勾股定理主题单元设计及思维导图.doc

勾股定理主题单元设计
主题单元标题
勾股定理
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学科领域 （在内打√ 表示主属学科，打+ 表示相关学科）
思想品德
音乐
化学
信息技术
劳动与技术
语文
美术
生物
科学

√ 数学
外语
历史
社区服务
体育
物理
地理
社会实践
其他（请列出）：
适用年级
八年级
所需时间
课内5课时，课外1课时
主题单元学习概述
勾股定理是初中数学中的一个重要定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，学习勾股定理及其逆定理是进一步理解和认识直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，再数学的学习和发展中起着重要的作用，在日常生活中也有着广泛的应用。它将为学生学习数学和开拓思维打下基础。勾股定理主题单元包括：“探索勾股定理”、“能得到直角三角形吗”、“蚂蚁怎样走最近”三部分内容。本单元的重点是勾股定理的探究验证、直角三角形的判定条件、勾股数、综合应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
主题单元规划思维导图

主题单元学习目标
知识与技能：
1、用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
2、掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题。
3、通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系；经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
 4、理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形。   
5、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念及应用意识．
过程与方法：
1、让学生经历“观察---猜想---验证”的探索过程，了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系，并体会数形结合和特殊到一般的方法．
2、经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值；
3、通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。
4、通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题的方法与经验。
5、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
情感态度与价值观：
1、在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习．
2、在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识。
3、 通过丰富有趣的拼图活动增强对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学生获得成功的体 验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；在合作学习活动中发展学生的合作交流的意识和能力。  
4、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣，在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
对应课标
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
主题单元问题设计
1、如何探索勾股定理？
2、如何利用边判定直角三角形？
3、怎样应用勾股定理及其逆定理解决相应的实际问题？
专题划分
专题一：探索勾股定理 （课内3 课时+课外研究性学习）
专题二：能得到直角三角形吗 （ 1课时）
专题三：蚂蚁怎样走最近 （ 1课时）
专题一
探索勾股定理
所需课时
课内3课时+课外1课时
专题学习目标 ：
知识与技能目标：能用自己的语言叙述勾股定理，经历勾股定理的探索过程，理解勾股定理。
过程与方法目标：让学生经历“观察—猜想—归纳---验证”的数学探究过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想方法。
情感态度与价值观目标：丰富数学学习的成功体验，初步形成积极参与数学活动的意识，通过问题情景的创设和解决，让学生体验生活中的数学，能用数学的眼光看待生活。
专题问题设计
1、怎样用数格子和图形割补法探究勾股定理？
2、勾股定理的内容是什么？
3、用图形割补法怎样验证勾股定理？有几种常见的不同方法？
4、已知直角三角形的两边，怎样求第三边的平方？
5、用拼图法怎样验证勾股定理？各种方法的联系？
所需教学环境和教学资源
信息化资源
几何画板课件
常规资源
作图工具（直尺，三角尺等）教参、课标。
教学支撑环境
多媒体教室、网格纸。
其 他
纸笔等

学习活动设计
第一课时 探索勾股定理
活动一： 步骤（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：

（2）引导学生从面积角度观察图形：

思考：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.
活动二：内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
（1）观察下面两幅图：

（2）填表：

A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
左图

右图

（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定

　　　　　 图1　　　　　　　　　 图2　　　　　 图3
【技术应用】应用几何画板（或利用方格纸）演示说明，形象直观。
（4）分析填表的数据，你发现了什么？
学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论2.
活动三：内容：（1）你能用直角三角形的边长、、来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.
第二课时：用图形面积割补验证勾股定理
活动1： 教师导入，小组拼图.
今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）
为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.

22
图1
活动2：层层设问，完成验证一. 学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：

图2
问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？ 从而利用图1验证了勾股定理.
活动3 ： 自主探究，完成验证二.
我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）
学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.
第三课时：拼图验证勾股定理
活动一；内容：教师引导学生对收集的验证方法进行归类整理：
第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，“无字证明”

分三种类型：

适当的归类整理有助于学生提高对有关验证方法的认识，加深学生的理解。
活动二：五巧板的制作（动手操作，合作探究）
·教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板”。

1．利用五巧板拼“青朱出入图”。
2．取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？
3．用上面的两幅五巧板，还可拼出其它图形，你能验证勾股定理吗？
4．利用五巧板还能通过怎样拼图来验证勾股定理？
a
b
c
可能的拼图方案：
b
c
a
b
c

通过前面的展示，学生可能已经基本理解了所谓的“无字证明”，但没有通过亲身的体验，可能仍有相当数量的学生难以认同，甚至部分学生可能还存在一定的怀疑，为此利用五巧板拼图证明勾股定理，力图通过学生的亲身实验进一步确认“无字证明”的验证方法。
活动三：搜集汇总勾股定理的文化价值
(1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。
(2) 勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙“人”都应该认识它，因而勾股定理图被建 议作为与“外星人”联系的信号。
(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。
(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立了一个范式。
第四课时：（课外）：勾股定理验证方法的收集与整理
以学校小组或兴趣小组为单位活动
活动1：上这节课前一个星期教师布置给学生以下活动：查有关勾股定理的资料（可上网查，也可查阅报刊、书籍）.实行“小组合作制”，各小组中自己推荐一人担任“发言人”，一人担任“书记员”，在小组结束后，由小组的“发言人”汇报本小组的结果，提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。可利用“多媒体视频展示台”展示本组找到的证明方法，其他小组给予评价，这样既保证讨论的有效性，也调动了学生的学习积极性。
具体的做法是：请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多地寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告：
《勾股定理证明方法汇总》
方法种类及历史背景
验证定理的具体过程
知识运用及思想方法

勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。同时勾股定理是世界上证法最多的定理，在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，希望学生能从这些证明方法中学习到一些重要的数学方法、数学思想。鼓励同学们作为新时期的学习者，也能探索出自己的证明方法，激发学习数学的兴趣。
:活动2：探究成果的交流与展示：以下是学生搜集的勾股定理的证明方法:
1.赵爽证明
2.1876年美国总统Garfield证明
3.意大利著名画家达·芬奇的证法
4.毕达哥拉斯
5.青朱出入图
6.在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明
7.欧几里得证明
……..
【技术支持】利用多媒体进行展示交流。
使学生在上这节课时就对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是非常必要的，激发学生的学习兴趣，同时，这一活动，也是一次对学生进行爱国主义教育、培养民族自豪感的好机会，可以激励他们奋发向上，同时培养他们的自学能力、归类总结等能力。
评价要点

自评
互评
师评
兴趣

态度

效果

专题二

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