寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解.pdf

文章编号:100020240(2009)0120113206寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解 收稿日期:2008 206203;修订日期:2008 209217 基金项目:中国科学院知识创新工程重要方向项目(KZCX3 2SW2351);国家自然科学基金项目(40730736)资助 作者简介:张耀(1968),女,重庆人,兰州交通大学副教授,1998 年在四川大学获硕士学位,现为在读博士研究生,主要从事寒区岩土工程方面的科研和力学方面的教学工作.E 2mail:张 耀1,2,何树生1,李靖波1(1.中国科学院 寒区旱区环境与工程研究所 冻土工程国家重点实验室,甘肃 兰州 730000;2.兰州交通大学 土木工程学院,甘肃 兰州 730070)摘 要:在多年冻土地区修建隧道,会影响到多年冻土的热稳定性,目前一般采用在隧道衬砌中设置隔热层的方法来防止冻土围岩融化.根据隧道现场实测的气温资料,考虑正弦曲线规律变化的对流换热边界条件,建立了一次衬砌、隔热层、二次衬砌及围岩4 层结构的圆形隧道热传导方程.运用微分方程求解方法和贝塞尔特征函数的正交和展开定理,对 4个热传导方程进行了求解,得到隧道一次衬砌、隔热层、二次衬砌及围岩 4 层结构温度场的解析解,将计算结果与现场实测结果进行比较,吻合良好.计算结果还表明,在衬砌中铺设厚 5 cm、导热系数为 0 1 03 W#m-1#e-1的隔热层可以保证风火山隧道围岩不发生季节性融化.该解析解可用于验证其它数值方法的计算结果,也便于工程设计人员和施工人员对同类寒区隧道进行温度场的计算,因而具有一定的工程应用价值.关键词:寒区隧道;隔热层;解析解;温度场中图分类号:TU445文献标识码:A0 引言在高原多年冻土山区开挖隧道,在夏季隧道围岩会发生季节性融化,为了使冻土围岩不融化,目前采取的方法是在一次衬砌和二次衬砌之间加防水隔热层.隧道衬砌内铺设防水隔热层以后,围岩的温度状况如何是值得研究的问题.Lai Yuanming等1应用摄动技术考虑相变,推导了圆形隧道围岩的冻结深度;Lai Yuanming 等2考虑围岩的热传导和空气与围岩的对流换热,对风火山隧道进行了三维数值非线性温度场分析;Yigit3运用摄动法对有限厚度的正弦曲线模型、液相变固相的二维热传导问题进行了近似解析解的求解;张学富等4运用有限元法分析了施工对寒区隧道融化圈的影响;何春雄等5建立了隧道内空气与围岩对流换热及围岩传热模型,分析了隧道内空气分别为层流和紊流的情况时,隧道内气温及围岩的温度.到目前为止还没有含隔热层复合衬砌的寒区隧道温度场的解析解.本文考虑隧道内实测气温随时间正弦变化的对流换热边界条件,建立隧道一次衬砌、隔热层、二次衬砌和围岩的热传导方程,运用微分方程的求解方法对其进行求解,得到这 4 层材料的圆形寒区隧道温度场的解析解公式,该解析解既可用于工程估算也可用来校核数值计算的结果.1 问题的数学模型为了得到完备的解析解,首先将隧道假设成圆形,其次假设传递到围岩时的热量不足以使围岩融化,故没有考虑相变.隧道的计算内径为 R1,保温层内侧半径 R2,保温层外侧半径 R3,隧道外径为R4,围岩半径取 R5.计算示意图见图 1.该问题的热传导方程6为:Kjcj1r55r(r5Tj5r)=5Tj5tRj r 0(2)T1=T2,K15T15r=K25T25rr=R2,t 0(3)T2=T3,K25T25r=K35T35rr=R3,t 0(4)T3=T4,K35T35r=K45T45rr=R4,t 0(5)T4=T04,r=R5,t 0(6)式中:A为空气与围岩的对流换热系数;T(t)为隧道内的气温;T04为围岩外边界处的温度.初始条件为:Tj=T0j,Rj r Rj+1,t=0 j=1,2,3,4(7)式中:T0j(j=1,2,3,4)分别是一次衬砌、隔热层、二次衬砌及围岩的初始温度.2 问题的求解上述数学模型是一个非齐次边界条件的非稳态热传导问题,为了求解该问题,必须对边界条件及微分方程进行处理,将其分解成下面简单的 3 个问题.前两个问题易于求解,后一个问题的求解要复杂一些,需要用到计算机数值分析来辅助求解.