圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围).doc

圆锥曲线专题
求离心率的值
师生互动环节
讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。
策略一：根据定义式求离心率的值
在椭圆或双曲线中，如果能求出的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中；双曲线中.所以只要求出值即可求离心率.
例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线与双曲线：相交于两点，且的中点为，求曲线的离心率.

解析：如图，设，则

①
②
①-②整理得③
又因为为的中点，则，且，代入③得
，解得，所以.
方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与的关系，解得的值，从而整体代入求出离心率.当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得，或者，从而解出的值，最后求得离心率.
【同类题型强化训练】
1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）.

2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在轴上的一椭圆与圆交于两点，恰是该圆的直径，且直线的斜率，求椭圆的离心率.
3.（母题）已知双曲线，双曲线上一动点到两条渐近线的距离乘积为，求曲线的离心率.
【强化训练答案】
1.答案：由双曲线焦点在上，则渐近线方程，又题设条件中的渐近线方程为，比较可得，则.
2.答案：设椭圆方程为，，则
① ②
①-②整理得③
因为恰是该圆的直径，故的中点为圆心，且
则，代入③式整理得
直线的斜率，所以，解得
所以离心率.
3.答案：曲线的渐近线方程分别为和，设，则
点到直线的距离，
点到直线的距离，

因为在曲线上，所以，故，解得
所以.
策略二：构造的关系式求离心率
根据题设条件，借助之间的关系，沟通的关系（特别是齐次式），进而得到关于的一元方程，从而解方程得出离心率.
例2.已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，求双曲线的离心率.
解析：如图1，的中点为，则点的横坐标为.

由，
焦半径公式
有，
即
有
解得，或（舍去）.
方法点拨：此题根据条件构造关于的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义整理成关于的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：.
【同类题型强化训练】
1. （2011新课标）已知直线过双曲线的一个焦点，且与的对称轴垂直，与交于、
两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为（ ）
2 3
2.（2008浙江）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ）
3 5
【同类题型强化训练答案】
1.答案：依据题意，解得.
2.答案：依据题意，整理得，所以.

策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义）
由圆锥曲线的第二定义，知离心率是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即.
例3.（2010年辽宁卷）设椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为,,求椭圆的离心率.
解法一：作椭圆的左准线,过作的垂线，垂足为；过作的垂线，垂足为.过作的垂线，垂足为.如图2.

由图，由椭圆的第二定义，则
，

且,所以是的中点
又因为直线的倾斜角为，即，
所以在中，,故.
解法二：设，由题意知，.
直线的方程为 ，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率 .
方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。对于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思维，对计算要求不高；对于方法二：对学生的计算能力有较高的要求，重在计算。

【同类题型强化训练】
1.（2010全国卷二）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ）
1 2
2. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且
，则的离心率为 .
【强化训练答案】
1. 答案：设直线为椭圆的右准线，为离心率，过分别作,垂直于，为垂足，过作垂直于与，如图3所示，

由椭圆第二定义，则
,，由,得
所以，
，所以.故选.
2.答案：方法一：如图4，,
作轴于点,则由，得,所以,

即,由椭圆的第二定义得
又由,得,整理得.
两边都除以,得,解得.
方法二：设椭圆方程为：第一标准形式，分线段所成的比为2，
，带入
，.

课时2、离心率的取值范围
一、师生互动环节
讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的取值范围问题分类精析与方法归纳点拨。
策略一：利用曲线中变量的范围求离心率的范围
用曲线中变量的范围，在椭圆中，；在双曲线中中，或.
例1.设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点，使，求离心率的取值范围.
解析：设，又知，则
，
因为，则，即
所以
联立方程，消，解得
又因为，故，①
解不等式①，结合椭圆的离心率范围为，可得.
方法点拨：由题知，根据限制条件用表示，即，然后代入不等式，结合整理得关于的齐次不等式，从而求出离心率的取值范围.当然此题解决的办法绝不止这一种，根据几何关系或基本不等式等都能很好的解决.
【同类题型强化训练】
1. （2007湖南）设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

2.(2008福建)双曲线的两个焦点为,若为其上一点，且,则双曲线离心率的取值范围为（ ）
(1,3) (3,+)
3.（2010四川）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )5*u.c o*m

