直线和圆综合问题题型分类全面.doc

第九讲 直线和圆问题
一、 直线与圆
（一） 直线和圆的位置关系及其特点
1. 直线和圆相交：直线和圆有两个公共点. 2.直线和圆相切：直线和圆有一个公共点.
3. 直线和圆相离：直线和圆没有公共点.
（二） 直线和圆的位置关系的判断
几何法：利用圆心的距离与半径的大小来判断.
代数法：联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过根的判别式来判断.
直线与圆的
位置关系
相交
相切
相离
图形

圆心到直线的距离

（三）相交弦长
1. 定义：当直线和圆相交时，我们把两个交点的距离叫做相交弦长.
2. 求相交弦长的两种方法
几何法：如图，半径，弦心距，弦长的一半构成直角三角形，满足勾股定理：__________.
代数法：若直线与圆有两个交点，则弦长公式=_______________________________________________．
或______________________________________________________．
3.相交弦中点求法
几何法：求出经过圆心与相交弦垂直的直线方程，则的交点即为相交弦中点．
代数法：联立直线和圆的方程，消去后得到关于的一元二次方程，其两根分别为则相交弦的中点横坐标为，再把代入直线的方程求得，即为中点弦坐标．
（四） 圆的切线
１. 圆的切线条数
点在圆内时：___________；点在圆上时：___________；点在圆外时：____________.
2. 圆的切线方程求法
（1） 求过圆上一点的切线方程求法
先求切点与圆心连线的斜率，由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程求得切线方程.若或不存在，则由图形可以直接求得切线方程．
（2） 求过圆外一点的切线方程求法
几何法：设切线方程为点斜式，由圆心到直线距离等于半径求出斜率，从而求出切线方程．
代数法：设切线方程为点斜式，将切线方程代入圆的方程消去，得到关于的一元二次方程，利用求出，从而求出切线方程．
3. 过圆上一点的切线方程
（1）经过圆上一点的切线方程为.
（2）经过圆上一点的切线方程为.
（3）经过圆上一点的切线方程为.
4.切线长：若圆，则过圆外一点的切线长.
5.切点弦：过圆外一点作圆的两条切线方程，切点分别为,则切点弦所在直线方程为：.
（五） 圆系方程
1. 以为圆心的圆系方程是_____________________________________.
2. 与圆同心的圆系方程是___________________________.
3. 过同一定点的圆系方程是_________________________________________.
4. 过直线与圆的交点的圆系方程是
____________________________________________________________.
5. 过两圆的交点的圆系方程是_________________________________________________________.

二、 圆和圆
（一） 圆和圆的位置关系
圆与圆之间有几种位置关系？
（二） 圆和圆的位置关系判断
几何法：设两圆的半径分别为，圆心距为，比较和的大小关系.
代数法：由两个圆的方程组成一个方程组消元化为一元二次方程．根据来判断.
圆和圆的位置关系
内含
内切
相交
外切
外离
图形

两圆圆心的距离

（三）圆与圆的公共弦
1.两圆的相交弦所在直线方程的求法
设两圆和‚相交时，-‚得ƒ
若两圆相交，方程ƒ表示过两圆交点的直线，即ƒ为经过两圆交点的直线方程.
提示：当两圆相切时ƒ为两圆的公切线方程.
2. 公共弦长的求法
代数法：将两圆方程联立，解出交点坐标，利用两点距离公式求出弦长.
几何法：求出公共弦所在直线方程，求出弦心距，半径，利用勾股定理求出弦长.

三、直线与圆的方程的应用
坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题．

考点一、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系
例1：已知动直线和圆，试问为何值时，直线与圆相切、相离、相交？

例2：若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是__________.

例3：圆与圆.
试问为何值时，两圆（1）外离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含；

变式1：圆与直线的位置关系是？

变式2：已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是____________.

变式3：已知圆，圆，试判断两圆的位置关系.

练习：
1. 直线与的位置关系是__________.

2. 直线与圆有公共点，则的取值范围是多少？

3.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　)
A．0或2 B．0或4
C．2 D．4
4. 圆和的位置关系是___________.

5. 圆：与圆：外切，则的值为多少？

6. 判断直线与圆的位置关系.

