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扩频通信中的伪随机码设计

摘 要

扩频通信与常规通信系统相比，具有较强的抗人为干扰、窄带干扰和多径干扰能力，和信息隐藏以及多址保密通信等优点，因此在军事通信、移动通信等领域得到了广泛的应用。扩频通信的核心问题之一是扩频码的设计，即PN码的设计问题。随着扩频通信技术的发展，伪随机码在扩频通信中的作用越来越重要。本文主要介绍m序列、M序列、Gold序列及混沌序列的原理、构造方法及特性分析，并通过Matlab进行仿真来验证各个伪随机序列的随机特性，以期为以后的扩频通信中伪随机码的设计提供一些有意义的指导。

关键词：计算机仿真;扩频;m序列;M序列;Gold序列;混沌序列

The pseudo-random code design in Spread Spectrum Communications

ABSTRACT

Spread spectrum communication has many advantages over the conventional communication systems such as strong anti-human interference, narrow-band interference, multipath interference capabilities, information hiding, multiple access confidential communications and so on. So it has been widely applied in military communications, mobile communications and other fields. One of the core issues in Spread Spectrum Communications is the design of Spreading Codes. That is the designing problem of PN code. With the development of Spread spectrum communication technology, Pseudo-random code plays a more and more important role in Spread spectrum communication. This paper presents the principles, structures and character analyzing of m sequence, M Series, Gold sequence and chaotic sequence. Furthermore, random character of various pseudo-random sequences is verified by simulation experiments with Matlab in order to provide some meaningful guidance for Pseudo-random code design in Spread Spectrum Communications.

Keywords: computer simulation ;Spread spectrum ;m-sequence;M-sequence; Gold- sequence;haotic-sequence

目 录

1. 绪论 1
1.1 研究的目的和意义 1
1.2 国内外研究现状 1
1.3 扩频的理论基础 2
1.3.1 香农信道公式 2
1.3.2 最佳相关接收 4
1.3.3 伪随机序列的相关概念 4
1.3.4 伪随机序列的数学定义 5
1.3.5 伪随机序列的相关性 6
1.3.6 有限域的理论简介 7
1.4 本文主要研究内容 10
2. 常用伪随机码 10
2.1 m序列 10
2.1.1 m序列的定义 10
2.1.2 m序列的性质 11
2.1.3 m序列的相关性 11
2.1.4 m序列的构造 12
2.1.5 m序列的simulink仿真 12
2.1.6 m序列的相关性仿真 14
2.2 M序列的性质 14
2.2.1 M序列的仿真 16
2.3 Gold序列 17
2.3.1 m序列优选对 18
2.3.2 Gold序列产生的方法 19
2.3.3 Gold序列的相关特性 20
2.3.4 Gold序列的相关特性仿真 21
2.3.5 Gold序列的相关特性与m序列的相关特性比较仿真 22
2.3.6 平衡Gold码 23
2.3.7 平衡码的产生 24
2.3.7.1 特征相位 24
2.3.7.2 相对相位 24
2.3.7.3 平衡Gold码产生器的simulink仿真 26
3. 混沌序列 27
3.1 Logistic-Map的定义及所产生混沌的特性 28
3.1.2 Logistic-Map混沌序列的仿真 29
3.1.3 Logistic-Map混沌序列的相关性仿真 32
3.2 Logistic-Map数字实现 33
3.3 数字混沌序列 34
参考文献: 36

