第二章 投影法和三视图.doc

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2投影法和三视图
2.1体的三视图及其投影规律
2.
3.
3.1.
2.1.1常用的投影方法
在工程上常用各种投影方法绘制工程图，常用投影方法有中心投影法、平行投影法。
（1） 中心投影法
如图2-1-1所示的投影法中，所有的投影线都汇交于一点，称为中心投影法。中心投影法得到的物体的投影与投影中心、空间物体和投影面三者之间位置有关，投影不能反映物体的真实大小，但是图形富有立体感。因此，中心投影法通常用来绘制建筑物或富有逼真感的立体图，也称为透视图。

图2-1-1 中心投影法
（2） 平行投影法
如图2-1-2所示，投射线Aa、Bb、Cc是相互平行的，称为平行投影法。平行投影法又称为正投影法和斜投影法。

(a)正投影法 (b)斜投影法
图2-1-2 平行投影法
投射线垂直于投影面，为正投影法；投影线倾斜于投影面为斜投影法。在平行投影法中，如果平面与投影面平行，得到的投影就能反映平面的真实形状和大小并且投影同平面和投影面的距离无关。
2.1.2投影规律
在机械图中常用正投影法，它具有以下规律：
1. 真实性：当空间物体平行于投影面时，投影反映空间物体的实形。
2. 积聚性：当空间物体垂直于投影面时，投影积聚为直线和点。
3. 类似性：当空间物体倾斜于投影面时，投影与原图形类似。
2.2点的投影特性
点是组成形体的最基本的几何要素。
2.2.1点的单面投影（如图2-2-1所示）
设定投影面P，由一个空间点A做垂直于P面的投影线，相交于P面上一点a，点a就是空间点A在P面上的投影。由此可见：一个空间点在一个投影面上有唯一确定的投影。反之，如果已知点A在投影面P上的投影a，不能唯一地确定该点的空间位置，这是由于在从点A所做的P面的垂直线上所有各点的投影都位于a处。

图2-2-1 点的单面投影
由于单面投影不能够确定点的唯一位置，所以在工程上常把几何体想象成放在相互垂直的两个或两个以上投影面间，在投影面上形成的投影就是多面正投影。
2.2.2点的两面投影
（1） 两投影面体系的建立
相互垂直的正投影面V和水平投影面H它们相交投影轴OX，便组成了V、H投影面体系。在V、H投影面体系中有一个空间点A。采用正投影法，将空间点A分别向H和V面投射，得到点A的两个投影a和a’，如图2-2-2（a）所示，空间点A在水平投影面H上的投影称为水平投影，用相应的小写字母a表示；空间点A在正立投影面V上的投影称为正面投影，用相应的小写字母a’表示。规定：空间的点用大写字母表示，其投影用相应的小写字母表示。
投影线Aa和Aa’垂直相交，处于同一平面内，这说明根据点的两个投影a和a’就可以唯一的确定该点的空间位置。同时，由于两个投影面H和V相互垂直，可以建立笛卡尔坐标系，如图2-2-2所示。点A的正面投影a’反映了点A的x和z坐标，水平投影a反映了点A的x和y坐标，也就是说，知道了空间点A的两个投影a’、a，就确定了空间点A的三个坐标x、y、z，即唯一地确定了该点的空间位置。
2.1.
2.1.1
（2） 点的两面投影图的形成
如图2-2-2所示：为了把投影面H和投影面V及其投影a、a’同时绘制在一个平面上，使 V面保持不动，将H面绕OX轴按图示箭头方向旋转90 º，使它与V面展开在一个平面上，展开后得到点A的两面投影图，如图2-2-2（b）所示。由于投影面的边界大小与投影无关，所以通常在投影图上不画投影面的范围，如图2-2-2（c）所示。