考点二、直线和圆相交
（一） 相交弦长
例1：求直线被圆截得的弦长.

例2：已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，求圆的方程.

例3：直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是___________________.

变式1：在平面直角坐标系中，直线与圆交于A,B两点，求及的面积.

变式2：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则____________．

变式3：已知圆，直线过点且与圆相交于A,B两点,，求.直线的方程.

练习：
1. 直线被圆所截得的弦长等于多少？

2. 已知圆截直线所得弦的长度为4，则________.

3.直线过点,被圆截得的弦长为，求直线的方程.

4.直线与圆交于、两点，则的面积为_______________.

5.求与轴相切，圆心在直线上，且截直线的所得弦长为的圆的方程.

6.直线截圆的劣弧所对的圆心角是______________.

（二）中点弦和弦的中点轨迹问题
例1：已知圆内一点，求以为中点的弦所在直线的方程.

例2：过点作圆的弦，其中最短的弦长为_________.

例3：直线与圆相交于两个不同点，求中点轨迹方程.

变式1：设圆的一条弦的中点为则该弦所在直线的方程为___________________________________.

变式2：过点（1，）的直线将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的的方程为 .

变式3：已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．

练习：
1. （1）设直线和圆相交于点，弦的垂直平分线的方程为?
（2） 若点为圆的弦的中点，求直线的方程.

2. 过点的直线被圆截得的弦长最短的直线方程是？

3.经过原点作圆的割线，交圆于两点，求弦的中点的轨迹方程.

4.若直线与圆相交于两点，求弦的中点的轨迹.

5.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40

（三） 直线和圆相交最值问题
例1：在圆上，与直线的距离最小距离是_________.该点的坐标是 ．最大距离是___________.该点的坐标是_________________.

例2：若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ．

例3：若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是 ．

变式1：已知点是圆上任意一点，求到直线的最大距离和最小距离.

变式2：在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是___________________.

变式3:直线过点且与半圆有两个不同的交点，则直线的斜率的范围是__________.

练习：
1.圆上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．5 D．1

2. 设A为圆上一动点，则A到直线的最大距离为______.

3.圆上到直线的距离为的点有（ ）
A．　1个　 B．　2个　 C．　3个　 D．　4个

4.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是_________.

5. 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是_________.

6.曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是_____.

考点三、直线和圆相切
（一） 与圆相切的直线方程
（点在圆外）例1：自点向圆引切线，则切线方程是多少？

（点在圆上）例2：经过圆上一点作圆的切线方程为_____________________.
例3：与圆C：相切、且纵截距和横截距相等的直线共有 条.

例4：把直线绕原点逆时针方向旋转，使它与圆相切，则直线转动的最小正角是_______________.

变式1：求过且与圆相切的直线方程.

变式2：圆在点处的切线方程为__________________.

练习：
1. 求过点的圆的切线方程.

2.已知圆，求过点的圆的切线的方程.

3.已知过点 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（　　）
A. B．1 C．2 D．
4.一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射后光线所在直线的方程____________________.

5.垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是（　　）
A． B．
C． D．

6. 若经过点的直线与圆相切，则此直线在轴上的截距是 ．

（二）与直线相切的圆方程
例：求圆心在直线:上，并且与直线： 相切于点圆的方程.

变式：若圆经过坐标原点和点,且与直线相切,则圆的方程是_________.

练习：
1.圆心为（1，2）且与直线相切的圆的方程为 .

2. 已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆
的方程为_______________.

3.已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为____________________．

（三）切点弦、切线长
例1：过点向圆上作两条切线，则弦所在的直线方程为______________________.

例2：自点 的切线，则切线长为_______________.

例3：已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，
（1） 那么四边形面积的最小值为多少？
（2） 直线上是否存在点使？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由.

例4.自动点引圆的两条切线，直线的斜率分别为.
（1）若，求动点的轨迹方程；
（2）若点在直线上，且，求实数的取值范围.

变式1：过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为___________________________.

变式2：自直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 .

变式3：由动点向圆引两条切线，切点分别为，则动点的轨迹方程为 ．

练习
1.过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )
A． B． C． D．

2.过点作圆的切线于切点，那么到两切点连线的距离为(　　)
A．15 B．1 C. D．5

3.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1 B．2
C. D．3

4. 从直线上一点做圆的切线，切点为，求四边
形面积的最小值.

