北京海淀区2018-2019年高二下学期期中考试数学试卷及答案.doc

海淀区高二年级第二学期期中练习
数 学
2019.4
本试卷共4页，100分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）函数的导数为
A. B. C. D.
（3）在平面直角坐标系中，半径为且过原点的圆的方程可以是
A． B．
C． D．
（4）双曲线的焦点坐标为
A．和 B． 和
C．和 D． 和
（5）如图，曲线在点处的切线过点，且，则的值为
A． B．
C． D．

（6）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为. 水面高度是时间的函数，这个函数图象只可能是
B
A
D

C

（7）设为复数，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
（8）已知直线：与直线：的交点为，椭圆的焦点为, ，则的取值范围是
A． B． C． D．

二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
（9）请写出一个复数 ，使得为实数.
（10）双曲线的渐近线方程是 .
（11）已知抛物线经过点，则准线方程为 ，点到焦点的距离为 .
（12）直线与抛物线交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线互相垂直， 其中A点坐标为，则直线的斜率等于 .
（13） 已知,为椭圆：的两个焦点，过点作轴的垂线，交椭圆于两点. 当△为等腰直角三角形时，椭圆的离心率为，当△为等边三角形时，椭圆的离心率为，则的大小关系为______（用“>”,“<”或“=”连接）
（14） 已知， （），则下列命题中所有正确命题的序号为________.
①存在，使得，的单调区间完全一致；
②存在，使得，的零点完全相同；
③存在，使得，分别为奇函数，偶函数；
④对任意，恒有，的零点个数均为奇数.
三、解答题共4小题，共44分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共12分）
已知圆，点在圆上.
（Ⅰ）求圆心的坐标和圆的半径；
（Ⅱ）若点B也在圆上，且，求直线AB的方程.

（16）（本小题共12分）
已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和.
（Ⅰ）函数的单调递减区间为_____________，极大值点为____________；
（Ⅱ）求实数的值；
（Ⅲ）若恰有两个零点，请直接写出的值.

（17）（本小题共10分）
已知椭圆的离心率，其右顶点，直线过点且与椭圆交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由.

（18）（本小题共10分）
已知函数 ．
（Ⅰ）如果曲线在点处的切线的斜率是，求的值；
（II）当，时，求证：；
（Ⅲ）若存在单调递增区间，请直接写出的取值范围.

海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案
2019.4
数 学
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
D
B
C
C
A
D

二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
9. （答案不唯一） 10.
11. ; 12.
13. 14. ②③（对一个得2分，有错误不给分）

三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 解：
（Ⅰ）因为点在圆上,
所以.
解得 .
所以圆的方程为，即.
所以圆心坐标为，圆的半径为.
（Ⅱ）因为点，点都在圆上，且,
所以直线经过圆的圆心.
所以直线的斜率.
所以直线的方程为，即.
16. 解：
（Ⅰ） ，
注：每空 2 分，第一个空开闭均可，第二个空填也给分，填不给分.
（Ⅱ）因为 ，
由题意知，
即
解得
（Ⅲ）或
17. 解：
（Ⅰ）由题意可知，，
所以.
因为，
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）点在以为直径的圆上.
设坐标为，坐标为.
① 当直线斜率不存在时，则的方程为.
由得
不妨设，.
所以.
所以.
所以.
所以点在以为直径的圆上.
②当直线斜率存在时，设直线的方程为.
由
得
所以
所以.
所以.

所以.
所以.
所以点在以为直径的圆上.
综上，点在以为直径的圆上.
18. 解：
（Ⅰ） ，
由题意知，
即 ，
所以.
（Ⅱ）当 时，，
所以.
令，
所以.
因为 ，所以. 因此恒成立.
所以当时，单调递增.
又因为 ，，
所以存在唯一的 ，使得.
列表如下：

0

1

0

极小值

当时，.
所以当, 时，
（Ⅲ） .