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2.8 幂函数
一、填空题
1.在函数中,幂函数的个数为_______个.
解析 显然,根据幂函数定义可知,只有是幂函数.
答案 1
2. 在幂函数y＝x4，y＝x，y＝x－3，y＝x－，y＝x－2中，是奇函数的有____________；是偶函数的是____________；没有奇偶性的是________．
解析 由幂函数的性质容易得出答案.
答案 y＝x－3 y＝x4；y＝x－2 y＝x；y＝x－
3.设a=0..log.7,则a，b，c的大小关系是________．
解析 ∵幂函数在上是增函数,
∴0<a<b.∵log.7<0,∴c<a<b.
答案 c<a<b
4．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________.
解析 ∵f(x)＝k·xα是幂函数，∴k＝1.
又f(x)的图象过点，
∴α＝，∴α＝.∴k＋α＝1＋＝.
答案
5．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________．
解析 当α＝1,3时，y＝xα的定义域为R且为奇函数，符合要求；当α＝－1时，y＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}，不符合要求；当α＝时，y＝x的定义域为[0，＋∞)，不符合要求．
答案 1,3
6．已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝________.
解析 设f(x)＝xm，g(x)＝xn，则由2＝()m得m＝2，由＝(－2)n，得n＝－2，所以f(2)＋g(－1)＝22＋(－1)－2＝5.
答案 5
7.幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为________．
解析 由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，
又m∈Z，∴m＝0,1,2.
∵m2－2m－3为偶数，经验证m＝1符合题意．
答案 1
8.已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.
解析 由题意，设y＝f(x)＝xα，，则2＝()α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.
答案 ±1
9．给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．
解析 命题①显然正确；只有当α>0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若α<0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；函数y＝x就是一个非奇非偶函数，故命题③错误；由于在y＝xα(α∈R)中，只要x>0，必有y>0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故命题④正确，命题⑤也正确；幂函数y＝x3在
(－∞，0)上是递增函数，故命题⑥错误．因此正确的说法有①④⑤.
答案 ①④⑤
10 .若则a的取值范围是 .
解析 令则f(x)在上是减函数,
故得解得.
答案
11．下列命题：
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；
④幂函数y＝xn，当n＞0时是增函数；
⑤幂函数y＝xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的是________．
解析 幂函数y＝xn，当n<0时，不过(0,0)点，①错误；当n＝0时，y＝xn中x≠0，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；y＝x2在(－∞，0)上是减函数，(0，＋∞)上是增函数，④错．
答案 ②⑤
12.若函数f(x)=则f(f(f(0)))= .
解析 f(f(f(0)))=f(f(-2))=f().
答案 1
13．设函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．
解析 a＝0显然成立．a≠0时，二次函数对称轴为x＝－，所以a＜0且－≥4，解得－≤a＜0，综上，得－≤a≤0.
答案
二、解答题
14．幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，求实数m的值．
解析 因为函数是幂函数，
所以m2－3m＋3＝1，∴m2－3m＋2＝0，∴m＝1或m＝2.
当m＝1或m＝2时，函数的图象都不经过原点，
所以m＝1或m＝2.
15.方程有一根大于1,另一根小于1,求实数m的取值范围.
解析:令
当m>0时,f(1)=3m+1<0,
即舍去.
当m<0时,3m+1>0,即.
∴.
16．已知函数y＝.
(1)求函数的定义域、值域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)求函数的单调区间．
解析 这是复合函数问题，利用换元法．
令t＝15－2x－x2，则y＝.
(1)由15－2x－x2≥0，得－5≤x≤3，
故函数的定义域为[－5,3]，
∴t＝16－(x＋1)2∈[0,16]，
∴函数的值域为[0,2]．
(2)∵函数的定义域为[－5,3]，不关于原点对称，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
(3)∵函数的定义域为[－5,3]，对称轴为x＝－1，
∴x∈[－5，－1]时，t随x的增大而增大；
x∈(－1,3]时，t随x的增大而减小．
又∵函数y＝在t∈[0,16]时，y随t的增大而增大，
∴函数y＝的单调增区间为[－5，－1]，
单调减区间为(－1,3]．
17.不等式x-4<0对一切R恒成立,求a的取值范围是.
解析 当a-2=0,
即a=2时,-4<0恒成立;
当时,
解之得-2<a<2.
∴a的取值范围是.
18．f(x)＝－x2＋ax＋－在区间[0,1]上的最大值为2，求a的值．
解析 f(x)＝－2＋－＋.
①当∈[0,1]，即0≤a≤2时，f(x)max＝－＋＝2，
则a＝3或a＝－2，不合题意．
②当＞1时，即a＞2时，f(x)max＝f(1)＝2⇒a＝.
③当＜0时，即a＜0时，f(x)max＝f(0)＝2⇒a＝－6.
综上，f(x)在区间[0,1]上的最大值为2时a＝或－6.
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