5.已知和定点,由外一点向引切线,切点为且满足.
(1)求实数间满足的等量关系;
(2)求线段的最小值.

（四）利用直线和圆的位置关系解决最值问题
例1：已知实数、满足方程，
（1） 求的最大值和最小值；
（2） 求的最大值和最小值；
（3） 求的最大值和最小值.

变式：若实数满足，则的最大值为 ．

练习
1. 已知是实数,且,
求(1)的最值；(2)的最值；(3)的最值；(4)的最值.

2. 已知实数满足，则的取值范围为________________.

考点四、圆与圆
（一） 圆与圆相切
例1：求与圆内切于点（5，0），且与直线也相切的圆方程．

变式：已知半径为1的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是______________________.

练习：
1. 圆：，圆的圆心为且与圆相切，求圆的方程．

2. 求过点且与圆：切于原点的圆的方程．

（二）圆与圆相交
例1：求两圆：及的公共弦所在直线方程和公共弦长.

例2：已知圆与圆相交于两点，则线段的中垂线方程为________．

例3：求过两圆 的交点，且圆心在直线
上的圆的方程．

变式1：圆和的公共弦所在直线方程为（ ）
A. B. C. D.

变式2：已知两圆和，则它们的公共弦长为______________.

练习：
1.圆和圆的公共弦直线方程为________；公共弦长为　　　　　. 

2. 已知圆和圆,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.

考点六、综合拓展（设而不求、对称问题）
例1：已知直线交圆于点，为坐标原点，且，则的值为 ．

例2：在以为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点，已知，且点的纵坐标大于0.
(1)求的坐标；
(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．

例3：已知圆,圆,分别是圆上的动点，为轴上的动点,的最小值.

变式1：若圆与直线交于两点，且，求的值.

变式2：若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.

练习
1.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为(　　)
A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1[来
C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1[来源:

2.若两圆及在交点处的切线互相垂直，求实数的值．

3.已知圆和直线的交点分别为两点，为坐标原点，则的值为____________.

考点七、实际运用
例：有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10 km，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？

变式：如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被我海监船监测到？若能，持续时间多长？

练习：航行前方的河道上有一圆拱桥，在正常水位时，拱圆最高点距水面9米，拱圆内水面宽为22米，船只在水面上部高为6.5米,船顶宽4米,故船行无阻.近日水位暴涨了2.7米,船只已不能通过桥洞,船员必须加重船载,降低船身.问:船身必须降低多少,才能通过桥洞?

巩固训练
1.直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　)
A．相交并且过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离

2.已知圆，圆，其中，则两圆的位置关系为（ ）
A.相交 B．外切 C．内切 D．相交或外切

3.若曲线与直线始终有两个交点，则的取值范围是__________.

4.圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于(　　)
A． B． C．1 D．5

5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.

6. 若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为_________.

7. 直线与圆没有公共点，则的取值范围是_____.

8. 设是圆上的动点,是直线上的动点,则的最小值为__________________.

9. 过点且与圆相切的直线方程是____________________．

10. 求与圆同心，且与直线相切的圆的方程.

11.过点的直线中被圆截得的弦长最大的直线方程是( )
A. B. C. D.

12．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是(　　)
A．5 B．1
C．3－5 D．3＋5

13.动点在圆 上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是( )
A． B．
C． D．

14. 设是圆上一点，则的最大值是 ．

15.辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过(　　)
A．1.4米 B．3.0米
C．3.6米 D．4.5米

16.已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为2，求圆的方程．

17.已知直线过点且和圆相交于A,B两点，截得的弦长为，求直线的方程.

18. 求经过圆与圆的交点，且过点的圆的方程.

19.已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．
(1)若|AB|＝，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；
(2)求证：直线AB恒过定点．

20. 已知过点的直线与圆相交于两点，
(1)若弦的长为，求直线的方程；
(2)设弦的中点为，求动点的轨迹方程．

21．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求l的倾斜角；
(3)求弦AB的中点M的轨迹方程．

22.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．

18