图2-2-2 点的两面投影
（3） 点的两面投影图的性质
a) 点的投影连线垂直于投影轴：点的正面投影和水平投影的连线aa’垂直于对应
的投影轴OX，即aa’ ⊥OX。
b) 点的一个投影到投影轴的距离，等于该空间点到相邻投影面的距离：点A的
正面投影到OX轴的距离等于空间点到水平投影面H的距离，都反映点的z坐
标，即a’ax=Aa=z；点A的水平投影到OX的距离等于空间点到正立投影面V的
距离，都反映点的y坐标，即aax=Aa’=y。
1
2
2.1
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3点在三面投影体系中的投影
由点的两个投影可以确定唯一的点的空间位置。但对于复杂的集合形体，需要采用三个投影面上的投影才能够清楚的表达空间结构。
（1） 三投影面体系的建立
三投影面体系是在两投影面体系V、H面上再添加一个新的投影面W建立而成的，且三个投影面相互垂直。与正立投影面V和水平投影面H同时垂直的新投影面W称为侧立投影面简称侧面。点A在W面上的投影称为侧面投影，用a”表示。W与H面交线为OY轴，W与V面交线为Z轴，如图2-2-3（a）所示。
（2） 点的三面投影图的形成
将A在立体投影图进行操作：V面保持不动，将H、W面按图示方向展开，分别绕OX、OZ轴旋转90º，使它们与V面位于同一平面上，就得到了点A的三面投影图，如图2-2-3（c）所示。在投影过程中，OY被分为两处，随H面转动的称为OY，随W转动的称为OY1，如图2-2-3（b）所示。

(a)立体图 (b)投影面展开图 (c)投影图
图2-2-3 点的三面投影
（3） 点的三面投影性质
将一点A分别向相互垂直的V、H、W三个投影面投影，得到a’、a、a”三个投影，将其展开在同一平面上，便得到了点A的三面投影图，用ax、ayh、ayw、、az分别为点的投影连线同投影轴X、Y、Z的交点。
通过点的三面投影图形成过程我们可以看到：
1. 点的两面投影线，必定垂直于相应的投影轴，即：aa’ ⊥OX，a’a” ⊥OZ，而
aayh⊥OYH，a”ayw⊥OYW。
2. 点到投影轴的距离等于空间点到相应的投影面的距离，即：
a’ax=a”ay=a点到H面的距离aa；
aaX=a”aZ=a点到V面的距离aa’；
aaY=a’aZ=a点到W面的距离aa”；
点a坐标的规定书写形式为：a（X、Y、Z）。
通过投影的性质可知：已知点的任意两投影可求出它的第三个投影。
范例：已知m点的正面投影m’和侧面投影m”，求水平投影m。
解：作图过程如下：
（1） 过m’做m’x⊥OZ，如图2-2-4（a）所示；
（2） 过O点做45°辅助线；
（3） 过m”做OY1的垂线，与45°辅助线相交于b点，如图2-2-4（b）所示；
（4） 过交点b做OX的平行线与m’x线相交，交点即为水平投影m。

（a） （b）
图2-2-4
1.
2.
a)
b)
i.
ii.
iii.
2.2.4特殊位置点投影
空间点位于投影面或投影轴上称为特殊位置点。
（1） 位于投影面上的点
位于投影面上的点如图2-2-5中H投影面上的B点，具有如下性质：
（1） 点的两个投影在投影轴上；
（2） 点的另一个投影与空间点重合。

图2-2-5
（2） 位于投影轴上的点
如图2-2-6中Y轴上的C点，其所在轴相邻两平面上投影都与该点重合，另外一投影面上的投影位于原点。

图2-2-6
2.2.5两点位置关系
1. 两点的相对位置确定
在求点位置时可根据点的坐标来确定点位置，也可以根据欲求点与已知点的位置关系确定该点的位置。
如图2-2-7所示，两点间的坐标大小，根据规定：X坐标左为大、右为小；Y轴前为大、后为小；Z轴上为大、下为小。以A为基准判断A、B两点的空间位置关系:
b’在a’右侧，即XB<XA，表示点B在点A的右边，相对位置由正面和水平投影的X坐标差值Δx确定；
b在a的后边，即YB<YA表示点B在点A的后面，相对位置由水平和侧面投影的Y坐标差值Δy确定；
b’’在a’’的上侧，即ZB>ZA，表示点B在点A的上边，相对位置由正面和侧面投影的Z坐标差值Δz确定；
综合来看B点在A点的右后方。

图2-2-7
2. 重影点及其可见性判别
当空间两点的两个坐标相等时，这两个点处于某投影面的同一投影线上，两点在该投影面的投影重叠成一个点，称为重影点。沿着其投射方向观察两点则一个可见，另一个被前一点所遮挡，因而不可见。规定：凡不可见点用小括号“（）”括起来表示其不可见性。
如图2-2-8所示A、B两点处于同一水平面上，它们的x、z坐标相同，是重影点，有图可以判别A点处于B点后方所以点A在其正投影面上的投影为不可见，加（）表示其不可见性。

