专题二次函数.doc

一、 基础知识复习
1、二次函数的定义
2、二次函数的图像及性
3、求抛物线解析式的三种方法
（1）、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为__y=ax2+bx+c(a≠0)
（2）,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_y=a(x-h)2+k(a≠0)求出表达式后化为一般形式.
（3）,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)求出表达式后化为一般形式.
4、a，b，c符号的确定
（1）a+b+c的符号：
(2)a-b+c的符号：
5、抛物线的平移
左加右减，上加下减
6、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系
7、二次函数的综合运用
二、综合运用
(一）、因动点产生的直角三角形、等腰三角形问题（存在性问题）

B(0,4)
A(6,0)
E
F
x
y
O
例1．如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

例2. 如图所示, 在平面直角坐标系xOy中, 矩形OABC的边长OA、OC的长分剔为12cm、6 cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且18a+c=0.
Q
P
C
A
x
y
B
O
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C移动.
①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围;
②当S取得最小值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.
列3、如图1，在中，AH⊥DC，垂足为H，AB＝，AD＝7，AH＝．现有两个动点E、F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E、F两点同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1)求线段AC的长；
(2)在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与
t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；
(3)当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度α(0°＜α＜360°)．在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F’，G的对应点为G’，设直线F’G’与射线DC、射线AC分别相交于M、N两点．试问：是否存在点M、N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出线段CM的长度；若不存在，请说明理由．

y
x
D
C
A
O
B

列4、如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，其顶点为，直线的函数关系式为，又．
（1）求二次函数的解析式和直线的函数关系式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使△PBC以BC为直角边的直角三角形？若存，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（二） 二次函数与周长、面积
列1、如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q的左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（G在点F的上方）．若，求点F的坐标．

(三)、其它二次函数的综合问题
x
y
A（3，6）
Q
C
O
B
P
例1、如图，一元二次方程的二根（）是抛物线与轴的两个交点的横坐标，且此抛物线过点．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设此抛物线的顶点为，对称轴与线段相交于点，求点和点的坐标．
（3）在轴上有一动点，当取得最小值时，求点的坐标．
A
O
B
C
x
y
列2、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；
（3）在抛物线的对称轴上有一个动点P，当△0CP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标.