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第四模块 三角函数综合检测
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知tanα＝4，cotβ＝，则tan(α＋β)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：由cotβ＝知tanβ＝3，故tan(α＋β)＝＝＝－.
答案：B
2．将函数y＝sinωx(ω>0)的图象沿x轴向左平移个单位，平移后的图象如右图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )
A．y＝sin(x＋) B．y＝sin(x－)
C．y＝sin(2x＋) D．y＝sin(2x－)
解析：由题意得平移后得到y＝sinω(x＋)，由图象可知ω(π＋)＝π，知ω＝2，故选C.
答案：C
3．设α是第三、第四象限角，sinα＝，则m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，)
C．(－1，) D．[－1，)
解析：由三角函数的有界性知，－1<<0，得－1<m<.
答案：C
4．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A. B. C．2 D．3
解析：∵f(x)＝2sinωx(ω>0)的最小值是－2时，x＝－，∴－≤－≤.
∴ω≥－6k＋，且ω≥8k－2，∴ωmin＝.
答案：B
5.锐角α满足：cotα＝sinα，则α∈( )
A．(0，) B．(，)
C．(，) D．(，)
解析：若α∈(0，)，则cotα>1显然不合题意．
若α∈(，)，则0<cotα<，<sinα<1，此时cotα＝sinα不可能成立．若α∈(，),1<cotα<，<sinα<，此时cotα＝sinα不可能成立，故选B.
答案：B
6．已知△ABC中，tan＝sinC，则角C＝( )
A. B.
C. D.
解析：由tan＝sinC可知cot＝sinC，得＝2sincos，又cos>0，故sin＝，
∴＝，C＝.
答案：D
7.设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )
A. B. C. D.
解析：m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，∴sinC＋cosC＝1，即2sin(C＋)＝1，sin(C＋)＝，∴<C＋<，∴C＋＝π，C＝π.
答案：C
8.下列命题中正确的是( )
A．若x在(0，)内，则sinx>cosx
B．函数y＝2sin(x＋)的图象的一条对称轴是x＝π
C．函数y＝的最大值为π
D．函数y＝sin2x的图象可以由函数y＝sin(2x－)的图象向右平移个单位而得
答案：C
9.若θ∈(0，)，sinθ－cosθ＝，则cos2θ等于( )
A. B．－
C．± D．±
解析：∵(sinθ－cosθ)2＝1－sin2θ＝，∴sin2θ＝，又θ∈(，),2θ∈(，π)，cos2θ＝－.
答案：B
10．若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：由题意得bcsinA＝10，得bc＝40.
由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120，得a＝7.
答案：C
11．若f(x)＝2tanx－，则f()的值是( )
A．－ B．8
C．4 D．－4
解析：f(x)＝2tanx＋＝2tanx＋2cotx＝，∴f()＝8.
答案：B
12．若关于x的方程cos2x＋sinx＝m有解，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，) B．(－2,2]
C．[－2，] D．[，2]
解析：设y＝cos2x＋sinx＝－2sin2x＋sinx＋1
＝－2(sinx－)2＋，－1≤sinx≤1，
∴－2≤y≤，
∴－2≤m≤.
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝________.
解析：由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，得＝，得tan(α＋β)＝，又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
答案：
14．等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°.若P、Q为斜边BC的三等分点，则tan∠PAQ＝________.
解析：如图，设AD为BC边上的高，则AD＝，PD＝BC
tan∠PAD＝＝
∴tan∠PAQ＝tan2∠PAD＝.
答案：
15．已知函数y＝sin2x－sinx＋1，(x∈R)，若当y取最大值时，x＝α；当y取最小值时，x＝β，且α、β∈[－，]，则sin(α＋β)＝________.
解析：y＝sin2x－sinx＋1
当sinx＝sinβ＝时，y取得最小值；
当sinx＝sinα＝－1时，y取得最大值cosβ＝，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝－1×＋0×＝－.
答案：－
16．给出下列4个判断：①α∈(0，)时，sinα＋cosα>1；
②α∈(0，)时，sinα<cosα；
③α∈(，)时，sinα>cosα；
④α∈(，π)时，若sinα＋cosα<0，则|cosα|>|sinα|.
其中判断正确的序号是________(将正确的都填上)．
解析：由三角函数的图象可知，①②④正确，③错误．
答案：①②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知f(x)＝2asinxcosx＋2bcos2x，且f(0)＝8，f()＝12.
(1)求a、b的值；
(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值．
解：(1)∵f(0)＝8，f()＝12
∴
(2)由(1)知f(x)＝8sinxcosx＋8cos2x
＝4sin2x＋4(1＋cos2x)
＝8sin(2x＋)＋4
∴f(x)max＝12，此时，2x＋＝2kπ＋，(k∈Z)
即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)max＝12.
18．(12分)已知tanα＝2.求：
(1)tan(α＋)的值；
(2)的值．
解：(1)tan(α＋)＝＝＝－3.
(2)＝
＝＝＝.
19．(12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是2，其图象经过点M(，1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．
解：(1)∵f(x)的最大值为2，∴A＝2.
∵f(x)的图象经过点M(，1)，
∴2sin(＋φ)＝1，即sin(＋φ)＝，
∵0<φ<π，∴<＋φ<，
∴＋φ＝，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin(x＋)＝2cosx.
(2)∵f(α)＝2cosα＝，∴cosα＝，
∵f(β)＝2cosβ＝，∴cosβ＝，
∵α，β∈(0，)，∴sinα＝，sinβ＝，
∴f(α－β)＝2cos(α－β)＝2(cosαcosβ＋sinαsinβ)
＝2(·＋·)＝.
20．(12分)设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．
解：(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝sin(2x＋)＋1＋a，则f(x)的最小正周期T＝＝π，
且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时f(x)单调递增．即[kπ－，kπ＋](k∈Z)为f(x)的单调递增区间．
(2)当x∈[0，]时⇒≤2x＋≤，当2x＋＝，即x＝时，sin(2x＋)＝1.
所以f(x)max＝＋1＋a＝2⇒a＝1－.
2x＋＝kπ＋⇒x＝＋(k∈Z)为f(x)的对称轴．
21．(12分)已知角A、B、C为△ABC的内角，其对边分别为a、b、c，若向量m＝(－cos，sin)，n＝(cos，sin)，a＝2，且m·n＝，△ABC的面积S＝，求b＋c的值．
解：∵m＝(－cos，sin)，n＝(cos，sin)，
且m·n＝
∴－cos2＋sin2＝，即cosA＝－
又0<A<π，∴A＝.
∵S＝bc·sinA＝bc·sin＝bc＝
∴bc＝4
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc＝12
∴(b＋c)2＝16，故b＋c＝4.
22．(12分)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2－cos2A＝.
(1)求角A的度数；
(2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值．
解：(1)由4sin2－cos2A＝及A＋B＋C＝180°，得：2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝，
4(1＋cosA)－4cos2A＝5
即4cos2A－4cosA＋1＝0，∴cosA＝，∵0°<A<180°，∴A＝60°
(2)由余弦定理得：cosA＝
∵cosA＝，∴＝
∴(b＋c)2－a2＝3bc.
将a＝，b＋c＝3代入上式得：bc＝2由得：或.
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