chapter4---关系数据库的规范化设计-答案.doc

4.4 对函数依赖X→Y的定义加以扩充，X和Y可以为空属性集，用φ表示，那么X→φ，φ→Y，φ→φ的含义是什么？
答：据推理规则的自反律可知，X®ф和ф®ф是平凡的FD，总是成立的。
而ф®Y表示在当前关系中，任意两个元组的Y值相等，也就是当前关系的Y值都相等。

4.6 设关系模式R有n个属性，在模式R上可能成立的函数依赖有多少个？其中平凡的FD有多少个？非平凡的FD有多少个？
解：这个问题是排列组合问题。FD形为X®Y，从n个属性值中选择属性组成X共有C+C+ … +C=2n种方法；同理，组成Y也有2n种方法。因此组成X®Y形式应该有2n·2n=4n种方法。即可能成立的FD有4n个。
平凡的FD要求YÍX，组合X®Y形式的选择有：
C·C+C·（C+C）+C·（C＋C+C）+ … +C（C＋C+ … C）=C·20+C·21+C·22+ … +C·2n=（1+2）n=3n
即平凡的FD有3n。因而非平凡的FD有4n－3n个。

4.8 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛ A→B，C→B ｝，则相对于F，试写出关系模式R的关键码。并说明理由。
解：R的关键码为ACD。因为从已知的F，只能推出ACD→ABCD。

4.13 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛A→B，B→C｝，
① 试写出属性集BD的闭包(BD)+。
② 试写出所有左部是B的函数依赖（即形为“B→？”）。
解：①从已知的F，可推出BD→BCD，所以(BD)+=BCD。
②由于B+=BC，因此左部是B的FD有四个：
B→φ，B→B，B→C，B→BC。

4.14 设关系模式R(ABCDE)上FD集为F，并且F=｛A→BC，CD→E，B→D，E→A｝。
① 试求R的候选键。
② 试求B+的值。
解：① R的候选键有四个：A、E、CD和BC。
② B+=BD。

4.15 设有关系模式R（ABC），其关系r如图4.20所示。
① 试判断下列三个FD在关系r中是否成立？
A→B BC→A B→A
② 根据关系r，你能断定哪些FD在关系模式R上不成立？
A
B
C
1
2
3
4
2
3
5
3
3

图4.23
解：①在关系r中，A→B成立，BC→A不成立，B→A不成立。
②在关系r中，不成立的FD有:B→A，B→AC，C→A，C→B，C→AB，BC→A。

4.19 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ A→C，B→C ｝，试分别求F在模式AB和AC上的投影。
答：πAB（F）=φ（即不存在非平凡的FD）
πAC（F）={ A→C }

4.20 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ B→A，C→A ｝，ρ=｛ AB，BC ｝是R上的一个分解，那么分解ρ是否保持FD集F？并说明理由。
答：已知F={ B→A，C→A }，而πAB（F）={ B→A }，πBC（F）=φ，
则πAB（F）∪πBC（F）={ B→A }⊭F（显然，分解ρ丢失了FD C→A）。
所以ρ不保持FD集F。

4.21 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ B→C，C→A ｝，那么分解ρ=｛ AB，AC ｝相对于F，是否无损分解和保持FD？并说明理由。
答：①用测试过程可以知道，ρ相对于F是损失分解。

A
B
C
AB
a1
a2
b13
AC
a1
b22
a3

②已知F={ B→C，C→A }，而πAB（F）={ B→A }，πAC（F）={ C→A }，
则πAB（F）∪πAC（F）={ B→A ，C→A }⊭F（显然，分解ρ丢失了FD B→C）。
所以ρ不保持FD集F。

4.22 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛ A→B，B→C，A→D，D→C ｝，ρ=｛ AB，AC，BD ｝是R的一个分解。
① 相对于F，ρ是无损分解吗？为什么？
② 试求F在ρ的每个模式上的投影。
③ ρ保持F吗？为什么？
答：①用测试过程可以知道，ρ相对于F是损失分解。
②πAB（F）={ A→B }，πAC（F）={ A→C }，πBD（F）=φ。
③显然，分解ρ不保持FD集F，丢失了B→C、A→D和D→C等三个FD。

4.26 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛ AB→CD，A→D ｝。
① 试说明R不是2NF模式的理由。
② 试把R分解成2NF模式集。
答：①从已知FD集F，可知R的候选键是AB。
另外，AB→D是一个局部依赖，因此R不是2NF模式。
②此时R应分解成ρ={ AD，ABC }，ρ是2NF模式集。