具体形式如下:Tj(r,t)=j(r)T(t)+Uj(r)T04+Hj(r,t)Rj r 0 j=1,2,3,4(8)式中:函数j(r)、Uj(r)和 Hj(r,t)(j=1,2,3,4)分别是下列三个子问题的解.2.1 函数j(r)的求解函数j(r)(j=1,2,3,4)分别是下列与原问题有相同定义域,在 r=R1处有一非齐次边界条件的稳态热传导问题的解:Kjcj1r55r(r5j5r)=0Rj r Rj+1 j=1,2,3,4(9)具有边界条件:Kj515r+A(1-1)=0,r=R1(10)1=2,K1515r=K2525r,r=R2(11)2=3,K2525r=K3535r,r=R3(12)3=4,K3535r=K4545r,r=R4(13)4=0,r=R5(14)对微分方程(9)进行求解,将 K1=K3=Kc,K2=Ki,K4=Kf代入结果可得:1(r)=lnR3rR2R4+KcKilnR2R3+KcKflnR4R5KcA R1+lnR1R3R2R4+KcKilnR2R3+KcKflnR4R5(15)2(r)=lnR3R4+KcKilnrR3+KcKflnR4R5KcA R1+lnR1R3R2R4+KcKilnR2R3+KcKflnR4R5(16)3(r)=lnrR4+KcKflnR4R5KcA R1+lnR1R3R2R4+KcKilnR2R3+KcKflnR4R5(17)4(r)=KcKflnrR5KcA R1+lnR1R3R2R4+KcKilnR2R3+KcKflnR4R5(18)式中:Kc、Ki和 Kf分别为混凝土、隔热层和围岩的导热系数.2.2 函数 Uj(r)的求解函数 Uj(r)(j=1,2,3,4)分别是下列与原问题有相同定义域,在 r=R5处有一非齐次边界条件的稳态热传导问题的解:114 冰 川 冻 土 31 卷 Kjcj1r55r(r5Uj5r)=0Rj r Rj+1 j=1,2,3,4(19)有下面边界条件:K15U15r+A U1=0,r=R1(20)U1=U2,K15U15r=K25U25r,r=R2(21)U2=U3,K25U25r=K35U35r,r=R3(22)U3=U4,K35U35r=K45U45r,r=R4(23)U4=1,r=R5(24)对微分方程式(19)进行求解,将 K1=K3=Kc,K2=Ki,K4=Kf代入结果可得:U1(r)=-KcA R1+lnrR1-KcA R1+lnR2R4R1R3-KcKilnR2R3+KcKflnR5R4(25)U2(r)=-KcA R1+lnR2R1+KcKilnrR2-KcA R1+lnR2R4R1R3-KcKilnR2R3+KcKflnR5R4(26)U3(r)=-KcA R1+lnR2rR1R3-KcKilnR2R3-KcA R1+lnR2R4R1R3-KcKilnR2R3+KcKflnR5R4(27)U4(r)=-KcA R1+lnR2R4R1R3-KcKilnR2R3+KcKflnrR4-KcA R1+lnR2R4R1R3-KcKilnR2R3+KcKflnR5R4(28)2.3 函数 Hj(r,t)的求解函数 Hj(r,t)(j=1,2,3,4)分别是下列与原问题有相同定义域,具有齐次边界条件的非稳态热传导问题的解:Kjcj1r55r(r5Hj5r)=5Hj5tRj r 0(30)H1=H2,K15H15r=K25H25rr=R2,t 0(31)H2=H3,K25H25r=K35H35rr=R3,t 0(32)H3=H4,K35H35r=K45H45rr=R4,t 0(33)H4=0,r=R5,t 0(34)及初始条件:Hj=T0j Rj r 0(37)1r#ddrrdWjndr+cjKjB2nWjn=0Rj r Rj+1 j=1,2,3,4(38)将式(36)代入边界条件式(30)(34),可得:K15W1n5r+A W1n=0,r=R1(39)W1n=W2n,K15W1n5r=K25W2n5r,r=R2(40)W2n=W3n,K25W2n5r=K35W3n5r,r=R3(41)W3n=W4n,K35W3n5r=K45W4n5r,r=R4(42)W4n=0,r=R5(43)下标 n 为有无穷多个不连续的特征值B1 B2,Bn,和相应的特征函数 Wjn.方程式(37)的时间变量函数#(t)的解为:#(t)=e-B2nt(44)方程式(38)是贝赛尔微分方程,一般解为:Wjn(r)=AjnJ0Hjnr+BjnY0Hjnrj=1,2,3,4(45)式中:Ajn,Bjn为常系数;J0Hjnr和 Y0Hjnr为贝塞尔函数;Hjn=cjKjBn,j=1,2,3,4.将式(44)和式(45)代入式(36)得:Hj(r,t)=En=1cne-B2ntWjn(r)j=1,2,3,4(46)式中:cn为常系数,累加号是对上面所有的特征值Bn求和.