通用版2023高中数学函数的应用常考点.pdf

1 (每日一练每日一练)通用版通用版 20232023 高中数学函数的应用常考点高中数学函数的应用常考点 单选题 1、一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：1g2=0.301，1g3=0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1h）A2.3 小时 B3.5 小时 C5.6 小时 D8.8 小时 答案：A 解析：药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解 设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效 则2500 0.8=1500，0.8=0.6，lg0.8=lg0.6，lg0.8=lg0.6，=lg0.6lg0.8=lg610lg810=lg2+lg313lg21=0.301+0.4771130.3011 2.3 故选：A 2、某品牌牛奶的保质期（单位：天）与储存温度（单位：）满足函数关系=+(0,1).该品牌牛奶在0的保质期为 270 天，在8的保质期为 180 天，则该品牌牛奶在24的保质期是（）A60 天 B70 天 C80 天 D90 天 答案：C 解析：2 根据题意将=0或8代入表达式即可求解.由题意可知，0+=270，8+=180，可得8=8+=23，所以24+=(8)3=(23)3 270=80，故该品牌牛奶在24的保质期是 80 天.故选：C 小提示：本题考查了函数模型的应用，考查了分析能力以及基本运算求解能力，属于基础题.3、若函数()=2，02，0 有且只有一个零点，则的取值范围是（）A(,1)(0,+)B(,1)0,+)C1,0)D0,+)答案：B 解析：由()=0可知当 0时，因为log21=0，所以有一个零点，进而可知当 0时，函数()没有零点即可，进而结合指数函数的性质讨论得出结果.解：当 0时，因为log21=0，所以有一个零点，所以要使函数()=2，02，0 有且只有一个零点，则当 0时，函数()没有零点即可，当 0时，0 2 1，1 2 0，1 2 0，即 0或 0，所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.6 （3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在 1中，1=15.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15 时，=2 2=152 62=321.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ=321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为 17+321（百米）.解法二：（1）如图，过O作OHl，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.7 因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为 3，3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为34.因为PBAB，所以直线PB的斜率为43，直线PB的方程为=43 253.所以P（13，9），=(13+4)2+(9+3)2=15.因此道路PB的长为 15（百米）.（2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO=45，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），所以线段AD：=34+6(4 4).在线段AD上取点M（3，154），因为=32+(154)2 32+42=5，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在 1中，1=15.8 由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15 时，设Q（a，9），由=(4)2+(9 3)2=15(4)，得a=4+321，所以Q（4+321，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（13，9），Q（4+321，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离 =4+321 (13)=17+321.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米）.小提示：本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.