线性规划的常见题型及其解法(教师版-题型全-归纳好).doc

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课题
线性规划的常见题型及其解法答案

线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．
归纳起来常见的命题探究角度有：
1．求线性目标函数的最值．
2．求非线性目标函数的最值．
3．求线性规划中的参数．
4．线性规划的实际应用．
本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．

【母题一】已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的取值范围为(　　)
A．[7，23] B．[8，23]
C．[7，8] D．[7，25]
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值．
【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

由目标函数z＝2x＋3y得y＝－x＋，平移直线y＝－x知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得所以B(2,1)，zmin＝2×2＋3×1＝7，在点A处目标函数取到最大值，解方程组得所以A(4,5)，zmax＝2×4＋3×5＝23．
【答案】A
【母题二】变量x，y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，＝·表示点(x，y)和连线的斜率；x2＋y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2表示点(x，y)和点(－3,2)的距离的平方．
【解析】(1)由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示．
由解得A．
由解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
∵z＝＝×
∴z的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知zmin＝×＝．
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．
结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝．
∴2≤z≤29．
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是：
可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．
结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
dmin＝1－(－3)＝4，
dmax＝＝8
∴16≤z≤64．

1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有：
(1)截距型：形如z＝ax＋by．
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值．
(2)距离型：形一：如z＝，z＝，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；
形二：z＝(x－a)2＋(y－b)2，z＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方．
(3)斜率型：形如z＝，z＝，z＝，z＝，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直线的斜率．
【提醒】　注意转化的等价性及几何意义．

角度一：求线性目标函数的最值
1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为(　　)
A．10　　　　　　　　 B．8
C．3 D．2
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，

由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8．
【答案】B
2．(2015·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为(　　)
A．3 B．4
C．18 D．40
【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z取得最大值18．

【答案】C
3．(2013·高考陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为(　　)
A．－6 B．－2　
C．0　 D．2
【解析】如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，

令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6．
【答案】A

角度二：求非线性目标的最值
4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)
A．2 B．1
C．－ D．－
【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，

显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－．
【解析】C　
5．已知实数x，y满足则z＝的取值范围 ．
【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，

目标函数z＝＝2＋的取值范围可转化为点(x，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(，1)，则点(1，－1)与(，1)所在直线的斜率为2＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z的取值范围为(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)．
【答案】(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)
6．(2015·郑州质检)设实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是(　　)
A．[1，2] B．[1，4]
C．[，2] D．[2，4]
【解析】如图所示，

不等式组表示的平面区域是△ABC的内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]．
【答案】B　
7．(2013·高考北京卷)设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．
【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，

则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝，故最小距离为．
【答案】
8．设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于(　　)
A． B．4
C． D．2
【解析】不等式组，所表示的平面区域如图所示，

解方程组，得．点A(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2，则|AB|的最小值为4．
【答案】B　
角度三：求线性规划中的参数
9．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx＋过定点．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D．当y＝kx＋过点时，＝＋，所以k＝．
【解析】A
10．(2014·高考北京卷)若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
【解析】D　作出线性约束条件的可行域．

当k＞0时，如图①所示，此时可行域为y轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值．
当k＜－1时，z＝y－x取得最小值2；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．
当－1＜k＜0时，如图②所示，此时可行域为点A(2,0)，B，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点B时，有最小值，即－＝－4⇒k＝－．
【答案】D
11．(2014·高考安徽卷)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A．或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB＞zC或zA＝zC＞zB或zB＝zC＞zA，解得a＝－1或a＝2．

法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2．
【答案】D
12．在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的取值范围是(　　)
A．[6，15] B．[7，15]
C．[6，8] D．[7，8]
【解析】　由得，则交点为B(4－s,2s－4)，y＋2x＝4与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为C′(0,4)，x＋y＝s与y轴的交点为C(0，s)．作出当s＝3和s＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．

(1)　　　　　　　　　　　　(2)
当3≤s＜4时，可行域是四边形OABC及其内部，此时，7≤zmax＜8；
当4≤s≤5时，可行域是△OAC′及其内部，此时，zmax＝8．
综上所述，可得目标函数z＝3x＋2y的最大值的取值范围是[7，8]．
【答案】D
13．(2015·通化一模)设x，y满足约束条件若z＝的最小值为，则a的值为________．
【解析】∵＝1＋，而表示过点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率，易知a＞0，
∴可作出可行域，由题意知的最小值是，即min＝＝＝⇒a＝1．

