八年级轴对称学案.doc

编码：sx-16-08-03-13-01
课题：轴对称
主备人：吴礼朝 审核人:闵云昌 徐小宝
学习目标
1、在生活实例中认识轴对称图形．掌握轴对称图形和关于直线成轴对称的概念。
2、分析轴对称图形，理解轴对称的概念
学习重点:轴对称图形及关于直线成轴对称的概念的概念。
学习难点:轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系。
方法指导：学生举例讨论学习方法。
学习过程
一、激导释标：
1，一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车车牌的号码吗？ 车牌号码是 。
（二）自主探究：（阅读教材 完成）
探究一、轴对称图形：1．观察下列吉祥物，它们有什么共同特征？ ________________________________________________________________ _________．

2．总结：什么叫做轴对称图形？_________ __________________________________． 探究二 轴对称图形对称轴的条数
1．从轴对称的角度来看，下面的哪个图形比较独特？为什么？

（1） （2） （3） （4） （5）
2

探究三1．教材 页观察中的每对图形有什么共同特点？
2．总结：什么叫做轴对称？_____________ _________________________________． 。
3、美国哈佛大学在一次数学考试中，有这样一道填空题：要求在横线上填上适当的图形．你能完成吗？
4、完成教材 页的思考，并总结轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系：
区别： 联系： 1
三、课堂训练：
（一）完成教材 及 页练习
（二）随堂反馈：
1．如图是我国几家银行的标志，图案中不是轴对称图形的是（ ）

2．下图是几个国家的国旗图案，其中只有一条对称轴的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个
3．左边图形与右边图形成轴对称的是（ ）

D．5个
A B C D
4．简体汉字“中”，“田”，“日”都是轴对称图形，请你再写出三个这样的汉字____________．
5．一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像，此时，它所看到的全身像是（ ）

6．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（ ）

A． B． C． D．
7．下列图形中对称轴最多的是（ ）A．矩形 B．正方形 C．圆 D．线段
8．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是______________．

5．请画出上述图形的对称轴．
四、课后作业：报纸
五、课后反思：
13.1 轴对称学案2
班级 科目 初二数学 课型 新 授
主备人 审核人 教学时间
一、学习目标及重难点
1、知识与技能：了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．
2、过程与方法：探究线段垂直平分线的性质
3、情感态度与价值观：经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察． 重点: 1．轴对称的性质．2．线段垂直平分线的性质．
难点: 体验轴对称的特征．
二、学习过程
（一）思维启动：在艺术字中，有些汉字是轴对称，请你仔细观察下列一些轴对称汉字的一半．
根据这些一半汉字，请你猜出它们都是哪些字的一半呢？
（二）自主探究：探究一 轴对称性质
将一张矩形纸片折叠，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平，如图所示．
1．图中的两个“14”有什么关系？___________________________________________________．
的线段与折痕所在的直线l有什么关系？_________ ________．¢2．连结对应点E和点E
有什么关系？_______________________________ ________．¢B¢3．线段AB和线段A
呢？__________________ ____________________．¢有什么关系？∠D和∠D¢4．∠C和∠C
5．总结：①什么叫做线段的垂直平分线？ ______________________________ ____ _ ___ ____． ②轴对称有哪些性质？ 。 探究二 轴对称图形的画法
如图给出了一个图案的一半，其中虚线l是这个图案的对称轴，整个图案是什么形状？请准确地画出它的另一半．
1．图案的一半是由几条线段组成的？要想画出它的轴对称图形需要找几个关键点？
____________________________________________________________．
2．画出它的另一半．整个图案是什么形状？
探究三 线段垂直平分线的性质
1、如图：教材 页探究：你的发现是（用符号语言表示）
2、归纳：线段垂直平分线的性质是：
l 3、请你证明
已知：
求证：
证明：

4、用符号语言表示上述性质的推理过程：
探究三 线段垂直平分线的性质的应用
例1：如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于E，垂足为D，若AC＝6，BC＝4，求△BCE的周长．
例2：如图，点D、E在△ABC的边BC上，BD＝CE，AB＝AC，试说明AD＝AE．
三、课堂训练：(一) 教材 页练习1
(二) 补充练习
1、如图12。1—8，下列推理不正确的是( )．