由于方程式(38)是贝赛尔微分方程,它的特征函数 Wjn应满足下列正交关系式:1151 期张 耀等:寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解 E4j=1QRj+1RjrWjn(r)#Wjm(r)dr=0 n X mNn n=m(47)式中:范数 Nn定义为:Nn=E4j=1QRj+1Rjr W2jn(r)dr(48)将式(46)代入初始条件(35)得到:T0j=En=1cnWjn(r)j=1,2,3,4(49)利用下面的算子:QRj+1Rjr Wjm(r)dr j=1,2,3,4 分别对式(49)的两边进行运算,然后相加得:E4j=1QRj+1RjrT0jWjm(r)dr=En=1cnE4j=1QRj+1RjrWjn(r)Wjm(r)dr 根据正交关系式(47),于是系数 cn为:cn=1NnE4j=1QRj+1RjrT0jWjn(r)dr(50)式(45)中的 8 个系数可由边界条件式(39)(43)给出的 8个线性齐次方程来求解,这些系数可由其中一个系数(不为零的数)或系数再乘以任意一个常数来表示.结果很复杂,这里不再罗列.为了求得特征值 Bn需要一个附加关系式,即要使 8 个边界齐次方程有非零解,只有系数行列式为零.由这个条件可得到确定特征值 Bn的超越方程,求解超越方程可得 Bn值.将以上 3个问题的解答代入式(8),就可以得到二次衬砌、隔热层、一次衬砌和围岩温度的解析解.3 计算结果与分析以青藏铁路线风火山隧道为例,隧道的计算内径为 315 m,复合衬砌中二次衬砌厚 015 m,隔热层厚 0105 m,一次衬砌厚 0 13 m.钢筋混凝土的比热为 2 1465106J#m-3#e-1,导热系数为 1 1355W#m-1#e-1;隔热层材料为聚氨酯泡沫,比热为01072 106J#m-3#e-1,导热系数为 0 1 03 W#m-1#e-1;隧道 DK1159+046 断面围岩的导热系数 1 1825 W#m-1#e-1,围岩的比热为 1 1617106J#m-3#e-1;空气与隧道的对流换热系数A=15 10 W#m-2#e-1.二次衬砌的初始温度 T01=10 e,隔热层的初始温度 T02=8 e,一次衬砌的初始温度 T03=5 e,围岩的初始温度 T04=-2e.根据实测气温资料(由中铁西南科学研究院提供),2004 年隧道 DK1159+046 断面的气温边界条件为:T(t)=-4.46+8.56sin2P8760t-P2(51)式中:t 为时间(h).将以上参数代入式(15)(18)计算,可得:1(r)=1.977-0.764#lnr(52)2(r)=48.773-34.521#lnr(53)3(r)=1.558-0.764#lnr(54)4(r)=1.268-0.567#lnr(55)将以上参数代入式(25)(28)计算,可得:U1(r)=-0.977+0.764#lnr(56)U2(r)=-47.773+34.521#lnr(57)U3(r)=-0.558+0.764#lnr(58)U4(r)=-0.268+0.567#lnr(59)最后可求得二次衬砌、隔热层、一次衬砌和围岩温度的解析解公式为:T1(r,t)=(1.977-0.764lnr)-4.46+8.56sin2P8760t-P2-2#(-0.977+0.764lnr)+1.150 e-5.184 10-5tJ0(0.162r)+2.761Y0(0.162r)3.5 r 4.0(60)T2(r,t)=(48.773-34.521lnr)-4.46+8.56sin2P8760t-P2-2#(-47.773+34.521lnr)+1.150 e-5.184 10-5t19.617 J0(0.186r)+141.230Y0(0.186r)4.0 r 4.05(61)T3(r,t)=(1.558-0.764lnr)-4.46+8.56sin2P8760t-P2-2#(-0.558+0.764lnr)+1.150 e-5.184 10-5t-1.465J0(0.162r)+2.659Y0(0.162r)4.05 r 4.35(62)T4(r,t)=(1.268-0.567lnr)-4.46+8.56sin2P8760t-P2-2#(-0.268+0.567lnr)+1.150e-5.184 10-5t-0.771J0(0.113r)+2.315Y0(0.113r)4.35 r 9.35(63)计算时间取隧道建成后的第 1 年,即 2004 年,代入二次衬砌、隔热层、一次衬砌和围岩的温度解116 冰 川 冻 土 31 卷 析解公式(60)(63)进行计算,可得到温度随时间或半径的分布值,如图 2,3 所示.