4.27 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ C→B，B→A ｝。
① 试说明R不是3NF模式的理由。
② 试把R分解成3NF模式集。
答：①从已知FD集F，可知R的候选键是C。
从C→B和B→A，可知C→A是一个传递依赖，因此R不是3NF模式。
②此时R应分解成ρ={ CB，BA }，ρ是3NF模式集。
4.28 设有关系模式R（职工编号，日期，日营业额，部门名，部门经理），该模式统计商店里每个职工的日营业额，以及职工所在的部门和经理信息。
如果规定：每个职工每天只有一个营业额；每个职工只在一个部门工作；每个部门只有一个经理。
试回答下列问题：
（1）根据上述规定，写出模式R的基本FD和关键码；
（2）说明R不是2NF的理由，并把R分解成2NF模式集；
（3）进而分解成3NF模式集。
解：（1）基本的FD有三个：
（职工编号，日期）→ 日营业额
职工编号 → 部门名
部门名 → 部门经理
R的关键码为（职工编号，日期）。
（2）R中有两个这样的FD：
（职工编号，日期）→（部门名，部门经理）
职工编号 → （部门名，部门经理）
可见前一个FD是局部依赖，所以R不是2NF模式。
R应分解成R1（职工编号，部门名，部门经理）
R2（职工编号，日期，日营业额）
此处，R1和R2都是2NF模式。
（3）R2已是3NF模式。
在R1中，存在两个FD：职工编号 → 部门名
部门名 → 部门经理
因此，“职工编号 → 部门经理”是一个传递依赖，R1不是3NF模式。
R1应分解成R11（职工编号，部门名）
R12（部门名，部门经理）
这样，ρ= { R11，R12，R2 }是一个3NF模式集。
4.30 设关系模式R（ABCD），在R上有五个相应的FD集及分解：
（1）F={ B→C，D→A }，ρ={ BC，AD }
（2）F={ AB→C，C→A，C→D }，ρ={ ACD，BC }
（3）F={ A→BC，C→AD }，ρ={ ABC，AD }
（4）F={ A→B，B→C，C→D }，ρ={ AB，ACD }
（5）F={ A→B，B→C，C→D }，ρ={ AB，AD，CD }
试对上述五种情况分别回答下列问题：
① 确定R的关键码。
② 是否无损分解？
③ 是否保持FD集？
④ 确定ρ中每一模式的范式级别。
解：
（1） F={ B→C，D→A }，ρ={ BC，AD }
① R的关键码为BD。
（因为(BD)+=ABCD）
② ρ不是无损分解。（不存在全a行）

A
B
C
D
BC
b11
a2
a3
b14
AD
a1
b22
b23
a4

③ ρ保持FD集F。
πBC(F)={B→C}，πAD(F)={D→A}，而πBC(F)∪πAD(F)={B→C，D→A}⊨F，所以ρ保持FD集F。
④ ρ中每一模式已达到BCNF级别。
（2） F={ AB→C，C→A，C→D }，ρ={ ACD，BC }
① R有两个关键码：AB和BC。
（因为(AB)+=ABCD，(BC)+=ABCD）
② ρ是无损分解。 （存在全a行）

A
B
C
D
ACD
a1
b12
a3
a4
BC
b21
a2
a3
b24

③ 因为πACD（F）={ C→A ，C→D }，πBC（F）=φ（没有非平凡的FD），而πACD(F)∪πBC(F)={C→A，C→D}⊭F，丢失了AB→C，所以ρ不保持FD集F。
④ ρ中两模式均已达到BCNF级别。

（3） F={ A→BC，C→AD }，ρ={ ABC，AD }
① R有两个关键码：A和C
（因为(A)+=ABCD，(C)+=ABCD）
② ρ是无损分解。（存在全a行）

A
B
C
D
ABC
a1
a2
a3
b14
AD
a1
b22
b23
a4

③ 因为πABC（F）={ A→BC，C→A }，πAD（F）= { A→D }，
而πABC(F)∪πAD(F)={ A→BC，C→A，A→D }⊨F，所以ρ保持FD。
④ 在模式ABC中，关键码是A或BC，属性全是主属性，但有传递依赖（A→BC，BC→A）。因此模式ABC是3NF，但不是BCNF。？？？而模式AD显然已是BCNF。
注释：（A→BC，BC→A）不符合传递依赖的定义（因为传递依赖要求BC不决定A），不是传递依赖。所以模式ABC是BCNF。
（4） F={ A→B，B→C，C→D }，ρ={ AB，ACD }
① R的关键码为A。
（因为(A)+=ABCD）
② ρ是无损分解。（存在全a行）

A
B
C
D
AB
a1
a2
b13
b14
ACD
a1
b22
a3
a4

③ 因为πAB（F）={ A→B }，πACD（F）={ A→C，C→D }，而πAB(F)∪πACD(F)={ A→B，A→C，C→D }⊭F，丢失了B→C，所以ρ不保持FD集F。
④ 模式AB是BCNF，模式ACD不是3NF，只达到2NF级别。
（5） F={ A→B，B→C，C→D }，ρ={ AB，AD，CD }
① R的关键码为A。
（因为(A)+=ABCD）
② ρ不是无损分解。（不存在全a行）

A
B
C
D
AB
a1
a2
b13
b14
AD
a1
b22
b23
a4
CD
b31
B32
a3
a4

③ 因为πAB（F）={ A→B }，πAD（F）={ A→D }，πCD（F）={ C→D }，
而πAB(F)∪πAD(F)∪πCD(F)={ A→B，A→D，C→D }⊭F，丢失了B→C，所以ρ不保持FD集F。
④ ρ中每个模式均是BCNF级别。