图2-2-8
2.3直线的投影特性
两点确定一直线。因此，直线的投影时由该直线上两点的投影确定的。直线的投影可归结为点的投影，只要找出直线上两个点的投影，就可以找到直线的位置。
2.3.1直线对一个投影面的投影特性
直线对一个投影面的相对位置有平行、垂直、倾斜三种情况，如图2-3-1所示。

（a）平行 （b）垂直 （c）倾斜
图2-3-1
1. 直线平行于投影面
如图2-3-1（a）所示，直线AB平行于投影面P，则直线AB在投影面P上的投影ab反映直线的实长，即AB=ab。
2. 直线垂直于投影面
如图2-3-1（b）所示，直线AB垂直于投影面P，则直线AB在投影面P上的投影ab积聚为一点。
3. 直线倾斜于投影面
如图2-3-1（c）所示，直线AB倾斜于投影面P，则直线AB在投影面P上的投影ab小于实长，ab=ABcosα（α为直线AB与投影面P的夹角）。
2.3.2直线在三维投影体系中的投影特性
（1） 一般位置直线
对于三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。
直线和投影面斜交时，直线和它在投影面上的投影所形成的锐角，叫做直线对投影面的倾角。规定：一般以α、β、γ分别表示直线对H、V、W面的倾角，直线AB对H面的倾角为α，故水平投影ab=ABcosα；直线AB对V面的倾角为α，故水平投影a’b’=ABcosβ；直线AB对W面的倾角为γ，故水平投影a”b”=ABcosγ。直线AB为一般位置直线时它在各个面上的投影都小于实长，如图2-3-2所示。

图2-3-2 一般位置直线
（2） 投影面平行线
平行于一个投影面而对邻位两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。它有三种形式，即水平线（∥H面）、正平线（∥V面）和侧平线（∥W面），如表2-1所示。
表2-1 投影面平行线的名称、空间位置及投影特性
名称
直观图
投影图
投影特性

水平线
（∥H面）

ab=AB
a’b’ ∥OX
a”b” ∥OY1
反映β、γ

正平面
（∥V面）

a’b’=AB
ab∥OX
a”b” ∥OZ
反映α、γ

侧平面
（∥W面）

a”b”=AB
ab∥OY1
a’b’ ∥OZ
反映α、β

以正平线为例说明：
AB∥V面，所以在V面上的投影a’b’=AB，即正面投影反映实长；
实长投影a’b’于OX轴的夹角α等于直线AB对H面的倾角，a’b’于OZ轴夹角γ等于直线AB对W面的倾角；由于YA=YB则ab∥OX，a”b”∥OZ，即水平投影和侧面投影平行于相应的投影轴。
投影面平行线具有共性如下：
1. 直线在它所平行的投影面上的投影反映实长。
2. 直线的其他两够投影平行于相应的投影轴。
3. 反映直线实长的投影于投影轴的夹角等于直线对相应投影面的倾角。
反之，如果直线的三个投影于投影轴的关系是一斜两平行，则其必定是投影面平行线。
（3） 投影面垂直线
垂直于一个投影面而同时平行于其他两个投影面的直线称为投影面垂直线，他有三种形式：铅垂线（⊥H面）、正垂线（⊥V面）、侧垂线（⊥W面），如表2-2所示。
表2-2 投影面垂直线的名称、空间位置及投影特性
名称
直观图
投影图
投影特性

