，可得b的值，根据自变量与函数的值得对关系，可得A点坐标，根据待定系数法，可得反比例函数的解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案．
试题解析：解：（1）由题意，得：1+b+（﹣2）+b=1，解得b=1，一次函数的解析式为y=x+1，当x=1时，y=x+1=2，即A（1，2），将A点坐标代入，得=2，即k=2，反比例函数的解析式为；
（2）当x=﹣2时，y=﹣1，即B（﹣2，﹣1）．
BC=2，S△ABC=BC•（yA﹣yC）=×2×[2﹣（﹣1）]=2．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用纵坐标的和得出b的值是解（1）题关键；利用三角形的面积公式是解（2）的关键．
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