1. 绪论
1.1 研究的目的和意义
扩频通信与常规通信系统相比，具有较强的抗人为干扰、窄带干扰和多径干扰能力，和信息隐藏以及多址保密通信等优点，因此在军事通信、移动通信等领域得到了广泛的应用。扩频通信系统将待传输信息的频谱用某个特定的扩频函数扩展成为宽带信号，送入信道传输，再利用相应手段将其压缩，从而获取传输信息。根据香农理论，在相同噪声条件下，可以通过增加传输带宽来获得较低的信息差错率和较高的抗干扰能力。扩频通信所需要的带宽往往远高于待传输信息的带宽，从而在理论上可以获得较好的抗干扰性能。20世纪50年代，哈尔凯维奇等人在理论上证明了要克服多径衰落干扰和窄带干扰等，信道中传输的信号形式应该是具有白噪声统计特性的信号形式。伪随机序列具有良好的随机性, 它的相关函数接近白噪声的相关函数(函数) , 使它易于从其它信号或干扰中分离出来。伪随机序列具有可确定性、可重复性, 使它易于实现相关接收或匹配接收。伪随机序列的这两个特性使它在伪码测距、导航、遥控遥测、扩频通信、多址通信、分离多径、数据加扰、信号同步、误码测试、线性系统测量、各种噪声源等领域中得到有广泛的应用。扩频通信中采用伪随机序列作为其扩频函数，所采用伪随机序列性能的好坏将直接决定扩频通信系统的整体性能，因此，对扩频通信中的伪随机码的设计和产生等方面的研究具有重要的理论指导意义和实际应用价值。
1.2 国内外研究现状
早在20世纪50年代就首次出现了“扩频”（spread spectrum）这一术语，它是用于描述一种信号调制技术，这种调制技术具有导航和通信所期望的一些特性（特别是在干扰环境下）。扩频概念其实可以追溯到更早的时候，从二十世纪二十年代到第二次世界大战期间，人们研究的一些军事电子系统（如雷达）中已经集成了某种扩频系统的特性，扩频是第二次世界大战战场上进行电子干扰和抗干扰的自然产物，直到今天扩频在军事领域中的应用还在不断发展。扩频技术在导航和通信领域两个最具影响力和最众所周知的系统是全球定位系统（GPS）和码分多址（CDMA）商用移动通信系统。GPS使用直接序列扩频信号进行定位，为导航带来了革命性的变化，在全球范围内为各种形式的用户提供精确的实时位置、速度和时间信息。CDMA移动通信系统也普遍采用直接序列扩频技术，它是一种全新的多址接入方式，具有容量大、业务质量好等特点，使其在第三代移动通信中成为多址接入方式的主流，在未来的通信系统中也将得到广泛的应用。
扩频通信中的一个重要理论和技术基础就是伪随机序列的产生和伪随机信号的处理。伪随机序列的理论与应用研究大体上可以分为三个阶段：（1）纯粹理论研究阶段（1948以前）；（2）m序列研究的黄金阶段（1948-1969）；（3）非线性生成器的研究阶段（1969-现在）。
1948年以前，学者研究伪随机码序列的理论仅仅是其优美的数学结构。最早研究可以追溯到1894年。作为一个组合问题来研究所谓的De Bruijn序列；上世纪30年代，环上递归序列则成为人们研究的重点。
1948年的Shannon信息论诞生后，这种状况得到了改变，伪随机序列逐渐被广泛的应用在通信以及密码学等重要的技术领域。Shannon证明了“一次一密”是无条件安全的，无条件安全的密码体制要求进行保密通信的密钥至少与明文量一样大。因此在此后的一段时间内，学者们一直致力于研究具有足够长周期的伪随机序列。如何产生这样的序列是20世纪50年代早期的研究热点。线性反馈移位寄存器(LFSR)序列是这个时期研究最多的。因为一个n级的LFSR可以产生周期为2的n次方减1的最大长度序列，而且具有满足Golomb随机性假设的随机特性，通常称之为m序列。
但是，在1969年Massey发表了“移位寄存器综合与BCH译码”一文，引发了序列研究方向的根本性变革，从此伪随机序列的研究进入了构造非线性序列生成器的阶段。Berlekamp-Massey算法指出：只要序列的线性复杂度为n，则只需要2n个连续比特就可以恢复出全部序列。从这个结论可以看出m-序列是一种‘极差’序列，它的线性复杂度太小，因而不能够直接用来做密码系统的密钥序列[8]。从这里还可以看到仅仅靠Golomb的三个伪随机性假设来评测序列是不够的，还需要其它的一些指标。
随着通信容量的不断扩大和对通信保密性能要求不断增强等情况下，较早的一些伪随机序列的局限性逐渐暴露。近年来随着非线性理论、混沌理论和分形理论等的成熟，将混沌、分形等技术应用于通信领域逐渐成为研究的热点。应用混沌或分形理论产生的伪随机序列可以提供数量众多、非相关、类随机而又确定可再生的信号，从而弥补了传统扩频序列数量少的缺憾。
1.3 扩频的理论基础
扩频技术是将要发送得信息频谱拓宽到一个很宽的带宽上进行发射，接收端利用相关接收的原理将其带宽压缩，恢复成原来的带宽窄带信号。通常的实现方式是将待扩频的信号与一个扩频函数（一般是伪随机编码信号）在时域上相乘，来扩展信号的频谱。扩频系统有两个显著的特性[1]：
（1） 传输带宽远大于被传送的原始信号带宽；
（2） 传输带宽主要由扩频函数决定。
由这两个特征可以看出，传统的调制方式，虽然信号的带宽有所拓宽，但均不属于扩频系统。扩频系统的理论基础是香农的信道公式和相关接收理论，在这里我们先讨论一下香农的信道公式和相关接收理论。
1.3.1 香农信道公式
香农定理指出，在高斯白噪声条件下，通信系统的极限传输率（信道容量）可表示为：
（1-1）
式子中，B为信号带宽，S为信号的平均功率，N为噪声功率。
对式（1-1）进行换底变换，则有
（1-2）
通常情况下，，对式子（1-2）进行幂级数展开，并略去高次项，则有
（1-3）