．¢C¢B¢是两个以直线MN为对称轴的三角形的两边，试画出完整的△ABC和△A¢B¢2．如上图，AB、C
四、课后作业 1．如图12．1—1 1，

在，DE垂直平分AB，若Ｂ

C=
2．如图12．1—12，在
的周长是l5，BD=5，求
3.如图l2．1—13，在
的周长分别是
中，边BC的垂直平分线分别交AC、BC于点E、D， 中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若求AC的长．
五、课后反思：

13.1 轴对称学案3
班级 科目 初二数学 课型 新 授
主备人 审核人 教学时间
一、学习目标及重难点
1、知识与技能：理解线段垂直平分线的判定，根据轴对称及轴对称图形的性质画出轴对称图形
2、过程与方法：探究线段垂直平分线的判定。
3、情感态度与价值观：经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察． 重点:线段垂直平分线的判定及其应用．
难点：线段垂直平分线的判定的应用
二、学习准备：
1．什么样的直线叫线段的垂直平分线?
2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 所连线段的 。
3．线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离 。
三、学习过程
探究一 线段的垂直平分线的判定
1、教材33页“探究”：
2、总结：线段的垂直平分线的判定：
3、用符号语言表示上述判定的推理：
4、结合“线段的垂直平分线的性质”和“判定”：线段垂直平分线可以看成 的点的集合。
探究二 线段的垂直平分线判定的应用
例1 如图，AD是△ABC的∠BAC的平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD是EF的垂直平分线．

探究三 线段垂直平分线的画法
1、 阅读34页例题
2、如图：用尺规画出线段AB的垂直平分线 A

B
例：如图l2．1—18，求作一点P，使PM=PN，并且使点

P
的两边的距离相等．
四、课堂训练：
1、在锐角三角形ABC内的一点P，满足PA=PB=PC，则点P是∠ABC的( )．
A．三条角平分线的交点 B。三条中线的交点 C．三条诗线的交点 D．三边垂直平分线的交点
2、如图，A、B是河l同旁的两个科技试验园，现要在河边修建一泵站，向两个科技园供水，
要求泵让到两个科技园的距离相等，试在图中确定泵站的位置．
3、教材 页练习2
拓展探究 最短距离
如图，两公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，在两条公路上各
设置一个加油站．请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从没库出发，经
过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短．
练习 如上图l2．1—21，已知内部一点P，求作使Q在ＯＡ上，R
在OB上，且使的周长最小．
五、课后作业
基训
六、课后反思：

13.2 作轴对称图形学案（教材 页）
班级 科目 初二数学 课型 新 授 主备人 审核人 教学时间
一、学习目标及重难点
1、能够作轴对称图形
2、能够用轴对称的知识解决相应的数学问题
重点：作轴对称图形
难点：用轴对称知识解决相应的数学问题
二、学习过程
（一）自主学习
1、阅读教材P39的四辐图
2、操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
3、归纳：
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的 、 完全相同
（2）新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的 点
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴
（二）作轴对称图形
1、如图，已知△ABC和直线l，请你作出△ABC关于直线l对称的图形。
2、归纳：教材P41：理解
3、练习：教材P41练习第1题
7 l

（三）用轴对称知识解决相应的数学问题
1、探究：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，
可使所用的输气管线最短？
三、小结
画轴对称图形的步骤：
四、课后作业
1、把下列图形补成关于L对称的图形。
2、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再
到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
五、课后反思：
13.2.2用坐标表示轴对称（教材 页）

班级 科目 初二数学 课型 新 授
主备人 审核人 教学时间
一、学习目标及重难点
知识与技能：1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．
2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y•轴对称的图形．
过程与方法：1．在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，•发展学生数形结合的思维意识．
2．在同一坐标系中，•感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系． 情感态度与价值观：在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心．
重点：用坐标表示轴对称
难点：利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点
二、学习准备
1、两个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，则称这两个图形
2、轴对称图形或轴对称的对称轴所连的
三、学习过程
思维启动：如图，一次幽默晚会上，主持人出了这样一道：“如何把5＋1＝3变成一个真正等式”，很长时间没有人答出，小芳仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题，你知道她是怎样做的吗？
1、阅读教材43页并完成教材所提问题
（1） “思考”中西直门的坐标完成在书上
（2）在图12.2-11中描出A、B、C、D、E及其关于X轴和Y轴的对
称点，并完成书上的表格
归纳：点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为 ；
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为 ；
点(x,y)关于原点对称的点的坐标为
例1` 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形． 2，1），则B、D两点的-例2．（1）如图，长方形ABCD的边分别平行于两条坐标轴， A、C两点的坐标分别为A（1，3），C（ 各顶点坐标．¢D¢C¢B¢坐标为B（_____________），D（_____________）． （2）写出长方形ABCD关于y轴的对称长方形A
________________．
重叠部分的面积．¢D¢C¢B¢（3）求长方形ABCD与长方形A
四、课堂训练：教材44-45页练习1,2,3（完成在书上）
五、拓展探究：平面直角坐标系中轴对称图形的坐标关系
1．在平面直角坐标系中，请你写出△PQR三个顶点的坐标．
P（____________），Q（____________），R（____________）．
2．作出△PQR关于直线x=1(记为m) 对称的图形△P1Q1R1并写出三个
顶点的坐标