铅
垂
线

ab积聚为一点；
a’b’ ⊥OX；
a”b” ⊥OY1；
a’b’= a”b”=AB反映实形

正
垂
线

a’b’积聚为一点；
ab⊥OX；
a”b” ⊥OZ；
ab= a”b”=AB反映实形

侧
垂
线

a”b”积聚为一点；
ab⊥OY；
a’b’⊥OZ；
ab=a’b’ =AB反映实形

以铅垂线为例进行投影：
因直线AB⊥H面，HA=HB，故水平投影ab积聚成一点。又因直线AB∥V面、AB∥W面，故a’b’=AB=a”b”，且a’b’ ⊥OX，a”b” ⊥OY1。
对于正垂线及侧垂线做同样的分析，可得出类似的投影特性。
1. 直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点。
2. 直线在其他两个方向的投影反应其实长，且垂直于相应的投影轴。
反之，如果直线的一个投影是点，则直线必定是该投影面的垂直线。
2.3.3 一般位置线段的实长与其投影面夹角
一般位置投影无法反映直线实形和投影面倾角，我们不能够从三投影中直接得到它的长度和投影面倾角，那么如何求一般位置线段的实长及其与投影面的夹角呢？工程上一般用直角三角形法。
立体图中可看出直角三角形法的构成，在投影图上可图解线段实长及α、β、γ。
如图2-3-3所示，求线段实长及对H面的夹角α，步骤如下：
（1） 以水平投影ab为一条直角边；
（2） 以AB两端点到水平投影面H的距离差|ZB-ZA|作另一直角边，使bB1=b’c’；
（3） 连接aB1，作出直角三角形。
在直角三角形abB1中，斜边aB1即为直线AB实长，∠baB1为直线AB对水平投影面H的夹角α。

(a)立体图 (b)作图
图2-3-3
2.3.4直线上的点
直线上的点特性
1. 直线上点的各投影，必在直线的同面投影上。反之，如果一个点的各个投影分别在某一直线的同面投影上，则该点一定是直线上的点，如图2-3-4所示。
2. 直线上的点分线段成比例：属于直线的点，分线段之比等于其投影分线段投影之比。

图2-3-4
范例：已知直线AB及S点的正面投影和水平投影，判断S点是否位于AB直线上。
题解方法如下，如图2-3-5所示：

题目 法一 法二
图2-3-5
1. 法一：
原理：直线上点的各投影，必在直线的同面投影上。
a) 创建坐标系Y、Y1，并过O点做45 º辅助线；
b) 在坐标系上，做AB在侧面投影a”b”;
c) 做s点在侧面上的投影s”；
完成后若s”同时和a”b”直线重合则证明S在AB上，若不重合则证明明S不在AB上。
2. 法二：
原理：点分线段及其投影成比例。
a) 过a点做任意方向辅助线，在该线段上截取两点s0和b0使a0s0=a’s’、 s0 b0=s’ b’；
b) 连接bb0，过s0做bb0的平行线，交于ab上一点。
此时所做点若与s重合则为AB上的点，若不重合则非AB上的点。
2.3.5两直线的位置关系
空间两直线有三种位置关系：平行、相交、交叉（既不平行也不相交）
1. 平行两直线
定义：若两直线平行，则其各同名投影必平行。反之，若两直线各同名投影都平行，则该两直线平行。
一般位置直线只看两面投影是否平行即可判定，如图2-3-6（a）所示。若两线都是某个投影面的平行线时，则要检查两直线在该投影面上的投影是否平行，如图2-3-6（b）所示。

图2-3-6
2. 相交两直线
相交两直线其各同名投影必相交 ，且交点同属于两直线（符合点的投影规律）。反之，若两直线其各同名投影都相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线相交。如图2-3-7（a）两直线相交，如图2-3-7（b）两直线不相交。

图2-3-7
3. 既不平行又不相交的两直线为交叉两直线。
判定交叉两直线的方法：不符合平行、相交条件的两直线即可判为是交叉两直线，如图2-3-8所示。

图2-3-8
重影点：交叉两直线同名投影的交点为对该投影面的一对重影点。其判定如下：
H投影：在上面（Z坐标大）可见，在下面（Z坐标小）不可见。
V投影：在前面（Y坐标大）可见，在后面（Y坐标小）不可见。
如图2-3-9所示为交叉两直线，它们的水平投影上的投影cd和ef交于一点ab，即为交叉两直线对H面的一对重影点A、B的水平投影。由ab作投影连线垂直于OX轴，点A属于直线CD，点B属于直线EF，可以看到A点比B点高。故可判定直线CD上点A的水平投影可见，直线EF上B点的水平投影不可见，用“a(b)”表示。

图2-3-9
2.3.6直角投影定理
直角投影定理：空间两直线相互垂直时，如果两直线同时平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影不是直角；若其中的一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影仍是直角。
1. 垂直相交两直线的投影
定理Ⅰ： 垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
证明如下：如图2-3-10所示，设相交两直线AB⊥AC，且AB∥H面，AC不平行H面。显然，直线AB垂直于平面AacC（因AB⊥Aa，AB⊥AC）。今ab∥AB，则ab⊥平面AacC，因此ab⊥ac，亦即∠bac＝90°。
它们的投影图，其中a'b' ∥OX轴（AB为水平线），∠bac＝90°。