【答案】1
角度四：线性规划的实际应用
14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．
【解析】　设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z＝300x＋400y．

画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z＝300x＋400y在点A处取得最大值，由方程组解得则zmax＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．
【答案】1 700
15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300．
(2)约束条件为整理得
目标函数为w＝2x＋3y＋300．
作出可行域．如图所示：

初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，w有最大值．由得
最优解为A(50,50)，所以wmax＝550元．
所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．

一、选择题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　)
A．(－24,7)　　　　　　　 B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
【解析】根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0．即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24．
【答案】B
2．(2015·临沂检测)若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是(　　)
A．－3 B．0
C． D．3
【解析】作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部)．

平移直线z＝x－y，易知当直线z＝x－y经过点C(0,3)时，目标函数z＝x－y取得最小值，即zmin ＝－3．
【答案】A
3．(2015·泉州质检)已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z＝·的最大值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】如图作可行域，z＝·＝x＋2y，显然在B(0,1)处zmax＝2．

【答案】D
4．已知实数x，y满足：则z＝2x－2y－1的取值范围是(　　)
A．　 B．[0，5]
C．　 D．
【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：2x－2y－1＝0，平移l可知2×－2×－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是．

【答案】D
5．如果点(1，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则b应取的整数值为(　　)
A．2 B．1
C．3 D．0
【解析】由题意知(6－8b＋1)(3－4b＋5)＜0，即(b－2)＜0，∴＜b＜2，∴b应取的整数为1．
【答案】B
6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是(　　)
A．(1－，2) B．(0，2)
C．(－1，2) D．(0，1＋)
【解析】如图，根据题意得C(1＋，2)．

作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1＋，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋)＋2<z<－1＋3，∴z＝－x＋y的取值范围是(1－，2)．
【答案】A
7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为(　　)
A．2 B．
C． D．1
【解析】作出可行域如图所示，当点P位于的交点(1,1)时，(kOP)max＝1．

【答案】D
8．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为(　　)
A．2 B．1
C． D．
【解析】不等式所表示的可行域如图所示，

设a＝x＋y，b＝x－y，则此两目标函数的范围分别为a＝x＋y∈[0,1]，b＝x－y∈[－1,1]，又a＋b＝2x∈[0,2]，a－b＝2y∈[0,2]，∴点坐标(x＋y，x－y)，即点(a，b)满足约束条件作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S＝×2×1＝1．
【答案】B
9．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．(0，4]
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时取最大值，∴a＋b＝4，ab≤2＝4，∵a＞0，b＞0，∴ab∈(0，4]．

【答案】B
10．设动点P(x，y)在区域Ω：上，过点P任作直线l，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，

则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S＝π×2＝4π．
【答案】D
11．(2015·东北三校联考)变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是(　　)
A．{－3,0} B．{3,－1}
C．{0,1} D．{－3,0,1}
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．

易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，∴a＝－1或a＝3．
【答案】B
12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　)
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
【解析】法一：联立方程解得代入x＋ay＝7中，解得a＝3或－5，当a＝－5时，z＝x＋ay的最大值是7；当a＝3时，z＝x＋ay的最小值是7．
法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．
当a＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．

图(1) 图(2)
由得交点A(－3，－2)，则目标函数z＝x－5y过A点时取得最大值．zmax＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A，C选项．
当a＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．
由得交点B(1,2)，则目标函数z＝x＋3y过B点时取得最小值．zmin＝1＋3×2＝7，满足题意．
【答案】B
13．若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，则由点P(a，b)所确定的平面区域的面积是(　　)
A． B．
C．1 D．
【解析】因为ax＋by≤1恒成立，则当x＝0时，by≤1恒成立，可得y≤(b≠0)恒成立，所以0≤b≤1；同理0≤a≤1．所以由点P(a，b)所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．
【答案】C
14．(2013·高考北京卷)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2．求得m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．

要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝x－1的下方即可，即m＜－m－1，解得m＜－．
【答案】C
15．设不等式组表示的平面区域为D．若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是　(　　)
A．(1，3] B．[2，3]
C．(1，2] D．[3，＋∞)
【解析】平面区域D如图所示．

要使指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，所以1＜a≤3．
【解析】A
16．(2014·高考福建卷)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(　　)
A．5　 B．29
C．37　 D．49
【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1．显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，amax＝6．∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37．