根据隧道 DK1159+046 断面在 2004 年的实测地温资料(由中铁西南科学研究院提供),可以做出实测地温的温度分布图(图 4,5):图 4 2004 年衬砌和围岩的温度实测值随时间的分布图Fig.4 In2situ observed lining and adjacent rocktemperatures changing with time in 2004 对图 3 与图 5、图 2 与图 4 进行对比分析可得到以下两点结论:(1)对图 3 和图 5 进行对比分析,发现半径 4m 至4 105 m处,二者的温度曲线都发生了剧烈变化,这是因为在这里铺设了厚度为 0 105 m、导热系数为 0 103 W#m-1#e-1的隔热层,正是隔热层的作用才使得曲线发生了突变.还可以看出,二者的温度曲线在经过隔热层以后都降到了零度以下,可见隔热层起到了预先构想的作用,能保证多年冻土围岩不发生季节性融化.图 5 2004 年衬砌和围岩的温度实测值沿半径的分布图Fig.5 In 2situ observed lining and adjacent rocktemperatures changing with radius in 2004 (2)对图 2 和图 4 进行对比分析,发现温度曲线的变化趋势是相似的,都近似正弦曲线的规律.解析解公式计算的结果与实测结果很接近,说明推导的温度场解析解公式可用于计算寒区有隔热层隧道及附近围岩的温度场.4 结语(1)为了得到完备的解析解,采用了圆形截面的假设,这与实际断面是有一定差距的,因而解析解的结果与实测值会有一定的差别.(2)假设隔热层起到了隔热的效果,围岩维持原来的热状态;另外也是为了得到完备的解析解,所以在公式推导过程中没有考虑相变.本文的例子正好符合这种情况,所以解析解计算值与实测值吻合较好.(3)推导的解析解可用于验证寒区有隔热层隧道的数值方法计算结果,也便于工程设计人员和施工人员对同类寒区隧道进行温度场的计算,因而具有一定的工程应用价值.参考文献(References):1Lai Yuanming,Liu Songyu,Wu Ziwang,et al.Approximateanalytical solution for temperature fields in cold regions circu2lar tunnelsJ.Cold Regions Science and Technology,2002,34(1):43-49.2Lai Yuanming,Zhang Xuefu,Yu Wenbing,et a l.Three2di2mensional nonlinear analysis for the coupled problem of theheat transfer of the surrounding rock and the heat convectionbetween the air and the surrounding rock in cold 2region tunnelJ.Tunnelling and Underground Space Technology,2005,20(4):323-332.3Yigit F.Approximate analytical solution of a two 2dimensionalheat conduction problem with phase2change on a sinusoidalmoldJ.Applied Thermal Engineering,2008,28(10):11961171 期张 耀等:寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解-1205,doi:10.1016/j.applthermaleng.2007.08.001.4Zhang Xuefu,Su Xinmin,Lai Yuanming,et al.Analyzingthe effect of tunneling on temperature of permafrost in theKunlun Mountains,Tibetan Plateau J.Journal of Glaciolo2gy and Geocryology,2003,25(6):621-627.张学富,苏新民,赖远明,等.昆仑山多年冻土隧道施工温度影响分析J.冰川冻土,2003,25(6):621-627.5He Chunxiong,Wu Ziwang,Zhu Linlan.Analysis of freeze2thaw condition in the surrounding rock wall of the DabanshanTunnel in the Qilian Mountains J.Journal of Glaciology andGeocryology,2000,22(2):113-120.何春雄,吴紫旺,朱林楠.祁连山区大坂山隧道围岩的冻融状况分析J.