图2-3-10 直角投影定理
定理Ⅱ（逆）：相交两直线在同一投影面上的投影成直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角，如图2-3-11所示。

图2-3-11
2. 交叉垂直两直线的投影
定理Ⅲ：互相垂直交叉的两直线，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
证明如下：如图2-3-12（a）所示 ，设交叉两直线AB⊥MN ，且AB∥H面，MN不平行H面。过直线AB上任一点A作直线AC∥MN, 则AC⊥AB。由定理知，ab⊥ac。今AC∥MN,则其投影ac∥mn。故ab⊥mn。图 2-3-12（b）是它们的投影图，其中a'b'∥OX轴(AB为水平线)，ab⊥mn 。

图2-3-12
定理Ⅳ（逆）：交叉两直线在同一投影面上的投影成直角，且有一条直线平行于该投影面，则两直线的夹角必是直角。
范例：已知直线EF及点A的正面投影和水平投影，试过A点做一直线AB使AB⊥EF。
解：
a) 过点A作一正平线AB，使ab∥OX轴；
b) 做AB的正视图使a’b’⊥e’f’。如图2-3-13所示。

图2-3-13
范例：已知水平线AB及正平线CD，过定点S作它们的公垂线。
解：过点S的水平投影s作sl⊥ab， 过点S的正面投影s'作s'l'⊥c'd'。SL即为所求的公垂线。因为根据定理IV,必有SL⊥AB及SL⊥CD，如图2-3-14所示。

图2-3-14
2.4平面的投影
2.4.1平面的表示方法
在投影中平面的表示方法有两种：几何元素表示法和迹线表示法。
1. 几何表示法
由初等几何知道，不属于同一直线的三点确定一平面。根据几何原理也可转换为：一直线及直线外一点；相交两直线；平行两直线或任何一平面图形来确定平面。因此，可以用下列任一组几何元素的投影表示平面的投影，如图2-4-1所示。
（a）不属于同一直线的三点；
（b）一直线和不属于该直线的一点；
（c）相交两直线；
（d）平行两直线；
（e）任一平面图形。

图2-4-1
2. 迹线表示法
空间的平面与投影面的交线称为平面的轨迹。平面与V面的交线称为正面轨迹，用Pv表示；平面与H面的交线称为水平轨迹，用PH表示。既然轨迹PV和PH 是属于平面P的两条直线，所以也可以用来表示平面。迹线在投影图上的位置形象地反映了该平面对投影面的倾斜状况，如图2-4-2所示。

(a)空间图 (b) 表示法
图2-4-2
（1）
（2）
a)
b)
c)
d)
i.
2.4.2平面的投影特性
在三投影面体系中，平面按其与投影面的相对，可以分为三类（如图2-4-3所示）：
1 一般位置平面；
2 投影面垂直面：垂直于一个投影面的平面；
3 投影面平行面：平行于一个投影面的平面。
后两类统称为特殊位置的平面。

一般位置平面 投影面垂直面 投影面平行面
图2-4-3
1. 一般位置平面
相对于三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图2-4-4所示。
投影面形状与原平面形状类似。但不能够反应真实尺寸，而比实形要小。

立体图 投影图
图2-4-4
2. 投影面垂直面
垂直于投影面而对其他两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。垂直面分为三种：
（1） 铅垂面：垂直于水平面的平面；
（2） 正垂面：垂直于正面的平面；
（3） 侧垂面：垂直于侧面的平面。
以铅垂面为例说明它的性质（如图2-4-5所示）：

图2-4-5
三角形ABC的给定的铅垂面，它具有下列质：
a) 铅垂面垂直于水平面，其水平投影积聚为一直线。属于铅垂面的所有点、线的
水平投影都属于此积聚性直线。
b) 铅垂面的水平投影和它的水平迹线相重合，水平迹线有积聚性。
c) 铅垂面的水平投影与OX轴的交角，反映该平面对V面的角度β；铅垂面的水
平投影与OY轴的交角，反映该平面对W面的角度γ。
d) 铅垂面倾斜于正投影面和側投影面，所以铅垂面的正面投影和側面投影有类
性。
正垂面和侧垂面与它的性质类似，见表2-3：
表2-3 投影面垂直面垂直面的名称、空间位置及投影特性
名称
直观图
投影图
投影特性
铅垂面（⊥H面）