若白噪声的功率谱密度是时，噪声功率是,则信道容量又可表示为
（1-4）
香农第二定理还指出，若信源的信息速率是R小于信道容量是C，则通过适当的编码，能以任意小的差错概率通过信道进行传输。
由式（1-1）和式（1-3）可以看出，对于任意给定的信噪比，只要增加传输带宽，只可以保持信道容量不变，即可以任意小的差错概率进行传输。结合式（1-1）到式（1-3）得出如下结论：
（1） 增加信道容量的方式有两种，一是增加传输带宽；而是增加信噪比S/N。由于C与B成线性关系，而C与呈对数关系，因此，增加B比增加更有效。
（2） 当信道容量C为常数时，带宽B与信噪比可以互换，即可以通过增加带宽来降低对信噪比的要求；也可以通过增加信号功率S，降低信号的带宽。
（3） 显然信道容量不可能无限增加。有式（1-1）可知，信道容量与信号的带宽成正比，增加信号带宽，可增加信道容量，但B增加到一定程度后，C的增加缓慢。因此由式（1-3）可知，由于噪声功率为，B的增加势必导致信噪比的下降。我们考虑时的情况，看看信道容量的极限值。对式（1-3）两边同时取极限，有：

考虑到。则有
（1-5）
可见，当信号功率S和噪声功率谱密度一定时，信道容量也是有限值。
当带宽趋于无穷时，极限得信息速率，即信道容量为，用表示码元能量，则，则当时，有
（1-6）
由此可得信道最小得信噪比为
（1-7）
1.3.2 最佳相关接收
信号的相关性是指信号的某个参数（特定标记，如振幅，频率，相位等）在时间坐标上有规定的时间关系，我们将具有这种性质得信号称为相关信号。由于相关信号具有这样的特性，我们可以对相干信号与噪声的混合波形进行某种时域运算，然后根据一定的法则进行判决，从而把原来的相干检测，实现相关检测的常用方法是相关接收。在数字通信系统中，常用的最佳相关接收的判决法则有最小均方误差准则，最大输出信噪比和最大后验概率准则。
1.3.3 伪随机序列的相关概念
四十年代末，信息论的奠基人香农(CE.Shannon)提出的编码定理指出:只要信息速率小于信道容量C，则总可以找到某种编码方法，在码周期相当长的条件下，能够几乎无差错的从收到高斯噪声干扰的信号中复制出原发信息[6]。这里有两个条件，一是小于C，二是编码的码周期足够长。同时香农在证明编码定理的时候，提出用具有白噪声统计特性的信号来编码。白噪声是一种随机过程，它的瞬时值服从正态分布，功率谱在很宽频带内都是均匀的。但是至今无法实现对白噪声放大、调制、检测、同步及控制等，而只能用具有类似于限带白噪声统计特性的伪随机序列信号来逼近它，并作为扩频系统的扩频码。
六十年代末，一些易于产生、加工和复制且具有白噪声性质的“伪噪声编码技术”日趋成熟，因此高效抗干扰编码通信变得蓬勃发展起来。同时用各种不同波形的正交码来实现波形分割的码分多址通信也相继出现，实现了无线用户的随意呼叫通信。这种技术在地面多址通信和卫星通信中都可采用。由于码分多址通信有抗干扰性能强和一定程度的保密性等一系列优点，所以首先引起国防军事通信部门的注意，并出现了一些军用战略卫星通信的码分系统和超短波战术通信的码分系统。民用通信方面，也相继出现一些具体的方案。
伪随机序列(伪随机码)的一般定义是:如果一个序列，一方面它的结构(或形式)是可以预先确定的，并且是可以重复地产生和复制的;另一方面它又有某种随机序列的随机特性(即统计特性)，我们称这种序列为伪随机序列(伪随机码)。二进制的伪随机序列虽然只有两个电平，但却具有类似白噪声的相关特性，只是幅度概率分布不再服从高斯分布。它应具有如下特性:
