【教学设计】《对数函数的图像和性质》(北师大).docx

高中数学北师大版（必修一） 畅言教育

《 对数函数的图像和性质》
◆ 教材分析

《对数函数的概念》是北师大版高中数学必修一第三章第5节的内容。在此之前我们学习了指数函数与对数等内容，它为过渡到本节起着铺垫作用。“对数函数”这节教材，是在没学习反函数的基础上研究的指数函数和对数函数的自变量与因变量之间的关系，同时对数函数作为常用数学模型在解决社会生活中的实例有广泛的应用，本节课为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的基础知识。
◆ 教学目标

【知识与能力目标】
1、理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质；
2、能初步运用对数的性质解决问题。
【过程与方法目标】
让学生通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质。
【情感态度价值观目标】
1、培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；
2、培养学生严谨的科学态度。
◆ 教学重难点
◆

【教学重点】
掌握对数函数的图像和性质。
【教学难点】
利用对数函数的图像和性质解决问题。
◆ 课前准备
◆

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
◆ 教学过程

一、导入部分
作出函数y＝log2x和y＝log12x的图像如下：

1．函数y＝log2x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？
【提示】　定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)．
函数值变化情况：x>1时，y>0；x＝1时，y＝0；
0<x<1时，y<0.
单调性：在(0，＋∞)上是增函数．
2．函数y＝log12x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？
【提示】　定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)，
函数值变化情况：x>1时，y<0；x＝1时，y＝0；
0<x<1时，y>0.
单调性：在(0，＋∞)上是减函数．
3．它们的图像有什么关系？
【提示】　关于x轴对称。
二、研探新知，建构概念
探究：选取底数＞0，且≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象。观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？

作法：用多媒体展示画出，，和
0

提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？
对数函数，在其底数及这两种情况下的图像和性质可以总结如表3-11

图 像

性 质
(1)定义域：
(1)定义域：
(2)值域：
(2)值域：
(3)过点,即时
(3)过点,即时
(4)当时
时
(4)当时
时
(5)是上的增函数
(5)是上的减函数
三、质疑答辩，发展思维
例4 求下列函数的定义域
（1）； （2）
解：（1）因为，即，所以函数的定义域为
；
（2）因为，即，所以函数的定义域为
。
例5 比较下列各题中两个数的大小：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）因为，函数是增函数，，所以

（2）因为，函数是减函数，，所以

（3）因为函数是增函数，，所以

同理，所以

（4）对数函数的单调性取决于其底数是大于1还是小于1。而已知条件中并未明确指出底数于1哪个大，因此需要对底数进行讨论。
当时，函数在上是增函数，此时

当时，函数在上是减函数，此时

例6 人们早就发现了放射性物质的衰减现象。在考古工作中，常用的含量来确定有机物的年代。已知放射性物质的衰减服从指数规律：
，
其中表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了年后剩余的质量。
为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期，的半衰期大约是5730年，由此可确定系数。人们又知道，放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的。
1950年在巴比伦发现一根可Hammurbi王朝字样的木炭，当时测定，其分子的衰减速度为4.09个，而新砍伐烧成的木炭中的衰减速度为6.68个。请估算出Hammurbi王朝所在年代。
解：因为的半衰期是5739年。所以建立方程

解得，由此可知的衰减规律服从指数型函数

设发现Hammurbi王朝木炭的时间（1950年）为年。因为放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以

于是
两边取自然对数，得
解得
即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年。
巩固练习：
1.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A．a>b>c　　 B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b
【解析】　1.a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，且3.62>3.6>3.2，故选B.
2.如果log12x<log12y<0，那么(　　)
A．y<x<1 B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x
【解析】　2.∵log12x<log12y<log121，且y=log12x在(0，＋∞)上为减函数，∴x>y>1.故选D.
3．设a＝log0.34，b＝log43，c＝0.3－2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<a<c
【解析】　由于y＝log0.3x在(0，＋∞)上是减函数，所以a＝log0.34<log0.31＝0，而y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，所以b＝log43<log44＝1，且log43>log41＝0，即0<b<1，
又c＝0.3－2＝(103)2>1，所以a<b<c.【答案】　A
4．已知log0.45(x－2)>log0.45(1＋2x)，则实数x的取值范围是________
【解析】　原不等式等价于解得x>2
【答案】　(2，＋∞)
5．如图3－5－1所示，四条曲线分别是：y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像，则a，b，c，d与0,1的大小关系是________

图3－5－1
【解析】　画一条直线y＝1，与图像的四个交点横坐标从左到右依次是c<d<a<b
【答案】　0<c<d<a<b
四、课堂小结
1. 掌握对数函数及其性质，借助对数函数的单调性解决一些问题
2．对数值比较大小常用的方法：
(1)直接法：利用对数函数的单调性比较大小；
(2)作商法：将同号的两数相除，其商再与1比较大小；
(3)作差法：可利用对数的运算，比较其差与1的大小；
(4)搭桥法：主要根据对数函数值分析．借助于“0”和“1”比较大小；
(5)图像法：主要利用不同底数在同一坐标系下的图像位置关系；
(6)转化法：主要利用指数或对数的有关性质，将两数作合理变形，转化为两个新数进行大小比较。
五、作业布置
习题 3-5 A组 4、5
◆ 教学反思

略。
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