H面投影积聚成一直线；
反映与V、W面的倾角β、γ。
其余两投影为面积缩小的类似形。
正垂面
（⊥V面）

V面投影积聚成一直线
反映与H、W面的倾角α、γ；
其余两投影为面积缩小的类似形。
侧垂面（⊥W面

W面投影积聚成一直线；
反映与H、V面的倾角α、β。
其余两投影为面积缩小的类似形。
3. 投影面平行面
投影面平行面：平行于一个投影面，而垂直于另外两个投影面的平面。
（1） 水平面：平行于水平面H的平面；
（2） 正平面：平行于正面V的平面；
（3） 侧平面：平行于侧面W的平面。
以正平面为例说明它的性质(如图2-4-6所示)：
由于ABC平面平行于V面，垂直于H面和W面，所以其正面投影a’b’c’反应起实际形状，水平投影abc和侧面投影a”b”c”均积聚成直线，且分别平行于OX轴、OZ轴。即它具有如下性质：
（1） 正平面平行于正投影面，其正面投影反映实形；
（2） 正平面上的一切点、线、图形，其正面投影反映；
（3） 正平面垂直于水平投影面和側投影面，所以正平面的水平投影和侧面投影各积
聚为一直线，且分别平行于投影轴OX和OZ。（具有积聚性）；
（4） 正平面的水平投影和侧面投影分别和它的水平轨迹和侧面轨迹相重合。
正平面和侧平面也由类似特性，如表2-4所示：

图2-4-6

表2-4 投影面平行面垂直面的名称、空间位置及投影特性
名称
直观图
投影图
投影特性
水平面
（∥H面）

H面投影反映真形；
V面投影、W面投影积聚成直线， 分别平行于投影轴OX、OY1
正平面
（∥V面）

V面投影反映真形；
H面投影、W面投影积聚成直线，分别平行于投影轴OX、OZ。
侧平面
（∥W面）

W面投影反映真形；
V面投影、H面投影积聚成直线，分别平行于投影轴OZ、OYH。

2.4.3平面上的点和直线
1. 属于一般位置平面的点和线
（1） 取属于平面的点,如图2-4-7所示
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线。

图2-4-7
（2） 取属于平面的直线，如图2-4-8所示。
取属于给定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点且平行于属于该平面的一已知直线。
范例：已知相交两直线AB和BC给定一平面，试取属于该平面的任意两直线.

图2-4-8 平面上取两点

图2-4-9 过平面上一点作已知直线的平行线
（3） 取属于平面的投影面平行线，如图2-4-9所示。
属于平面的投影面平行线，即具有投影面平行线的投影特性，又具有平面上直线的投影特性。
范例：在平面ABC上做一水平线AE。

图2-4-10
解：
a) 过a’点做一水平线a’e’交b’c’于e’；
b) 过e’做竖直线交bc于e；
c) 连接ae即为平面ABC上一水平线，如图2-4-10所示。
2. 过已知直线做平面
3. 过一般位置直线做平面
过已知直线做平面，可以做无数个平面，如图2-4-11所示，过直线AB做一般位置平面ABC。
(a)已知 (b)一般位置直线 (c)正垂面 (d)铅垂面
图2-4-11
1. 过特殊位置直线做平面
范例：试过铅垂线AB可以做一平面。经过空间分析可知，过铅垂线AB可作一个正平面P，一个侧平面Q，并可作无穷多个铅垂面，如图2-4-12所示。

(a)已知 (b)正垂面 (c)侧垂面 (d)铅垂面
图2-4-12
4. 平面的最大斜度线
1. 最大斜度线的定义
属于平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为该平面的最大斜度线。它既属于该平面，又垂直于它的投影面平行线的直线。
平面上垂直于水平线的直线，称为对水平投影面的最大斜度线。
平面上垂直于正平线的直线，称为对正立投影面的最大斜度线。
平面上垂直于侧平线的直线，称为对侧立投影面的最大斜度线。