(1) 每一周期内0和1出现的次数近似相等;
(2) 每一周期内，长度为n比特的游程出现的次数比长度为n+l比特游程次数多一倍(游程是指相同码元的码元串)。
(3) 对于狭义伪随机序列，将给定随机序列位移任何一个非零数个元素，所得的序列将和原序列有一半的元素相同，一半的元素不同。
具有良好的伪随机特性和相关特性的扩频编码对于扩频通信是非常重要的，对扩频通信的性能具有决定性的重要作用。在扩频通信系统中，抗干扰、抗噪声、抗截获、信息数据隐蔽和保密、抗衰落、多址通信、实现同步与捕获等都是与扩频码的设计密切相关的。能满足这些要求的伪随机序列应具有如下特性[3]:
(1) 具有尖锐的自相关函数，而互相关函数应接近于零。
(2) 有足够长的码周期，以确保抗侦破、抗干扰的要求。
(3) 有足够多的编码，以实现码分多址的要求。
(4) 工程上易于产生、加工、复制和控制。
1.3.4 伪随机序列的数学定义
白噪声是一种随机过程，瞬时值服从正态分布，自相关函数和功率谱密度有极好的相关性，伪随机序列是针对白噪声演化而来的，只有“0”和“1”两种电平，因此伪随机编码概率分布不具备正态分布形式。但当序列足够长时，由中心极限定理可知，它趋近于正态分布，由此，伪随机序列定义如下[7]：
1 凡自相关系数具有
（1-8）
形式的序列称为狭义伪随机序列。
2 凡自相关系数具有
（1-9）形式的序列，成为第一类广义伪随机序列。
3 凡互相关系数具有
（1-10）
形式的序列，称为第二类广义伪随机序列。
4 凡相关系数满足1，2，3三者之一的序列，统称为伪随机序列。
由上面的四种定义可以看出，狭义伪随机序列是第一类广义伪随机序列的一种特例。
1.3.5 伪随机序列的相关性
在扩频系统中，对伪随机序列而言，最关心的问题就是其相关特性，包括自相关性、互相关性及部分相关性。自相关性能好，则便于检测，而互相关性能好，则便于区分不同用户的信号，实现多址通信。下面分别给出这些相关函数的定义。
设有两条长为N的序列和，(i=0，1，2，……，N-1)。则序列的自相关函数定义为:
（1-11）
而互相关函数定义为:
（1-12）
对于二进制序列，自相关函数可以表示为
（1-13）
其中，A表示“0”的个数，而D表示“1”的个数。
而对于互相关函数来说，有
（1-14）
其中，A表示和两序列对应位码元相同的个数，而D表示两序列对应位码元不同的个数。
部分自相关函数定义为：
（1-15）
部分互相关函数定义为：
（1-16）
其中p为某一常数。
我们定义凡自相关函数满足
（1-17）
则为狭义伪随机序列。
同样，我们定义凡自相关函数满足
（1-18）
则为广义伪随机序列。
若两个序列的互相关函数满足，则称序列正交。
1.3.6 有限域的理论简介
为更好理解伪随机序列的构造，我们先介绍一下有限域的基本概念。设F是一个非空集合，若F中的任意两个元素a,b的和仍是F的元素，则称F对于加法运算和乘法运算是封闭的[9]。如果以下运算规则成立，则说F对于所有规则的加法和乘法运算是一个域。
对任意，有
加法交换律
对任意，有
加法结合律
F中有一个元素，记为0，对F中的任意元素，下式成立