【强化训练答案】
1. 答案：如图,

,
因为线段的中垂线过点，则
,即，解得
又椭圆的离心率，综上.
2.答案：分别为左右焦点，设在双曲线的右支上，则
，
由，则解得
因为在双曲线的右支上，则，即，解得.
3.答案：由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，
即点到点与点的距离相等w_w w. k#s5_u.c o*m

而 w_w_w.k*
于是 即
Þ w*又，故.
策略二：正、余弦定理在求离心率范围问题中的应用
例1.已知为椭圆的焦点，为椭圆上一点，则椭圆的离心率的范围为 .
解析：如图,为椭圆上一点，设，则

在中，由余弦定理，则
① ②
联立①②解得因为在椭圆中，则
，解不等式得.
方法点拨：根据正、余弦定理结合椭圆的焦半径公式，用表示，即，根据变量解出离心率，但是此题要构成，故点不能在轴上，所以此题结合椭圆的范围可求出离心率的范围.

【自我评价】
1. 已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆离心率的取值范围为 .
2. (衡水调研卷)从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是 .
3.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

【自我评价答案】
1.答案：如图，在中，由正弦定理，则

又
所以，且，则
，解不等式得或（舍去）
又椭圆的离心率，综上所述.
2.答案：设椭圆的标准方程为
在第一象限内取点，由椭圆的参数方程知
则椭圆的内接矩形长为，宽为，
所以内接矩形面积为
面积的取值范围为，则
所以，即，
不等式同时平方得，即且
整理解得.
3.答案：
【本课总结】
对于求离心率问题常常有以下办法
1. 直接求出，或求出，代公式求解.
常见的与相关的一些题设条件：
①设是椭圆的一条弦，且为弦的中点，则所在的直线方程的斜率；
②设是双曲线的一条弦，且为弦的中点，则所在的直线方程的斜率；
③双曲线的渐近线方程或.
2. 构造关于的方程或不等式，利用离心率转化成关于的一元方程或不等式求值或求范围.
3. 根据圆锥曲线的第二定义（到定点的距离比上到定直线的距离等于离心率）可以求离心率的值.
4. 根据正、余弦定理或借助于椭圆、双曲线的焦半径公式得到，（为曲线上的点的横坐标），再根据曲线中的取值范围可求离心率的取值范围.
5. 对于求离心率的范围问题，其本质在曲线中变量的范围，通过变量的范围构造不等式解不等式即可.

圆锥曲线离心率家庭作业
1.若双曲线的离心率是，则实数的值是（ ）

2.椭圆（）的两个焦点分别为、，以、为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
3.已知双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
4.已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）

5.若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ）

6.如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

7.点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

8.已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

9.设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( )

10.双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（ ）

11.设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
12.设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 .
13.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ）

14.设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
15.如图，已知梯形中，，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围。

【家庭作业参考答案】
1.答案：先将方程化成标准形式，然后确定、，再根据求出的值．故选

2.答案：设点为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，
由平面几何知识可得，
所以由椭圆的定义及得：
，故选
3. 答案：如图，由及双曲线第一定义

式，得：
，，又．
因为点在右支上运动，所以，
得，即，又，故填．
4.答案：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选
5.答案：由、知 ，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选
6.答案：由题设，，则，，因此选
7.答案：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，，则，故选
8.答案：如图，设的中点为，则的横坐标为，

由焦半径公式，
即，得，解得
（舍去），故选
9.答案：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，
又, ∴,两边平方，得，整理得，
得或，又 ，∴，∴，∴，故选
10.答案：如图所示，不妨设，，，则

，又，
在中， 由余弦定理，得,
即，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，故选
11.答案：
12.答案：如图所示，是过且垂直于轴的弦，∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义，

13.答案：.
14.答案：由，，得，,

∴,∴
∵，∴,∴，∴，故选
15.答案：以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．依题意，记，，，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高．

由定比分点坐标公式得，，设双曲线的方程为，则离心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得①
将点的坐标代入双曲线方程得②
再将①、②得，∴③
④
将③式代入④式，整理得，∴，由题设得：
，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为