图2-4-13
范例：ΔABC为给定平面，做该平面对H面的最大斜度线。步骤如下：
a) 在平面ABC上做一水平线CD；
b) 根据直角投影定理，在平面上做CD的垂线AE。
AE即为平面ABC对H面的最大斜度线。
2. 最大斜度线对投影面的角度最大，且最大斜度线与投影面的夹角等于该平面与投影面的夹角。
如图2-4-13所示，不难证明出α1<α。且平面P与H面所成的两面角α，即为最大斜度线AD与H面的夹角
范例：试过水平线AB作一与H面成30°夹角的平面。解题步骤如下：

(a)已知 (b)作图
图2-4-14
解：因平面对H面的最大斜度线与H面的夹角反映该平面与H面的夹角，又因定平面对H面的最大斜度线相互平行。故只要作出任意一条与已知水平线AB垂直相交，且与H面成30的最大斜度线，则问题得解，如图2-4-14所示。
1 过ab上任意一点做线段cd，使ab⊥cd；
2 过d点取d1，使d1与dc夹角为30 º；
3 做c’点，取d’使其到a’b’的距离等于c1；
4 连接c’d’点，直线AB与CD交叉形成平面。
2.5直线与平面、平面与平面的相对位置
直线与平面之间和两平面之间的相对位置可分为平行、相交及垂直三种情况。本章重点讨论下述三个问题:
1. 平行问题：在投影图上如何绘制及判别直线与平面平行和两平面平行的问题。
2. 相交问题：在投影图上如何求出直线与平面的交点和平面与平面之间的交线。
3. 垂直问题：在投影图上如何绘制法线或垂直面，并判别直线与平面垂直和两平面垂直的问题。
2.5.1直线与平面，两平面平行
1. 直线与平面平行
若一直线平行于属于该平面的一直线，则直线与该平面平行。如图2-5-1所示，CD∥P，若AB∥CD，则AB∥P。

图2-5-1 直线与平面平行
范例：试判断已知直线DE是否平行于定平面ABC。

(a)已知 (b)作图
图2-5-2
解：
a) 在abc平面上取一直线mn使mn∥de；
b) 做MN在V面上的投影m’n’；
m’n’不平行于d’e’，所以DE与平面ABC不平行，如图2-5-2所示。
2. 平面与平面平行
如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面的两条相交直线，则此两平面平行。
如图2-5-3说明，两对相交直线AB、BC和DE、EF分别属于平面P和Q，且它们对应平行，则平面P和平面Q相互平行。

图2-5-3 平面与平面平行
范例：过点D 作平面∥△ABC。

(a)已知 (b)作图
图2-5-4
解：
a) 过d’点做d’e’∥a’c’，做E点在H面投影de∥ac；
b) 过d’点做d’f’∥a’b’，做E点在H面投影df∥ab。
此时DE、DF所确定平面与原三角形平面平行，如图2-5-4所示。
2.5.2直线与平面相交、两直线相交
直线和平面相交只有一个交点，它是直线和平面的共有点。它既属于直线，又属于平面。
　　两平面的交线是一直线，这条直线为两平面所共有。欲找出这一直线的位置，只要找出属于它的两点（或找出一点和交线的方向）即可。
1. 直线与特殊位置平面相交
利用特殊位置平面的投影具有积聚性的特点，可在投影图上直接求出交点。
范例：求直线MN 与平面ABC 的交点。
解：
a) 确定水平投影交点k；
b) 在m’n’上求出交点k’，则K点确定为直线MN与平面ABC交点；
c) 判断可见性：图中K是直线MN和△ABC的交点。为了使图形层次分明ΔABC遮住部分用虚线表示。交点K是直线MN可见部分和不可见部分分界线。过a’c’、m’n’交点向H坐标画线，判断此处mn在前、ac在后，所以k点右侧为mn可见部分，如图2-5-5所示。

图2-5-5
2. 一般位置平面与特殊位置平面相交
当两平面之一为特殊位置时，可利用投影的积聚性直接求得两个共有点，连接此两点即为两平面的交线，交线的另一个投影可由一般位置平面的两个边线与平面有积聚性投影的交点的投影连线求得。
范例：平面△ABC为投影面平行面与一般位置平面△DEF相交，求交线并判别可见性。

