陕西省西安市第八十三中高三数学第二次模拟考试题-理.doc

西安市第八十三中学2012届高三年级第二次模拟考试试卷
理科数学

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合A＝B＝，从A到B的映射，则在映射下B中的元素（1，1）对应的A中元素为（ ）
A.（3，1） B.（1，1） C. D.
2.已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 　 　　　　 　 B．必要不充分条件
C．充要条件　　　　　　　　　 D．既不充分又不必要条件
3.已知向量，，若与共线，则等于（ ）
A．； B． C． D．
4.设等差数列的前项和为,若,,则当取最小值时,等于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
5.设、表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是（ ）
A．若,则, B．若,,则
C．若，则 D．若，则

6.定义在上的函数满足又， 　则 ( )
A. B. C. D.
7．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是 ( )
A．x2 = 4y B．x2 = – 4y C．y2 = –12x D．x2 = –12y
8.如图，某地一天从～时的温度变化曲线近似满足函数 ．则中午12点时最接近的温度为：( )

A． B． C． D．

9.过点（0，1）且与曲线在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( )
A． B． C． D．
10. 已知R上的不间断函数 满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。又函数 满足：对任意的，都有成立，当时，。若关于的不等式对恒成立，则的取值范围( )
A. B. C. D.

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分,把答案填在答题卡相应的横线上）

11.在△ABC中，B=，且,则△ABC的面积是____
12.已知函数f（x）=3x2+2x+1，若成立，则a=　　　　
13.已知，则的最大值是__________；

14. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 .
15．数列的前n项和为，若数列的各项按如下规律排列：
有如下运算和结论：
①②数列是等比数列；
③数列的前n项和为
④若存在正整数，使

其中正确的结论有 .（将你认为正确的结论序号都填上）

三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16.（本小题满分12分）
已知集合，.
（1）当m=3时，求集合，；
（2）若，求实数m的取值范围。

17.（本小题满分12分）
已知＝(cos＋sin，－sin)，＝(cos－sin，2cos).
(1)设f(x)＝·，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)设有不相等的两个实数x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值.

第18题
18. （本小题满分12分）
如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，
，
（1）求证：CD;
（2）求AD与SB所成角的余弦值;
（3）求二面角A—SB—D的余弦值．

19. （本小题满分12分）
已知单调递增的等比数列满足：，且是和的等差中项．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 令，，求使成立的最小的正整数．
20. （本小题满分13分）
已知椭圆C： (a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)。
(1)求椭圆C的方程；
(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M。问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点?
(3)设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值。
21. （本小题满分14分）
已知函数（且）.
（1）求函数的单调区间；
（2）记函数的图象为曲线.设点,是曲线上的不同两点.如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”. 试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.
西安市第八十三中学2012届高三年级第二次模拟考试试卷
理科数学答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
D
D
A
D
B
A
A

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分,把答案填在答题卡相应的横线上）
11.6 12． , 13. 8
14．1 15．①③④

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）
已知集合，.
（1）当m=3时，求集合，；
（2）若，求实数m的取值范围。
解：（1）当m=3时，A=｛｝，B=｛｝……….1分
∴AB=｛｝，……………3分
A=｛｝…………….5分
（2）当B=即m+1>2m-1时 m<2适合条件……………7分
当B时 由 得………………11分
综上可得：若则实数m的取值范围（－，3】……………12分

17.(本小题满分12分)
已知＝(cos＋sin，－sin)，＝(cos－sin，2cos).
(1)设f(x)＝ ·，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)设有不相等的两个实数x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值.
解：(1)由f(x)＝·得
f(x)＝(cos＋sin)·(cos－sin)＋(－sin)·2cos
＝cos2－sin2－2sincos＝cosx－sinx＝cos(x＋)，..................4分
所以f(x)的最小正周期T＝2π..................6分
又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
故f(x)的单调递减区间是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) ……………..8分
(2)由f(x)＝1得cos(x＋)＝1，故cos(x＋)＝ ………10分
又x∈，于是有x＋∈，得x1＝0，x2＝－，
所以x1＋x2＝－ ……….12分

18. （本小题满分12分）
如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形， ，
第17题
（1）求证：CD;
（2）求AD与SB所成角的余弦值;
（3）求二面角A—SB—D的余弦值．

源:.com]
解：（1）是矩形，
又
--------3分
（2）DA、DC、DS两两互相垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系

--------5分
---------7分
AD与SB所成的角的余弦为 ---------8分

（3）设面SBD的一个法向量为
--------9分
又
∴设面DAB的一个法向量为

所以所求的二面角的余弦为 ----------12分
19. （本小题满分12分）
已知单调递增的等比数列满足：，且是和的等差中项．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 令，，求使成立的最小的正整数．
解：(1) 设的公比为，由已知，得
，
∴　； --------------5分
(2) ，
　　　设　　………………………　①
　　　则　　………　②
①－②　得　
∴　 --------------10
故　　 ∴　，
　，　∴　满足不等式的最小的正整数为5． -----12分
20. （本小题满分13分）
已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)。
(1)求椭圆C的方程；
(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M。问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点?
(3)设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值。
解：(1)∵椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)，
∴，即 ，解得 ，
∴椭圆C的方程为+=1。………… 5分
(2)易求得F(1，0)。设M(x0，y0)，则+=1，
圆M的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02，
令x=0，化简得y2-2y0y+2x0-1=0，⊿=4y02-4(2x0-1)2＞0……①。
将y02=3(1-)代入①，得3x02+8x0-16＜0，解出 -4＜x0＜..........10分
(3)设D(0，y1)，E(0，y2)，其中y1＜y2。由(2)，得
DE= y2- y1===，
当x0=-时，DE的最大值为........................ 13分

21. （本小题满分14分）
已知函数（且）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）记函数的图象为曲线.设点,是曲线上的不同两点.如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.
试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.
解：(Ⅰ)显然函数的定义域是. …………1分
由已知得，. …………2分
⑴当时, 令,解得; 令,解得.
所以函数在上单调递增,在上单调递减. ……3分
⑵当时， ①当时，即时, 令,解得或;
令,解得.
所以，函数在和上单调递增,在上单调递减; ……4分
②当时，即时, 显然，函数在上单调递增； ………5分
③当时，即时, 令,解得或; 令,解得.所以，函数在和上单调递增,在上单调递减. …
综上所述，⑴当时,函数在上单调递增,在上单调递减；
⑵当时,函数在和上单调递增,在上单调递减；
⑶当时,函数在上单调递增；
⑷当时,函数在和上单调递增,在上单调递减. …7分
(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.
设,是曲线上的不同两点，且，
则，.

…………8分
曲线在点处的切线斜率
， …………9分

依题意得：.
化简可得： ，
即=. …………11分
设 ()，上式化为：,
即. …………12分
令,.
因为,显然，所以在上递增,
显然有恒成立.
所以在内不存在,使得成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”. ……………14分

11
用心 爱心 专心