对任意两个元素，有

对任意，有b
乘法结合律
F中有一个单位元素1，对F中任意元素，下式成立

F中任意非零元素,都有一相乘逆元素，有

对F中任意、b、c。有：
分配律
若F的元素无限，则称F为无限域。若F的元素个数有限，则成F为有限域或伽罗瓦（Galois）域。
根据上述定义，有理数集合Q和实数集合R都是域，分别称为有限域和无限域。复数集合C也是一个域，称为复数域。显然，这三种域均为无限域，并且R是C的子域。
在编码中用到的元素个数有限，通常用有限，通常用有限域来描述。通常只含有两个元素的二元集，记为，它只对模2乘才能构成一个域。模2加及模2乘的运算规则如下：

0
1
0
0
1
1
1
1

0
1
0
0
0
1
0
1
一般来说，对整数集，若p为素数，则对于模p加和模p乘来说，是一个有限域。
我们可以利用移位寄存器作为伪随机码产生器，用来产生二元域上及其扩展域上的各个元，这里m是正整数。这时要用到域上多项式的概念，域上的多项式定义为：
（1-19）
把它称为F的n阶多项式，是F的元，称为的首项，称为首项系数。F域上所有多项式集合记为。
若则总有
（1-20）
这里，的阶小于的阶。式（2-20）叫做带余除法算式。当余式时，就说可被整除。
下面举例分析
假设，。计算带余除法

商，余式，所以又可以表示为

若能整除，即，我们就说是的因式，或是的倍式。
设，和都是中的多项式，若即是的因式，又是的因式，就说是和的公因式。我们把和中公因式中次数最高且首项系数等于1的多项式叫做它们的最高公因式，记做：
（1-21）
若，就说和为互素多项式。
仍设，和都是中的多项式，若既是的倍式，又是的倍式，则称是和的公倍式，在和的公倍式中，次数最低，且首项系数为1的公倍式叫做最小公倍式，记为。
若是中的一个次数的多项式，且在中的一个因式只有F中不等0的元素c和，我们就说是中的一个不可约多项式。否则，就是可约多项式。显然，是不可约多项式的充要条件是不能表示为中两个次数小于次数的多项式的乘积。
1.4 本文主要研究内容
本文的第二章主要讨论常用的伪随机码：m序列、M序列、Gold序列的定义、性质、产生方法和用matlab产生m序列、M序列、Gold序列。同时对m序列和Gold序列的性能进行比较。
本文的第三章主要对各种混沌序列中的一种序列Logistic-Map序列的特性，产生方法的分析以及用matlab进行仿真。同时对Logistic-Map数字实现，数字混沌序列的性质进行分析。
2. 常用伪随机码
2.1 m序列
最大长度线性移位寄存器序列（m序列）是一种很重要的伪随机序列，它是最早应用于扩频通信，也是研究得最深入的伪随机序列。此外，m序列也是研究和构造其他序列的基础。
2.1.1 m序列的定义
m 序列是最长线性移位寄存器序列的简称,线性移位寄存器是由移位寄存器加上反馈后所产生的周期最长的一种序列。如图1所示。图中为移位寄存器的状态,为对应级移位寄存器的反馈系数。当时，表示反馈存在。当，表示反馈线断开。在线性移位寄存器序列产生其中，。对于一个序列，其序列多项式为[4]
（2-1）
其中取0，1两个值，符号x次幂表示序列元素的位置。式子（2-1）又称为序列多项式。和一一对应。
对于由反馈移位寄存器产生的序列，取决于反馈系数，对于此反馈移位寄存器，气反馈逻辑为
（2-2）

