资源描述
3.6.1直线和圆的位置关系
一、夯实基础
1．已知⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是 ( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．已知直线与⊙O相离，如果⊙O的半径为R，点O到直线的距离为d，那么 ( )
A．d>R B．d<R C．d=R D．d≤R
3．已知⊙O的半径为3 cm，点P是直线上一点，OP长为5 cm，则直线与⊙O的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交、相切、相离都有可能
4．已知⊙O的半径为cm，直线l和点O的距离为d，如果直线l与⊙O有公共点，那么 ( )
A．d＞cm B．d＝cm
C．0≤d≤cm D．0＜d＜cm
5．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上．如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于 ( )
A．55° B．90° C．110° D．120°
6．若三角形的内心和外心重合，则这个三角形是 ( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
7．如图所示，PA切⊙O于点A，AB⊥PO于点B，∠P＝30°，AB＝6，则⊙O的半径是 ．
8．已知Rt△ABC的内心为I，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则I到斜边AB的距离为 ．
9．如图所示，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A(8，0)，与y轴交于(0，4)，(0，16)，则该圆的直径为 ．
二、能力提升
10．如图所示，P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A，B两点，连接PA，PB，求证PA，PB为⊙O的切线．
11.已知：如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE交AC于点E，且AE = EC. 你能确定AC与⊙O的位置关系吗？请说明理由.
12.如图，已知：在Rt△ABC中，∠B = 90°，AC = 13 cm，AB = 5 cm，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O.
（1）当OB = 2.5 cm时，⊙O交AC于点D，
试求CD的长；
（2）当OB = 2.4 cm时，AC与⊙O有怎样的位置关系？并证明你的结论.
三、课外拓展
13.．如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，点I在AD上，且ID＝BD，求证I为△ABC的内心．
14．如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连接BC．
(1)求证BE为⊙O的切线；
(2)如果CD＝6，tan∠BCD＝，求⊙O的直径．
15．如图所示，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC＝BC，AC＝OB．
(1)求证AB是⊙O的切线；
(2)若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的长．
四、中考链接
1. （2016·山东潍坊·3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（ ）
A．10 B．8C．4D．2
2. （2016·湖北荆州·3分）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3. （2016·内蒙古包头·3分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为 ．
4. （2016·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）如果tan∠CAO=，求cosB的值．
答案
1. A (提示：3<4)
2. A
3. D
4．C[提示：当0≤d≤r时，直线与圆有公共点．]
5．C[提示：由切线性质知∠OAB＝35°，在△AOB中，可求得∠AOB＝110°．]
6．D[提示：等边三角形三条角平分线的交点、三条边的垂直平分线的交点重合．]
7．[提示：连接AO，则∠PAO＝90°，∠P＝30°，AB＝6，∴AP＝12，∴AO＝AP·tan 30°＝12×．]
8．1[提示：在Rt△ABC中，r内切圆＝．]
9．20[提示：易求BC＝12，作BC的弦心距d，易证d＝AO＝8，连接PC，由勾股定理可得PC＝10，∴该圆的直径为20．]
10．证明：连接OA．∵PO为直径，∴∠PAO＝90°，∴OA⊥PA．∵OA为⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线．同理可证PB也为⊙O的切线．
11.提示：证BC⊥AC.
12.（1）；
（2）AC与⊙O相切（提示：过O作OE⊥AC，设垂足为E，证OE = 2.4 cm）.
13．证明：∵ID＝BD，∴∠DBI＝∠DIB．∵∠DIB＝∠BAD＋∠ABI，∠DBI＝∠IBC＋∠CBD，又∠DBC＝∠DAC，∠BAD＝∠DAC，∴∠ABI＝∠IBC，∴BI平分∠ABC．又AI平分∠BAC，∴I为△ABC的内心．
14．(1)证明：∵BE∥CD，AB⊥CD，∴AB⊥BE．又∵AB为直径，∴BE为⊙O的切线． (2)解：∵AB为直径，AB⊥CD，∴CM＝CD＝×6＝3，，∴∠BAC＝∠BCD．∵tan∠BCD＝，∴，∴BM＝CM＝．∵＝tan∠BAC＝tan∠BCD＝，∴AM＝6．∴⊙O的直径AB＝AM＋BM＝6＋．
15．(1)证明：连接OA．因为OC＝BC，AC＝OB，所以OC＝BC＝AC＝OA，所以△ACO是等边三角形，所以∠O＝60°，∠B＝30°，所以∠OAB＝90°．所以AB是⊙O的切线． (2)解：作AE⊥CD于点E．因为∠O＝60°，所以∠D＝30°．因为∠ACD＝45°，AC＝OC＝2，所以在Rt△ACE中，CE＝AE＝．在Rt△ADE中，因为∠D＝30°，所以AD＝2AE＝，由勾股定理可求得DE＝，所以CD＝DE＋CE＝．
中考链接：
1.解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．
∵⊙M与x轴相切于点A（8，0），
∴AM⊥OA，OA=8，
∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，
∴四边形OAMH是矩形，
∴AM=OH，
∵MH⊥BC，
∴HC=HB=6，
∴OH=AM=10，
在RT△AOM中，OM===2．
故选D．
2.解；如图，
由四边形的内角和定理，得
∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，
由=，得
∠AOC=∠BOC=50°．
由圆周角定理，得
∠ADC=∠AOC=25°，
故选：C．
3.解：∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC•tan30°=，PC=2OC=2，
∴PB=PO﹣OB=，
故答案为．
4.解：（1）如图作OM⊥AB于M，
∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC=OM，
∴AB是⊙O的切线，
（2）设BM=x，OB=y，则y2﹣x2=1 ①，
∵cosB==，
∴=，
∴x2+3x=y2+y ②，
由①②可以得到：y=3x﹣1，
∴（3x﹣1）2﹣x2=1，
∴x=，y=，
∴cosB=．
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