有限电导率下格林函数的解析表达式及其数值计算.pdf

文章编号:100923443(2001)0420013204有限电导率下格林函数的解析表达式及其数值计算许志红,钱祖平,益晓新(解放军理工大学 通信工程学院,江苏 南京210016)摘要:在阻抗边界条件下,有限电导率地平面上电偶极子的赫兹位函数可被表达成电偶子源的直达波,镜像源的反射波与一个无穷积分或一个贝塞尔函数级数之和的解析形式。讨论了赫兹位函数的无穷级数和无穷积分两种表达形式在数值计算过程中的收敛性和收敛速度等问题,分析了这两种表达形式各自的特点和在快速计算时的优缺点,给出了在地表面电波传播问题中近区传播损耗的计算方法。关键词:Sommerfeld积分;解析表达式;收敛性;数值计算中图分类号:TN 011文献标识码:AAna lytica l Expression and Num e rica l Ca lcula tion for G reensFunctions in Finite ConductivityX U Zhi2hong,Q IA NZu2p ing,Y I X iao2x in(Institute of Communications Engineering,PLA U niv.of Sci.&Tech.N anjing 210016,China)Abstract:Subject to i mpedance boundary condition,Hertz potential of electric dipole over the earths sur2face in finite conductivity can be expressed as the sum of three parts:a direct filed of the dipole,a reflectedfield of i mage source and an infinite integral or a series of Bessel functions.In this paper,w e discuss theconvergence and the convergent speed of infinite series and infinite integral of Hertz potenitials during nu2merical calculating,analyze the characteristicsof these two expression form s and the advantages and disad2vantages in quick calculation,and propose a new algorithm to calculate propagation loss in different re2gions in researching the problem of propagation loss over the earths surface.Key w ords:sommerfeld integrals;analytical expression;convergence;numerical calculation收稿日期:2000206228.基金项目:国家自然科学基金资助项目(69931040).作者简介:许志红(1976-),女,硕士生.具有有限电导率的地平面上各种天线发射的电波传播的计算可通过相应问题的格林函数的积分求得,分层介质的格林函数根据谐变电磁场方程与各种边界条件通过积分变换可以表示成索莫非尔德(Sommerfeld)型积分的形式1,2,这些积分的被积函数具有快速振荡的特性,它们与地球表面附近电磁辐射和散射等实际问题的研究有着密切的关系,如何精确有效地计算这些积分一直是很多学者研究的课题。早期,人们主要致力于推导各种近似的解析公式36,随着计算机技术的发展,数值积分法和解析近似数值积分法受到人们的重视。数值积分法可不受场点和源点位置,分层介质的媒质参数以及频率范围等条件的限制,但是数值积分往往耗时比较大,如何加快无穷积分的收敛速度,减少数值积分的计算时间是研究的主要问题。本文利用阻抗边界条件来求解地平面上垂直电偶极子赫兹位函数的分布见文献1,根据谐变电磁场的赫兹位函数方程和它的阻抗边界条件应用傅立叶贝塞尔变换将赫兹位函数表示成为一个分层介质的格林函数,根据谐变电磁场方程与各种边界条件通过积分变换可以表示成索莫菲尔德(Sommer2feld)型积分,通过恒等变换并应用索莫菲尔德恒等式和积分变换将赫兹位函数表示成为电偶极源的直第2卷 第4期2001年8月解 放 军 理 工 大 学 学 报(自 然 科 学 版)Journal of PLA U niversity of Science and TechnologyVol.2 No.4A ug.2001 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.达波,镜像源的反射波和一个普通的无穷积分的修正项,着重讨论了无穷积分修正项的收敛速度,给出了利用数值积分进行计算的一些结果。