P1（____________），Q1（____________），R1（____________）．
1（记为n）对称的图形△P2Q2R2并写出三个顶点的坐标P2（____________），Q2（____________），R2（____________）．-=3．作出△PQR关于直线y
1对称呢？-=1的对称点的坐标关系如何？关于直线y=4．讨论总结：关于直线x
（1）若△P1Q1R1中P1(x1,y1)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标
，y1= 2=x2+P2 (x2,y2) ，则x1
y2= ． 2+（2）若△P1Q1R1中P1(x1,y1)关于y=－1(记为n)轴对称的点的坐标P2 (x2,y2) ， 则x1= ，y1
六、小结 本节课的主要内容
1．在直角坐标系中，探索了关于x轴，y轴对称的对称点坐标规律．
2．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，作已知图形的轴对称图形，体现了数形结合的数学思想． 随堂反馈
5），则A点坐标为（ ）-1．点A关于x轴的对称点坐标为（3，
5）-5） C．（3，5） D．（3，-3，-3，5） B．（-A．（
1对称点的坐标为（ ）=2．点（2，5）关于直线x
5） C．（0，5） D．（2，2）-2，-A．（1，4） B．（
3）-3，-2），则P的坐标为（ ）A．（9，3） B．（+b，b-1），关于y轴的对称点为P2（4+a-b，+3．若点P关于x轴的对称点为P1（2a 3）-9，-3） D．（-C．（9，
1-2，1 B．2，-0，点P与P1（x1，y1）关于y轴对称，则x1，y1的对应值为（ ） A．=1-y+)2-x(4．若P（x，y）的坐标满足等式 1-2，-C．2，1 D．
5．点P到x轴，y轴的距离都是3，则点P的坐标为_____________．
的坐标为_____________．¢BC，则A¢6．如图，将△ABC沿BC向下翻折得到△A

2

（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，以正方形ABCD的中心为原点建立坐标系．点A的坐标为（1，1），则正方形ABCD的面积为_____________．
BC关于某一条直线轴对称．¢8．如图，△ABC与△A
BC关于哪条直线轴对称．¢的坐标，△ABC与△A¢（1）试写出A、B、C、A
的坐标是多少？¢是对应点，（2）如果△ABC内一点M与△AB点M的坐标为（x，y），那么点M¢C内一点M¢
七、课后作业 报纸
八、课后反思： 10
13.3.1等腰三角形1（教材 页 ）
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主备人 审核人 教学时间
一、学习目标及重难点
1、知识与技能：等腰三角形的概念及等腰三角形的性质．等腰三角形的概念及性质的应用．
2．过程与方法：经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．探索并掌握等腰三角形的性质．
3、情感态度与价值观：通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．
重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用
二、学习准备：
①三角形是轴对称图形吗？ ABD C
I②什么样的三角形是轴对称图形？
三、学习过程
1、按教材49页“探究”中的方法剪一⊿ABC，它有什么特征？ 归纳： 的三角形，叫等腰三角形。
2、阅读49页“思考”，回答提出的问题：如上图
①等腰三角形是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？ ②剪出的⊿ABC沿折痕AD所在直线对折，重合的线段有 重合的角有
3、由上归纳：等腰三角形的性质有：
性质1：等腰三角形的 相等。简写成
性质2：等腰三角形的 互相重合。 通常称作“ ” 。
4、证明性质1，
已知：
求证：
证明：
11 ABDC
思考：还有其他的证明方法吗？能得到性质2的证明吗？
5、用符号语言表示性质1和性质2的推理过程：如图
性质1： _ B_ D_ C
性质2：① 性质2：② 性质2：③
5、等腰三角形的性质的应用
例：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．
四、课堂训练：教材51页练习1、2、3
五、课堂小结：
1、等腰三角形是轴对称图形，对称轴是
2、等腰三角形性质：① 对 。
②等腰三角形的 互相重合。
六、课后作业 教材56页习题1、4、6、7题
七、课后反思： 12 ADBC
13.3.1等腰三角形2（教材P － ）
班级 科目 初二数学 课型 新 授
主备人 审核人 教学时间
一、学习目标及重难点
1、知识与技能：探索等腰三角形的判定定理．
2、过程与方法：探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．
3、情感态度与价值观：通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力．
重点：探索等腰三角形的判定定理．
难点：正确区分等腰三角形的判定与性质.能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.
二、学习准备：
1、等腰三角形有哪些性质？用符号语言表示 A
性质1：
性质2 BDC
三、学习过程：
（一）自主探究等腰三角形的判定定理：
1、思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，•能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？为什么?（将此问题转化为数学问题）
已知： 求证：