(a)已知 (b)作图
图2-5-6
解：因为△ABC为水平面，其正面投影有积聚性，说明两平面交线的正面投影必在a'b'c'上。但交线又是△DEF内的一条直线，水平投影必在△d'e'f '上，所以交线的正面投影m'n'为△DEF的DE、EF的正面投影d'f '、e'f '与△ABC的正面投影的两交点，由m'n'求出m、n。
判别可见性：
判别可见性时应注意两点：① 交线是可见与不可见的分界线；② 在同面投影中，只有两个图形的重叠部分才存在判别问题，凡不重叠部分都是可见的。
因为V面m'n'f '在△a'b'c'的上方，所以mnf 可见，demn被△ABC遮挡部分为不可见，不可见部分画虚线，如图2-5-6所示。
3. 直线与一般位置平面相交
由于一般位置平面的投影没有积聚性，所以当直线与一般位置平面相交时，不能在投影图上直接定出交点，必须采用辅助平面作图求得。
范例：求出图中直线AB与平面△DEF的交点。
a) 包含直线DE作任意辅助面Rv（Rv⊥V）。其正面轨迹RH与ab重合，如图2-5-7（c）；
b) 求面Rv和平面△DEF的交线MN（mn，m'n'），如图2-5-7（d）；
c) 求出MN和AB的交点K（k，k'），如图2-5-7（e）即为所求；
d) 判断可见性，3’在4’上方，所以3可见，4不可见，1在2下方，所以1’可见，2’不可见。

图2-5-7
4. 平面与一般位置平面相交
因为两一般位置平面的投影（或迹线）均无积聚性，所以它们相交时，不能直接确定交线的投影，而要通过辅助作图才能求得。
（1） 利用“直线与一般位置平面求交点“的方法求两平面的交线。
由于某一平面上的直线对另一平面的交点必为两平面的共有点，即交线上的一点。所以只要求出两个交点并连接其同面投影，即得两平面交线投影。图2-5-8（a）所示为△ABC和平面△DEF相交。两三角形共有六条边，从图中可以看出，AB，BC和EF三边在两个三角形的有限范围内没有交点，因此可在其余三边中确定两边（如DE和DF），并求得它们与平面△ABC的两个交点，连线即为两平面的交线。其作图步骤如下图2-5-8（b）所示。

图2-5-8
（1） 包含直线DE作辅助正垂R，并与平面△ABC的交于直线ⅠⅡ。ⅠⅡ与DE相交于点N，点N（n,n'）即为交线的一个端点；
（2） 包含直线DF作辅助正垂面Q，同样可求出DF与平面△ABC的交点M，点M（m，m'）即为交线的另一端。
（3） 连接MN（mn，m'n'）即为所求之交线。
（4） 关于两重影部分的可见性，如图2-5-8（c）所示。图中通过Ⅲ，Ⅳ(3,4)两点判别水平投影中的可见性，通过Ⅴ，Ⅵ(5,6)两点判别正面投影中的可见性。
（2） 利用“三面共点”的方法求两平面的交线。
在图中两平面△ABC与△DEF在有限范围内不相交。为了求出它们的交线，可作辅助平面P与两平面分别相交于1,2和3,4，由于这两条交线在同一平面内，因此将它们延长后一定相交于一点M，且点M必为平面△ABC与△DEF的共有点。用同样的方法再作辅助平面Q，可求出另一共有点N。连接直线MN即为所求的交线。其投影图的作法如图2-5-9所示。MN为两平面扩大后的交线位置，故不必判别投影的可见性。

图2-5-9
5. 相交平面可见性判别

图2-5-10
以交线为分界线一侧可见另外一侧则不可见，判断相交平面的可见性，只需在每个投影点上选择一对重影点进行判断，如图所示在水平投影上选择3（4）可判断出AB在DF上方，直线DF被ΔABC遮住部分看不见；在正面投影上通过重影点5’（6’）判断DF在BC前面，BC被三角形ΔDEF遮住部分看不见，如图2-5-10所示。
2.5.3直线与平面垂直、两平面垂直
1. 直线与平面垂直
垂直于平面的直线，称为该平面的法线或垂线。下面重点讨论如何在投影上确定平面的法线及直线与平面垂直的投影特性。
定理：若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面正平线的正面投影。
逆定理：若一直线的水平投影垂直于属于给定平面的水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于属于该平面正平线的正面投影，则此直线垂直于该平面。
如图2-5-11所示，直线与平面垂直：

（a）立体图

（b）投影图
图2-5-11
范例：平面由△ABC给定，过定点S作平面的法线SF。
原理：若直线垂直于平面上的两相交直线，则直线垂直于该平面。

图2-5-12