冰川冻土,2000,22(2):113-120.6;zisik M N.Heat Conduction M.Translated by YuChangming.Beijing:Higher Education Press,1984.奥齐西克 M N.热传导 M.俞昌铭译.北京:高等教育出版社,1984.Analytic Solutions for the Temperature Fields of a Circular Tunnelwith Insulation Layer in Cold RegionZHANG Yao1,2,HE Shu2sheng1,LI Jing2bo1(1.State Key La boratory of F rozen Soil Engineering,CAREERI,CAS,Lanzhou Gansu 730000,China;2.School of Civil Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou Gansu 730070,China)Abstract:The thermodynamic stability of perma2frost will be influenced when a tunnel built into thepermafrost.In order to keep the surrounding rockof tunnel from thawing,the usual measure is toplace an insulation layer between the linings.Ac2cording to the in2situ observed air temperatures ofthe tunnel,taking into account the convectionboundary condition of air temperatures changedwith sinusoid,the governing differential equationsof heat conduction of the first lining,the insulationlayer,the second lining and the surrounding rockof tunnel are established.Using the solution of dif2ferential equation and the orthogonal and expan2sion theorem of Bessel eigenfunction,the four dif2ferential equations are solved.The temperature an2alytic solutions of the first lining,the insulationlayer,the second lining and the surrounding rockof tunnel are obtained.Compared the calculationresults of the analytic solutions with the in2situ ob2served data,it is found that the calculated one isvery close to the observed one.The results alsoshow,suppose the insulation material,whose con2duction coefficient is 0103 W!m-1!e-1and widthis 5 cm,was applied to the Fenghuoshan tunnel,the rock surrounding the tunnel will not occur sea2sonal thaw.The analytical solutions can be usedboth to verify the numerical method results,and tocalculate the temperature field of a cold region tun2nel with an insulation layer,so they are very usefulfor engineers and technicians.Key words:tunnel in cold regions;insulation layer;analytic solution;temperature field118 冰 川 冻 土 31 卷