此外借助于级数展开得到了无穷积分修正项的一个无穷级数的解析形式,并讨论了该无穷级数的收敛性和实际计算中涉及的一些问题,给出了计算结果。1赫兹位的积分表达电流偶极子源Idl位于圆柱坐标系(,z)中z轴的d处,方向为z轴方向,上半面平(z 0)是空气,媒质参数为 0,0,下半平面(z 0j0Zs55Z=-,z=0(3)电磁场由赫兹位的z方向分量表示如下:Ex=525x5z,Ey=525y5z,Ez=525z2+k20Hx=j055y,Hy=-j055x,Hz=0(4)应用傅立叶贝塞尔变换和索莫菲尔德恒等式,赫兹位的格林函数可以表示为如下形式=-jIdl4 0(e-jk0r-r-+e-jk0r+r+-2jk0G)(5)式中=00Zs=0-j,r=2+(zd)2。其中G有如下两种表达形式1:G=exp(jk0(z+d)1exp-jk02Q t(1+)+1Q t(1-)dtt(6)G=-exp(jk0(z+d)j2H(2)0()+5J0()+2n=1(-j)nnsh(n5)Jn()(7)其中 5=ln(Q1+1-),=k01-2,I m()1.0,I m()0,当t时,被积函数exp-jk02Q t(1+)+1Q t(1-)texp(k0QI m()2t),所以无穷积分一定是收敛的,收敛速度取决于k0QI m()2的绝对值的大小,用有限区间上的积分N1exp-jk02Q t(1+)+1Q t(1-)dtt作为无穷积分的近似值时误 差 不 超 过2k0QI m()exp(k0QI m()2N),因此当大地的有限电导率给定后,频率越高,需要计算的场点离开源点的距离 越远,则积分的区间可以越小,从这一点来看,采用无穷积分的计算式子式(6)进行赫兹位的计算更适合于高频和远区的计算,但是对高频和远区尽管有限区间的积分上限变小了,而被积函数在积分区间1,N上的震荡更加剧烈了,利用数值积分方法41解 放 军 理 工 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第2卷 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.计算时需要分割得更细或用高精度的高斯型求积公式,后面给出的算例1也说明了这一点,所以公式(6)适合于比较高的频率和较远处的赫兹位计算。对于式(7)中无穷级数部分B=n=1(-j)nnsh(n5)Jn()由于其中sh(n5)Jn()exp(n5)1n!nexp(24)=1n!e5nexp(24),所以无穷级数一定是绝对收敛的,收敛的速度取决于e5的大小,用有限项的部分和Nn=1(-j)nnsh(n5)In()作为无穷级数的近似值时误差不超过1n!e5nexp(24),因此当具有有限电导率的大地一定后,频率越大,需要计算的场点离开源点的距离 越大时,则求部分和项数越多,从这一点来看,采用无穷级数的计算式子(7)进行赫兹位的计算更适合于低频和近区,并根据误差的估计项1n!e5nexp(24)和要求的计算精度来确定求和的项数,当频率较高且 比较大时,也即比较大,求和的项数比较多,当计算较后面的项时,由于sh(n5)Jn()中的sh(n5)很大,而Jn()通常是利用近似公式计算的,这样误差就放大了很多,积累起来的误差会大大降低计算的精度,甚至会使计算结果完全失去意义,后面的算例2也说明了这一点,所以公式(7)适合于低频率和较近区赫兹位的计算。通过上面的分析,我们可以对不同的情况采用不同的计算公式,吸取式(6)和式(7)各自的优点,以达到快速正确地计算赫兹位。3数值计算结果下面的两个算例将对以上分析结果进行验证与说明。设大地为均匀的具有有限电导率的媒质,媒质参数是 =150,=0,=310-3S?m;I=1,dl=1,z+d=0.02,且z=d。算例1:采用无穷积分公式(6)进行赫兹位计算,采用归一化距离?,得表1数据(赫兹位模值)。表1采用无穷积分公式计算得到的赫兹位Tab.1Hertz potential by formula ofinf in ite integral inf in iteN场源点间距?=1?=100单位间隔长度1?501?5001?50001?501?5001?500010016.790516.703216.6946 0.628705 0.7210930.722711100016.77816.690916.6823 0.628705 0.7210930.7227111000016.77816.690916.6823 0.628705 0.7210930.722711由表1可知,当取频率比较高时,场点离开源点的距离越远,赫兹位模值越小,保证赫兹位一定精度的情况下,有限区间的积分上限N可以取得很小,但数值积分时区间分割要求更细。同样我们也验证了频率比较低时,其他特征基本一致,与频率高时相比,N要求取得比较大,但数值积分时可以分割得较粗。这充分说明,采用无穷积分的公式(6)进行赫兹位的计算适合于高频和远区。算例2:采用无穷级数公式(7)进行赫兹位计算,采用归一化距离?,得表2数据(赫兹位模值)由表2可知,当频率较高且 较大时,求和项数较多,计算结果产生畸变,就完全失去了意义。