专题17-二次函数与一元二次方程、不等式(原卷版).docx

专题17 二次函数与一元二次方程、不等式
【知识点梳理】
知识点一　一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
知识点二　二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
知识点三　一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

二次函数
（）的图象

有两相异实根

有两相等实根

无实根

知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
知识点五　利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数；
(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
知识点六 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立

(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
知识点七 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”

【题型归纳目录】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
题型四：一次分式不等式的解法
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
题型六：不等式的恒成立问题

【典型例题】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
1．（2022·新疆喀什·高一期末）“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2022·浙江·高一阶段练习）不等式的解集是（       ）
A． B．
C．或 D．

3．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等式的解集为（       ）
A． B．或
C． D．或

4．（2022·湖南·高一课时练习）下面四个不等式中解集为空集的是（       ）
A． B．
C． D．

5．（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：
(1)；
(2).

6．（2022·湖南·高一课时练习）解下列一元二次不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．

7．（2022·湖南·高一课时练习）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．

题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
1．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则（       ）
A． B． C． D．

2．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（        ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为

3．（2022·贵州毕节·高一期末）已知不等式的解集为，则a，b的值是（       ）
A．， B．， C．6，3 D．3，6

4．（2022·河南开封·高一期末）关于的不等式的解集为，且，则（       ）
A．3 B． C．2 D．

5．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ）
A． B．{或} C． D．或

6．（2022·云南昆明·高一期中）若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．－1

（多选题）7．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（       ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为

8．（2022·湖南·高一课时练习）已知一元二次不等式的解集为或，求不等式的解集．

9．（2022·湖南·高一课时练习）若不等式的解集是，求不等式的解集．

题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
（多选题）1．（2022·江西上饶·高一期末）下列关于不等式的解集讨论正确的是（       ）
A．当时，的解集为
B．当时，的解集为
C．当时，的解集为
D．无论a取何值时，的解集均不为空集

2．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）解关于x的不等式

3．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x的不等式的解集为．
(1)写出a和b满足的关系；
(2)解关于x的不等式．

4．（2022·北京市第五中学高一阶段练习）请回答下列问题：
(1)若关于的不等式的解集为或，求，的值.
(2)求关于的不等式的解集.

5．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）解关于x的不等式：.

6．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）求关于x的不等式的解集，其中a是常数；

7．（2022·河北唐山·高一期末）已知关于x的不等式：．
(1)当时，解此不等式；
(2)当时，解此不等式．

8．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知恒成立．
(1)求的取值范围；
(2)解关于的不等式.

9．（2022·广东茂名·高一期末）解关于的不等式.

10．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知关于的x不等式．
(1)若此不等式的解集为，求实数a的值；
(2)若，解这个关于的不等式；

题型四：一次分式不等式的解法
（多选题）1．（2022·河北衡水·高三阶段练习）若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．

2．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）不等式的解集是_________

3．（2022·四川·树德中学高一竞赛）不等式的解集为______．

4．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）若集合，，则______．

5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）不等式的解集为__________．

6．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）不等式的解集为__________.

7．（2022·上海市进才中学高三期中）不等式的解集为______．

8．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）若不等式的解集为，则不等式的解集为______.

9．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）解不等式：
(1)
(2)

题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
1．（2022·湖南·高一课时练习）某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为
A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间

2．（2022·全国·高一课时练习）甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是______．

3．（2022·湖南·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高元（为正整数），则租出的床位会相应减少张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？

4．（2022·湖南·高一课时练习）一家汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创收价值（元）之间有如下关系式：．若这家制造厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内生产的摩托车数量应满足什么条件？

5．（2022·湖南·高一课时练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速分别有如下关系式：，．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？

6．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期中）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米．

(1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．

7．（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．
(1)求的值；
(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．

8．（2022·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.

(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

9．（2022·江苏·南京市第二十九中学高一期中）1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.

10．（2022·云南·玉溪市江川区第二中学高一期中）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

题型六：不等式的恒成立问题
1．（2022·河北廊坊·高一期末）关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（       ）
A． B．
C． D．

2．（2022·云南丽江·高一期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．

3．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C．或 D．或

4．（2022·全国·高三专题练习（文））命题，，若p是真命题，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

5．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.

6．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________．

7．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））命题 p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立.若命题p为真，求a的范围___________________.

8．（2022·湖南·高一课时练习）设二次函数．
（1）若方程有实根，则实数的取值范围是______；
（2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是______；
（3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是______．

9．（2022·全国·高三专题练习）设，，，对任意满足的实数，都有，则的最大可能值为__.

10．（2022·全国·高三专题练习）若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______.

11．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知函数．
(1)求关于x的不等式的解集；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

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