21-22版：8.6.3-平面与平面垂直.docx

8.6.3　平面与平面垂直
学习目标　1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题．
导语　
回顾两条直线的垂直的定义，要先定义角的概念，利用两条直线所成角的特殊情况研究直线垂直，因此，定义两平面垂直，我们先从二面角开始．
一、二面角的概念
知识梳理　
二面角
1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
2．画法：

3．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图．

(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
例1　(1)从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是(　　)
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定

(2)如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值．

反思感悟　求二面角的平面角的大小的步骤

跟踪训练1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．

二、平面与平面垂直的定义和判定
知识梳理　
1．平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β.
(2)画法：

2．面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
例2　如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.

反思感悟　证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角．
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
跟踪训练2　如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.

三、平面与平面垂直的性质定理
问题　黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？由此，你能得到什么样的一般结论呢？
提示　找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，即垂直于地面．

知识梳理　
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言

例3　 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.

反思感悟　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点
(1)两个平面垂直．
(2)直线必须在其中一个平面内．
(3)直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练3　如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.

1．知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角．
(2)平面与平面垂直的定义和判定定理．
(3)平面与平面垂直的性质定理．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直．

1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　)
A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
3．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.