与此同时,我们还对频率较低的情况进行了验证,与表2相比,在保证结果有意义的情况下,对较大的,只要级数项数取得较多,计算结果较好,但对频率较高和较大的,即使求和项数取得很大,也无法计算出符合精度要求的数值。这也充分说明,采用无穷级数的公式(7)进行赫兹位计算适合于低频率和较近区。从以上的分析和实际计算,得到如下结论:尽管有限电导率地平面上电偶极子的赫兹位的两种计算公式(6)和公式(7)在理论上是等价的,但实际计算中两种公式的效果是不同的;当?5时利用无穷级数的公式(7)进行计算要比利用无穷积分公式(6)效果要好,当5?100时利用无穷积分的公式(6)进行计算要比时利用无穷级数的公式(7)效果要好。表2采用无穷级数公式计算得到的赫兹位Tab.2Hertz potential by formula of inf in ite series求和项数?0.1110?35635?3100100020110.6816.689.798.8730.2530.688.231041.48100110.6816.687.716.244.5026.199.34e+0083.16e+01151第4期许志红,等:有限电导率下格林函数的解析表达式及其数值计算 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.在阻抗边界条件下,有限电导率地平面上电偶极子的赫兹位的两种计算形式各有特点,它们适合于不同频率、不同区域的赫兹位的计算。因此,本文的结果可为准确地计算和分析地表面上各种电波传播问题提供方便。参考文献:1龚着麟,徐承和.近代电磁理论M.北京:北京大学出版社,1990.2MOSI N G J R,Gardiol F E.A nalytic and numericaltechniques in the Greens function treatment of m i2crostrip antennas and scatters J.Inst Elect EngProc,1987,130 pt H:129921301.3YAN G J J,CHOW Y L,HOWARD G E,et al.Co2mplex i mages of an electric dipole in homogeneous andlayered dielectric between two ground planes J.IEEE T ransM TT,1992,40(3):5952600.4M ICHALA KIK A,MOSIG J R.M ultiplayeredmediaGreens functioninintegral equatinon formulationJ.IEEE T ransA P,1997,45(3):5082517.5A KSUN M I.A robust approach for the derivation ofclosed from Greens function J.IEEE T ransM TT,1996,44(5):6512658.6李江,傅君眉.平面分层介质结构的空间域格林函数近似解J.微波学报,1999,15(3):2212226.7 SEN I OR T B A.I mpedance boundary condition fori mper2fectly conducting surfaces J.Appl Sci Res1960.8 毕德显.电磁场理论M.北京:电子工业出版社,1985.9江滨浩,刘永坦.Sommerfeld型积分的解析表达式J.微波学报,2000,16(1):38244.(责任编辑:徐金龙)简讯理工大学通信工程学院将举办第七届全国青年通信学术会议全国青年通信学术会议是由中国通信学会主办的系列学术会议,每两年举行一次,前6届由清华大学、北京邮电大学、成都电子科技大学、西安电子科技大学、北方交通大学等高等院校承办。参加会议的人员主要是各科研院所和高等院校的青年科技工作者、在读博士、硕士研究生,会议的规模一般在150至200人。根据中国通信学会2001年度学术工作安排,第七届全国青年通信学术会议定于2001年10月24日至26日在六朝古都南京举行,由解放军理工大学通信工程学院承办。目前,会议已收到论文310余篇,录用论文251篇,涵盖了通信与计算机的各个领域,包括信号处理、调制与编码、接入网络、光通信、移动通信、无线与卫星通信、交换技术、通信对抗与通信抗干扰、信息安全与网络安全、局域网、城域网、广域网等,会议论文集将由电子工业出版社正式出版。本次会议的主题是“开创新世纪的通信技术”,会议将围绕通信新技术及相关专题进行深入的研讨,邀请知名专家就通信领域的最新发展动态作专题报告,邀请中外企业介绍通信领域的新业务和新产品,组织学术界与企业界的交流。(解放军理工大学通信工程学院,科研科)61解 放 军 理 工 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第2卷 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.