图2-1 线性反馈移位寄存器
可以证明：,式（2-2）称为序列的特征多项式。
2.1.2 m序列的性质
(l) 平衡性
在m序列的每一周期内， 0比l少出现一次。所以1的个数为个，“0”的个数为个，这个性质很重要，因为码序列中直流分量将决定码的平衡性，用一个码序列去调制载波时，“0”和“1”平衡性将决定载波的抑制度。
(2) 游程特性
周期为的m序列中，总共有个游程，其中长度等于k，的游程占游程总共的。“0”和“1”的游程数目各占一半。长度为n-1的游程只有一个为全“0”游程，长度为n的游程也只有一个，为全“1”游程。
所谓游程，就是序列中连续相同的码元字串，例如，对于序列000100110101111，则

(3) 移位可加性
一个m序列同该序列的任意移位（循环移位）序列相加（模2加），是该序列的另一个移位序列，即仍属于m序列。
2.1.3 m序列的相关性
m序列的相关函数定义为
（2-3）
由m序列的性质可知，一个和其移位序列模2加后，仍为一m序列，记为，而m序列中，“1”的个数比“0”的个数多1个，因此有
（2-4）
由于m序列是周期函数，因此自相关函数亦为周期函数，它是以周期N重复的。若周期m序列的每个码元宽度为，其幅度值取，则一个周期内（）的自相关函数表达式为
（2-5）
2.1.4 m序列的构造
产生m序列的充要条件有下述定理给出。其中必要条件由定理一给出，而充分条件由定理二给出[2]。
定理一：如果一个n级线性移位寄存器所产生得序列周期是的m序列，则其特征多项式必然不可约。
定理二：设是域上的多项式，以代表由特征多项式所产生得所有非零序列的集合。于是中之非零序列均为m序列的充要条件是为上的本原多项式。
所谓的本原多项式是指可整除，除不尽，。
下面用simulink构造m序列产生器[11]
2.1.5 m序列的simulink仿真
下面设计一个，n=4，查表得本原多项为，先在MATLAB 中
画出硬件生成电路图,如图2-2 中,unit delay 即移位寄存器,需要设置初值,只要不全为0 即可;xor 是表异或的逻辑门;Scope 即示波器,用来观察输出的波形。

图2-2 n=4的m序列发生器

图2-3 产生的m序列
在仿真中，设置初始值为1000，则序列状态的变化如下

从仿真得到的结果看到：
（1） 初始的输入为1000，经过一个周期15后。序列回到初始状态。满足m序列在n=4是周期为15要求。
（2） 在一个周期内，序列中“1”的个数比“0”的个数多了1个。
综上分析，使用上述方法能产生m序列。

