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绵阳市高中2010级第三次诊断性考试
数学（理）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷 3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效j在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U=R,集合A＝{x||x|≤1}，B={x|x≤1},则等于
A. {x|x≤-1} B. {x|x<-1}
C. {-1} D. {x|-1<x|≤1}
2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q：.则下 列命题为真命题的是
A B
C D
3. 已知曲线的渐近线方程为，则该曲线的离心率为
A B C D
4. 函数f(x)=log2x+x的零点所在的一个区间是
A (0, ) B (, )
C (, 1) D (1,2)
5. 函数f(x)=x-sinx的大致图象可能是

6.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的 中点，一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几 何体F-AMCD内的概率为
A B C D
7.如图所示，在ΔABC中,D为BC的中点，BP丄DA,垂足为P,且BP=2,则=
A. 2 B. 4
C. 8 D. 16
8. 已知E为不等式组，表示区域内的一点，过点E的直线l与圆M:(x-1)2+y2=9相交于A,C两点，过点E与l垂直的直线交圆M于B、 D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为
A. B. C. D. 12
9. 如果正整数M的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,则称M为“幸运数”，则四 位正整数中的“幸运数”共有
A. 45个 B. 41个 C. 40个 D. 38个
10. 已知函数f1(x)=x2-2|x|，f2(x)=x+2,设；,若 a，b∈[-2, 4],且当x1,x2时，恒成立，则b-a的最大值为
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若复数z满足z.i=1+2i(i为虚数单位)，则复数z=________
12. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=______.

13. 已知，则sinxcosx的值是______
14. 已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点，O、F分别为C的顶点和焦点，若，则k=______
15. 若数列{an}满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得am<n成立，记这样的m 的个数为,若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{}，我们把它叫做 数列{an}的“星数列”.已知对于任意的nN*, an=n2给出下列结论:
①数列{ }*的“星数列”的前100之和为5050;
②(a5)*=2;
③数列的前n2项和为2n2-3n+1;
④{an}的“星数列”的“星数列”的通项公式为＝n2
以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号）
三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小題满分12分）
绵阳某汽车销售店以8万元A辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得 出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，当每辆的售价每提 高1千元时，年销售量就减少2辆.
(I)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆？
(II)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品 牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万 元；若分4期或5期付款，其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车 情况进行了统计，统计结果如下表.

若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.

17. (本小题满分12分）
如图，已知平面PAB丄平面ABCD，且四边形ABCD是 矩形，AD : AB=3 : 2, ΔPAB为等边三角形，F是线段BC上的点且满足CF=2BF.
(I)证明：平面PAD丄平面PAB
(II)求直线DF与平面PAD的所成角的余弦值.

18. (本小题满分12分）
函数的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y=f(x)的 图象.
(I )求函数y=g(x)的解析式；
(II )在ΔABC中,它的三个内角满足，且其外接圆半径R=2,求ΔABC的面积的最大值.

19. (本小题满分12分）
已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8.
(I)求公差d的值;
(II )若a1=1，设Tn是数列的前n项和,求使不等式对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值；
(III)设bn=/若对任意的n∈N*，都有bn≤b4成立，求a1的取值范围.

20. (本小题满分13分）
已知椭圆C: 的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线 相切.A、B是椭圆的左右顶点，直线l 过B点且与x轴垂直，如图.
(I)求椭圆C的方程；
(II)若过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于P, Q两点，如果(O为坐标原点)，且满足，求实数t的取值范围.

21. (本小题满分14分）
已知函数. 的定义域为(0,+ ) (e是自然对数的底数).
(I)求函数y=f(x)在[m, m+2](m>0)的最小值;
(II)若x>1时，函数y=f(x)的图象总在函数的图象的上方，求 实数t的取值范围；
(III)求证：

绵阳市高2010级第三次诊断性考试
数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．
BDACA BCDBC
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．2-i 12．11 13． 14． 15．②④
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．
则由题意得年销售量为100-2x，
∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．
故当x=15时，y取最大值．
此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．
∴ 当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分
（Ⅱ）由图表可知，利润为2万元的有1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．
∴ P(X=0)=；
P(X=0．5)=；
P(X=1)=．
∴ X的分布列为：
X
0
0．5
1
P

