椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法.doc

椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法
一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）
例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B. C.(3,+) D.
【解析】，，（当且仅当三点共线等号成立）,选B
例2、如果椭圆上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A． B． C． D．
[解析]设，由题意及椭圆第二定义可知
（当且仅当三点共线等号成立），把代入化简可得又,选B
二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系
例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．　 Ｂ． Ｃ．　　 Ｄ．
【解析】设，，当点在右顶点处，
．．
三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系
例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B. C.(3,+) D.
解：,,即在双曲线右支上恒存在点使得可知，又,选B
例2．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。
解：由题意得因为，所以，从而 ，。又因为P在右支上，所以。  。。
例3．椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等，而|FA|＝ w |PF|∈[a－c,a＋c] 于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴Þ m又e∈(0,1)故e∈ 答案：D
例4、已知双曲线的左、右焦点分别为．若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
【解析】（由正弦定理得），，．
又，，，由双曲线性质知，，即，得，又，得．
例5、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，求离心率e的取值范围。
解析：∵P点满足∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径的圆上又∵P是椭圆上一点，∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，∵F1、F2是椭圆的焦点∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，两边平方，得c2≥b2 即c2≥a2-c2

四、利用圆锥曲线中的范围建立不等关系
例1、双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（　）Ａ．　　Ｂ．　　　Ｃ．　　Ｄ．
【解析】
而双曲线的离心率，
例2、设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由题设得：。由双曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。
归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上则；若点在双曲线的右支上则。
例2． 设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，求离心率e的取值范围。
解析1：设P（x，y），又知，则
将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

解析2：由焦半径公式得

例3已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，如果椭圆上存在点P，使得∠APB=1200，求椭圆的离心率e的取值范围．
解：设P（x0，y0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x0＜a, 0＜y0≤b．∵A（a，0），B（a，0），∴=，=．
∵∠APB=1200，∴tan∠APB=-，又tan∠APB==，∴=，……① 而点P在椭圆上，∴b2x02+a2y02=a2b2……②由①、②得 y0=．∵0＜y0≤b，∴0＜≤b．
∵a＞b＞0，∴2ab≤（a2-b2），即4 a2b2≤3 c4，整理得，3e4+4e2-4≥0．考虑0＜e＜1，可解得≤e＜1．
四、利用判别式建立不等关系
例1、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，求离心率e的取值范围。
解：由椭圆定义知

例2、已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个不同的交点则，，即且，所以，即且。
五、利用均值不等式建立不等关系
例1、已知椭圆(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°则椭圆离心率e的取值范围 ；
解：设|PF1|=m，|PF2|=n则根据椭圆的定义，得m+n=2a，① 又∵△F1PF2中，∠F1PF2=60°
∴由余弦定理，得m2+n2-mn=4c2．② ①②联解，得mn＝
又∵mn≤＝a2， ∴ ≤a2，化简整理，得a2＜4c2，解之得≤e＜1
例2、已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，则双曲线离心率的取值范围 。
解析：，由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又所以，则。
例3、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，则离心率e的取值范围 。
解析：由椭圆定义，有 平方后得

六、利用二次函数的性质建立不等关系
设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
Ａ．　　 　Ｂ．　　 　Ｃ．　　 　Ｄ．
【解析】．，根据二次函数值域可得．
七、利用非负数性质
例 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），则双曲线离心率的取值范围 。

解析：设，过左焦点的直线方程：，代入双曲线方程得：，由韦达定理得：，
，由OP⊥OQ得，即：，解得：，因为，所以，则，所以。
练习
1、设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（　A　）
A．[，1) B.（，1) C.(0，) D.(0，]
解：设，P（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．
在△PF1F2中，由余弦定理得 cos120°＝，解得 x12＝． ∵x12∈（0，a2]，
∴4c2-3a2≥0．且e2＜1 ∴e∈[，1)

2、设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
【解析】设若为右准线与轴的交点，可知，即，又在右准线上可知，所以离心率的取值范围为．
3、椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为．若 ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．　　 　Ｂ．　　 　Ｃ．　　 　Ｄ．
【解析】因为两准线距离为，又因为，所以有，即，所以．
4、已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．　 Ｄ．
【解析】如图与分别为与双曲线的渐近线平行的两条直线，直线为过且倾斜角为的直线，要使与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使．．
5、设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。
解析1：由双曲线第一定义得：，与已知联立解得：
，由三角形性质得：解得：。
解析2： ，点P在双曲线右支上由图1可知：，，即，两式相加得：，解得：。

6、已知双曲线的左、右焦点分别为．若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
【解析】因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，设点由焦点半径公式，得则解得由双曲线的几何性质知，整理得
解得，故椭圆的离心率
7、若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
解析: 因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。
7、已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是20080418
（ A ）
A． B． C. D．
8、已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 。
【解析】如图，,作轴于点D1,则由，得

,所以,
即,由椭圆的第二定义得
又由,得,整理得. 两边都除以,得,解得.
9、已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ）（A）1 （B） （C） （D）2
【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴
即k=，故选B.
【解析】：A（x1，y1），B（x2，y2），，∴y1=-3y2，
∵e＝，设a＝2t，c＝t，b=t，
∴x2+4y2-4t2=0，直线AB方程为x＝sy+t代入消去x，得 (s2+4)y2+2sty−t2＝0，
∴y1+y2＝− ，y1y2＝− ，−2y2＝− ＝ k= 故选B

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