2.1.6 m序列的相关性仿真

图2-4 m序列的相关特性
由m序列的性质可知，一个和其移位序列模2加后，仍为一m序列，记为，而m序列中，“1”的个数比“0”的个数多1个，因此有

从图2-4对m序列的相关特性仿真看出，m序列的相关特性刚好符合上式的要求。
小结:
本章对常见PN码m序列自相关，互相关等特性作了详细的分析，它具有类似噪声的随机特性。m序列的性能非常接近理想的伪随机序列，有很好的自相关特性，且产生m序列的方法简单易行，但能作为扩频地址码的可用的m序列数目并不多。
2.2 M序列的性质
M序列是由移位寄存器产生的最长线性序列。其码长为得周期序列。M已得到n级移位寄存器所能达到得最长周期，所以又称为全长序列。它可以在m序列的基础上，加上全“0”状态后形成。
m序列已包含了个非零状态，缺少一个由n个“0”组成的全零状态，即可实现码长为的m序列向码长为得M序列转换。显然，“0”状态应插在1000…000之后，使之出现全“0”状态，同时还必须使“0”状态的后续状态为原m序列的下一个状态，即00…01。所以必须对原m序列的反馈逻辑进行修正。产生M序列的状态为加入反馈逻辑后，反馈逻辑为

其中，为原m序列的反馈逻辑。
若以D触发器来产生此M序列，则如图2-5所示
D Q

CK
D Q

CK
D Q

CK
D Q

CK

与门

图2-5 D触发器来产生此M序列
由上述反馈逻辑可知，为“000”状态检测器，它可同时检测到“0000”和“0001”两个状态。当它检查到“0001”时，检测器输出为“1”，而此时，=1，两者模2和为“0”，使后续状态为全“0”。再全“0”状态下，检测器输出为“1”，而此时，=0，两者模2和为“1”，使后续状态为“1000”，其他状态下，检测器均输出“0”,对序列产生不起作用。
M序列具有如下性质：
（1）在一个周期内。序列中0和1的数目相等；
（2）在一个周期中，共有个游程，其中同样长度的“0”游程和“1”游程的个数相等。当时，游程长度为k的游程数占总游程数的，等于，长度为n-1的游程不存在，长度为n的游程有两个，分别为全“1”和全“0”游程
(3) M列不再具有移位相加性，因而其自相关性不再具有双值特性，而是一个多值函数。对于周期为的M序列自相关函数具有如下相关值：
① =1；
②
③
其中，是产生M序列的反馈逻辑函数表示为

的形式时，函数取“1”的个数，称为的权重。
④ 当时，无确定表达式。
2.2.1 M序列的仿真
下面用simulink构造本原多项式的M序列电路，产生M序列。由本原多项式构成m序列的方法。在m反馈逻辑上，增加一个修正因式，即可构成M序列。即构成M序列的反馈逻辑为

先在MATLAB 中画出硬件生成电路图,如图2-6中,unit delay 即移位寄存器,需要设置初值,只要不全为0 即可;xor 是表异或的逻辑门;and表示与门；not表示非门；Scope即示波器,用来观察输出的波形。
（1）先设置参数,将Configuration Simulation 中Solver选项的Stoptime设为100. 0(这样时间坐标步长才为1) ,由于n=4.，所以M序列的周期为N=16，实际上需要输出的序列数目是64个。所以起码要Stoptime起码设置为64.0才能显示一个周期序列，在试验中设置为100.0.
（2) 仿真:点击Simulation 中start 开始仿真,仿真结果输出，仿真结果为图2-7。

图2-6 用simulink构成的M序列发生器

图2-7 产生的M序列
在仿真中，假定序列的初态为“0010”，则序列状态变化如下：

从所构造的硬件图形仿真的输出结果得到了一个M序列。在n=4的情况下，它的周期是，得到的序列符合M序列的定义。
2.3 Gold序列
在扩频系统中，不仅要求伪随机序列具有随机性好，周期长，不易被地方检测等特性，而且要求可用的伪随机序列多，一边进行多址通信和组网运用。m序列具有良好的伪随机性和相关性，但是其数量相对比较少，不能满足多址应用的要求。Gold序列具有m序列的性质，其可用数量远大于m序列，是扩频通信常用的序列之一。
2.3.1 m序列优选对
R.Gold在1967年提出了采用优选对组成的复合序列，简称Gold码。Gold曾指出：“给定移位寄存器级数为n时，总可以找到一对互相关函数值最小得码序列。采用移位相加的方法构成新码，其互相关旁瓣都最小，并且自相关函数和互相关函数都是有界的”。这一对互相关函数最小的序列，称为优选对。因此，Gold序列是有m序列优选对产生的，所以我们先来讨论m序列的优选对。所谓的m序列优选对，是指在m序列集中，其互相关函数最大值的绝对值小于某个值的两个m序列。
设序列是对应于n阶本原多项式产生的m序列，序列是对应于n阶本原多项式产生的m序列，当它们得互相关函数值满足不等式：
（2-6）
则由和产生的m序列和构成一优选对。
例如，n=6的本原多项式103和147，对于的多项式为：
103:
147:
分别产生的m序列，经计算它们的互相关函数最大值为