【解析】C
17．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【解析】已知直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．
当直线y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y＝k(x－1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k的取值范围是(－∞，－1)．当直线y＝k(x－1)－1与y＝x平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k＞1时，也可形成三角形，综上可知k＜－1或k＞1．

【答案】D
18．(2016·武邑中学期中)已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最大值为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
【解析】区域如图所示，目标函数z＝2x＋y在点A(3,2)处取得最大值，最大值为8．

【答案】C
19．(2016·衡水中学期末)当变量x，y满足约束条件时，z＝x－3y的最大值为8，则实数m的值是(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1

【解析】画出可行域如图所示，目标函数z＝x－3y变形为y＝－，当直线过点C时，z取到最大值，
又C(m，m)，所以8＝m－3m，解得m＝－4．
【答案】A
20．(2016·湖州质检)已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，

观察图形可知当A为(1,2)，B为(2,1)时，tan∠AOB取得最大值，此时由于tan α＝kBO＝，tan β＝kAO＝2，故tan∠AOB＝tan (β－α)＝＝＝．
【解析】C
二、填空题
21．(2014·高考安徽卷)不等式组 表示的平面区域的面积为________．
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝×2×(2＋2)＝4．

【答案】4
22．(2014·高考浙江卷)若实数x，y满足则x＋y的取值范围是________．
【解析】作出可行域，如图，作直线x＋y＝0，向右上平移，过点B时，x＋y取得最小值，过点A时取得最大值．

由B(1,0)，A(2,1)得(x＋y)min＝1，(x＋y)max＝3．所以1≤x＋y≤3．
【答案】[1,3]
23．(2015·重庆一诊)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为____．
【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，

∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax ＝3×2－2＝4．
【答案】4
24．已知实数x，y满足则w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值为________．
【解析】目标函数w＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x，y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，

由图可知，点(2,2)到直线x＋y－1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又＝，所以wmin＝．
【答案】
25．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线x＋y－2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，∴|OM|min＝＝．

【答案】
26．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．
【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，
由题意知利润z＝5x＋3y，作出可行域如图中阴影部分所示，

求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．
【答案】27
27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，则黄瓜的种植面积应为________亩．
【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y．线性约束条件为即

画出可行域，如图所示．作出直线l0：x＋0．9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，
由解得A(30,20)．
【答案】30
28．(2015·日照调研)若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
【解析】平面区域A如图所示，所求面积为S＝×2×2－××＝2－＝．

【答案】
29．(2014·高考浙江卷)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤．所以a的取值范围是1≤a≤．

【答案】
30．(2015·石家庄二检)已知动点P(x，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k的值为________．
【解析】由目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx＋y＝0的倾斜角为120°，于是有－k＝tan 120°＝－，所以k＝．
【答案】
31．设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围 ．

【解析】变换目标函数为y＝－x＋，由于m>1，所以－1<－<0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y＝－x＋在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A处取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，得A，所以目标函数的最大值zmax＝＋<2，所以m2－2m－1<0，解得1－<m<1＋，故m的取值范围是(1,1＋)．
【答案】(1,1＋)
32．已知实数x，y满足若目标函数z＝x－y的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．

【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为y＝x－z，当z最小时，直线y＝x－z在y轴上的截距最大．
当z的最小值为－1，即直线为y＝x＋1时，联立方程可得此时点A的坐标为(2,3)，此时m＝2＋3＝5；当z的最小值为－2，即直线为y＝x＋2时，联立方程可得此时点A的坐标是(3,5)，此时m＝3＋5＝8．故m的取值范围是[5,8]．
目标函数z＝x－y的最大值在点B(m－1,1)处取得，即zmax＝m－1－1＝m－2，故目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．
【答案】[3,6]
33．(2013·高考广东卷)给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
【解析】线性区域为图中阴影部分，

取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条 ，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x＋y＝4上，故T中的点共确定6条不同的直线．
【答案】6
34．(2011·湖北改编)已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b．若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为__________．
【解析】∵a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，∴a·b＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即2x＋3y－z＝0．又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分，

∴当2x＋3y－z＝0过点B(0，－1)时，zmin＝－3，当2x＋3y－z＝0过点A(0,1)时，zmin＝3．
∴z∈[－3,3]．
【答案】[－3,3]
35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________．
【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．
若m≠0，则目标函数z＝x＋my可看作斜率为－的动直线y＝－x＋，
若m＜0，则－＞0，由数形结合知，使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；
若m＞0，则－＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，则m＝1．
综上可知，m＝1．
【答案】1

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