∴ X的数学期望E(X)=×0+×0．5+×1=．
∴ X的数学期望为．………………………………………………………12分
17．解：（Ⅰ）取AB的中点为O，连接OP，
∵ △PAB为等边三角形，
∴ PO⊥AB．①
又平面PAB⊥平面ABCD，
∴ PO⊥平面ABCD，
∴ PO⊥AD．
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD⊥AB．②
∵ AB与PO交于点O，
由①②得：AD⊥平面PAB，
∴ 平面PAD⊥平面PAB． ……………………………………………………6分
（Ⅱ）以AB的中点O为原点，OB所在直线为x轴，过O平行于BC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2，AD=3，
∴ F(1，1，0)，A(-1，0，0)，P(0，0，)，D(-1，3，0)．
∴ =(2，-2，0)，=(1，0，)，=(0，3，0)，
C
D
P
F
A
B
z
可求得平面ADP的法向量n=(，0，-1)，
若直线DF与平面PAD的所成角为θ，则
sinθ=|cos<n，>|=，
又由图形可知，θ为锐角，
∴cosθ=．
∴直线DF与平面PAD的所成角的余弦值为． …………………………12分
18．解：（Ⅰ）由图知：，解得ω=2．
∵ ，
∴ ，即．
由，得．
∴ ．
∴ ，
即函数y=g(x)的解析式为g(x)=． ………………………………6分
（Ⅱ）∵ 2sin2=，
∴ 1-cos(A+B)=1+sin(2C+)，
∵ cos(A+B)=-cosC，sin(2C+)=cos2C，
于是上式变为cosC=cos2C，即cosC=2cos2C-1，整理得2cos2C-cosC-1=0，
解得cosC=或1（舍），
∴ C=．
由正弦定理得：=2R=4，解得c=2，
于是由余弦定理得：cosC==，
∴ a2+b2=12-ab≥2ab，
∴ ab≤4(当且仅当a=b时等号成立)．
∴ S△ABC=absinC=ab≤．
∴ △ABC的面积的最大值为． ………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，
解得d=2．……………………………………………………………………3分
（Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，
∴ =．
∴ Tn=
=
=≥，
又∵ 不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立，
∴ ≥，
化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．
∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………8分
（Ⅲ）由d=2，得 an=a1+2n-2，
又∵ =1+=，
又函数在和上分别是单调减函数，
且时y<1；时y>1．
∵ 对任意的n∈N*，都有bn≤b4成立，
∴ 3<<4，
解得-6<a1<-4，即a1的取值范围为(-6，-4)．……………………………12分
20．解：（Ⅰ）由题可得：e=．
∵ 以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切，
∴ =b，解得b=1．
再由 a2=b2+c2，可解得：a=2．
∴ 椭圆的标准方程为．……………………………………………5分
（Ⅱ）当直线的斜率为0时，=-4[，]，不成立；
∵ 直线的斜率不为0，设P(x1，y1)(y1>0)，Q(x2，y2)(y2<0)，
直线的方程可设为：x=my+1，
代入椭圆方程得：(m2+4)y2+2my-3=0
∴ y1+y2=，y1y2=，
而x1x2=(my1+1)(my2+1)=，
∴ =x1x2+y1y2=，
即≤≤，解得≤m2≤1；
∵ ；；
又∵ ，
∴

，
∴ 当≤m2≤1时，解得≤t≤．…………………………………13分
21．解：（Ⅰ）∵ =，
∴ 当2x-1>0，即x>时，>0，于是f (x)在上单调递增；
∴ 当2x-1<0，即x<时，<0，于是 (x)在上单调递减．
∵ m>0，∴ m+2>2．
①m≤≤m+2，即0<m≤时，
f (x)在(m，)上单减，在(，m+2)上单增，∴f (x)min=f ()=2e；
②当m>时，f (x)在[m，m+2]上单调递增，∴f (x)min=f (m)=；
∴ 综上所述：当0<m≤时，f (x)min=2e；当m>时，f (x)min=．
……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）构造F(x)=f (x)-g(x)(x>1)，
则由题意得F(x)=(x>1)，
==(x>1)，
①当t≤e2时，e2x-t≥0成立，则x>1时，≥0，
即F(x)在上单增，
∴ F(1)=e2-2t≥0，即t≤，故t≤．
②当t>e2时 ，=0得x=或lnt．
∴ F(x)在(1，lnt)上单减，在(lnt，+)上单增，
∴ F(x)min=F(lnt)=-2tln(lnt)-t<0．∴不成立．
∴ 综上所述：t≤．………………………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当x>0时，≥2e，
∴ ≤ (x>0)，
∴ ≤．
∴
≤
<
=
=
<．………………………………………………………………14分

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