第一部分数学Ⅰ必做题部分专题Ⅰ-13课时达标自测.doc

1．(2013·北京高考)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是________．
解析：依题意，e＝，e2＝>2，得1＋m>2，所以m>1.
答案：m>1
2．(2013·徐州模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程为________．
解析：抛物线的焦点坐标为(1,0)，故在双曲线中a＝1，由双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，可得b＝，故所求的双曲线方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
3．(2013·无锡一模)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.
解析：抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°，又tan 60°＝，所以yA＝2.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.
答案：4
4．(2013·南通模拟)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若||是||和||的等比中项，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意可知||2＝||·||，即2＋(a＋c)2＝2c(a＋c)，化简可得a2＝b2，则e＝＝＝＝.
答案：
5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为________．
解析：由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，
即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.
由|MF|＝5得， ＝5，
又p＞0，解得p＝2或p＝8.
答案：y2＝4x或y2＝16x
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．
解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图，

则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，解得a＝4.
又离心率e＝＝，故c＝2.
所以b2＝a2－c2＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其准线的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为________．
解析：由题意可知，抛物线的准线方程为x＝－，1＋＝5，解得p＝8，故抛物线的方程为y2＝16x.又M(1，m)(m>0)在抛物线上，故m＝4，即点M的坐标为(1,4)，易知双曲线－y2＝1的左顶点为A(－，0)，渐近线方程为y＝±，直线AM的斜率为，由题意可知＝，解得a＝.
答案：
8．(2013·江苏十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设|AM|＝e|AB|，则该椭圆的离心率e＝________.
解析：因为点A，B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴的交点，所以点A，B的坐标分别是，(0，a)．设点M的坐标是(x0，y0)，由|AM|＝e|AB|，得(*)
因为点M在椭圆上，所以＋＝1，将(*)式代入，得＋＝1，整理得，e2＋e－1＝0，解得e＝，或e＝(舍去)．
答案：
9．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则 的最小值是________．
解析：依题意知x≥0，焦点F(1,0)，则|PF|＝x＋1，|PA|＝＝ .当x＝0时，＝1；当x>0时，1<＝≤ ＝(当且仅当x＝1时取等号)．
因此当x≥0时，1≤≤，≤≤1，的最小值是.
答案：
10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，解得b＝4.
又e＝＝，得＝，即1－＝，
则a＝5.所以C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1，即x2－3x－8＝0，所以x1＋x2＝3.
设AB的中点坐标为(，)，则＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
11.已知双曲线x2－＝1，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3)．
(1)求椭圆方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.
①若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；
②设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．
解：(1)双曲线焦点为(±2,0)，
设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
则解得a2＝16，b2＝12.
故椭圆方程为＋＝1.
(2)①由已知，A(－4,0)，B(4,0)，F(2,0)，直线l的方程为x＝8.设N(8，t)(t>0)．
∵AM＝MN，∴M.
由点M在椭圆上，得t＝6.
故点M的坐标为M(2,3)．
所以＝(－6，－3)，＝(2，－3)，
·＝－12＋9＝－3.
cos ∠AMB＝＝＝－.
②设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，F，N三点坐标代入，得
得
圆的方程为x2＋y2＋2x－y－8＝0，
令x＝0，得y2－y－8＝0.
设P(0，y1)，Q(0，y2)，
由线段PQ的中点为(0,9)，得y1＋y2＝t＋＝18.
此时，所求圆的方程为x2＋y2＋2x－18y－8＝0.
12．(2013·南京调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上， ·＝0,3||·||＝－5·，||＝2，过点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)线段OF2(O为坐标原点)上是否存在点M(m,0)，使得·＝·？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意知，∠AF1F2＝90°，cos∠F1AF2＝，
注意到||＝2，所以||＝，||＝，
2a＝||＋||＝4，
所以a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)假设存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，直线PQ的斜率为k(k≠0)，
注意到F2(1,0)，则直线PQ的方程为y＝k(x－1)，
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
所以x1＋x2＝，故x0＝＝，
又点N在直线PQ上，所以N.
由·＝·可得·(＋)＝2·＝0，
即PQ⊥MN，所以kMN＝＝－，
整理得m＝＝∈，
所以线段OF2上存在点M(m,0)符合题意，
其中m∈.

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