2、在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
归纳 等腰三角形的判定：
如果一个三角形有 ，那么
简写成：
3、用符号语言表示上述定理:
（二）简单应用： 例1．1、如图2：其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]
2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C=______(理由是 )． 13
②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形((理由是 ) 3、(l)如图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？ 请一一列出
(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？如有，请写出 例2：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
例3：如图，标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C•向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD和CE要多长？
四、课堂训练：教材 页练习1、2、3
D练习1
CB
练习2
1
C练习3
A
五、课堂小结 1、等腰三角形性质： 对
2、等腰三角形判定： 对
六、课后作业 1、教材 页习题2、5、
七、课后反思：

B
第14/18页
13.3.2等边三角形1（教材P

－ ）
班级 科目 初二数学 课型 新 授 主备人 审核人 教学时间
一、学习目标及重难点
1、知识与技能：经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．
2、过程与方法：经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感， 3、情感态度与价值观：积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 重点：熟识等边三角形的性质及判定
难点：1．等边三角形判定定理的发现与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题． 二、学习准备： 1叫等边三角形． 等边三角形是 等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：①② 三、学习过程：
（一）探索等边三角形的性质和判定：（教材 页）
1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？
2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？（除定义外）你能证明吗？
总结：等边三角形的性质：等边三角形 ，并且每一个角都等于 °； 等边三角形的判定：1、是等边三角形．
2、
3、用符号语言表示上述性质和判定：
性质： 判定1： 判定2： （二）等边三角形的性质和判定的应用 [例4]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m， •他们便得出一个结论：A、B之间距离不少于200m，他们的结论对吗？

第15/18页
探究：（教材 页）如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE．△ADE是等边三角形吗？试说明理由．
A
ED
四、课堂训练：1、教材 页练习1、2
2、补充练习：如图，△ABC是等边三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD、CD•的垂直平分线分别交BC于E、F，求证：BE=CF．
A
D
C
五、课堂小结
等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定．

六、课后作业
1．已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E． 求证：△ADE是等边三角形．
B
2．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD． 求证：DB=DE．
A
A
ED
七、课后反思：
第16/18页
13.3.2等边三角形2（教材P － ）
班级 科目 初二数学 课型 新 授 主备人 审核人 教学时间
一、学习目标及重难点
1、知识与技能：探索─发现─猜想─证明直角三角形中有一个角为30°的性质及简单应用． 2、过程与方法：经历“探索─发现─猜想─证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系。培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力． 3、情感态度与价值观：鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲． 重点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
难点：1．含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题． 二、学习准备：
1．等边三角形是 图形，它有 条对称轴． 2．等边三角形 相等，都等于 °
3． 的三角形是等边三角形． 4． 的等腰三角形是等边三角形．
三、学习过程：
（一）教材 页”探究”：
1、用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
2、由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
结论：
已知：
求证：
证明：
A
CD
3、用符号语言表示上述结论：
（二）应用举例：
[例1]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
B
D
第17/18页
[例2] 已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线． 求证：CD=2AD
A
D
B
．
四、课堂训练：1、教材 页练习
2、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
五、课堂小结
在直角三角形中， 30°角所对的 六、课后作业
1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=
2、已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=
七、课后反思：
1
AB． 4
C
1
AB．求证：∠BAC=30°． 2
A
B
(1)
C