满足式子（2-6），所以它们是一对优选对。表2-1给出部分码长的优选对。

表2-1 部分优选对表
级数
基准本原多项式系数
配对本原多项式系数
7
211
217， 235， 277， 325， 203，357， 301， 323
217
211， 235， 277， 325， 213，271， 357， 323
235
211， 217， 277， 325， 313，221， 361， 357
236
227， 203， 313， 345， 221，361， 271， 375
9
1021
1131， 1333
1131
1021， 1055， 1225， 1725
1461
1743， 1541， 1853
10
2415
2011， 3515， 3177
2641
2517， 2218， 3045
11
4445
4005， 5205， 5337， 5263
4215
4577， 5747， 6765， 4563
2.3.2 Gold序列产生的方法
Gold序列是由两个码长相等，码时钟速率相同的m序列优选对模2和构成的，每改变两个m序列相对位移就得到一个新得Gold序列。当相对位移比特时，就可得到一组个Gold序列，再加上原来的两个m序列，共有个Gold序列。
下面用simulink设计一个n=6级的Gold序列产生器。
查表可得，n=6级的优选对m序列的本原多项式为

并行方法是将这两本原多项式分别构成两m序列发生器，再将两m序列发生器的输出进行模2和，从而构成Gold序列产生器。

图4-1 用simulink构造的Gold序列发生器
图4-1中，上面的线性移位寄存器的初始序列状态为，下面的线性移位寄存器的初始序列状态为。

图4-2 产生的Gold序列
2.3.3 Gold序列的相关特性
由m序列优选对模2加所产生的个Gold序列已不再是m序列，也不具备m序列的二值相关性。但是Gold序列族中任两个Gold序列满足如下的互相关特性：
（2-7）
Gold序列的这一特性，使得Gold序列中的任意码都可以作为地址码，因而大大增加了地址码的数量。
Gold序列具有三值互相关特性，表2-2给出了互相关值和出现某种相关值的概率。由表可以看出，由于码序列的互相关值可以看作两个序列对应位的相同码元和不同码元个数的差值，因而得到Gold序列码族中码序列出现平衡和不平衡码。n为奇数时，平衡码（序列中“1”和“0”码元个数相差为1）数量占50%。非平衡码（序列中“1”和“0”码元个数相差大于1）占50%。而n偶数时，但不能被4整除时，平衡码占75%，非平衡码占25%。由于n为4的整数倍时的码序列没有理想的三值互相关函数，因而没有Gold序列。

表2-2 Gold序列的互相关函数出现的概率
寄存器长度
码长
归一化互相关函数
出现概率

n为奇数

0.5

0.25

0.25

n为偶数，但不能被4整除

0.75

0.125

0.125

Gold序列的自相关函数值也同互相关函数一样，也是三值函数，只是出现的概率不同。Gold码族之间互相关函数尚无理论结果，其互相关函数也不再是三值而是多值，且超过优选对的互相关函数值。
2.3.4 Gold序列的相关特性仿真

图4-3 Gold序列自相关特性

图4-4 Gold序列互相关特性
2.3.5 Gold序列的相关特性与m序列的相关特性比较仿真

图4-5 Gold序列的相关特性与m序列的相关特性比较
结果分析
从图4-3、图4-