神奇的旋转.pdf

数学活动课程讲座 神 奇 的 旋 转周 春 荔(首都师范大学数学系,100037)收稿日期:2004-11-23(本讲适合初中)将平面图形F绕该平面内的一个定点O按一定方向旋转一个定角,得到平面图形F,这样的变换称为旋转变换.O叫做旋转中心,叫做旋转角.旋转角为180 的旋转变换是中心对称变换.旋转变换前后的图形具有如下性质:(1)对应线段相等,对应角相等;(2)对应点位置的排列次序相同;(3)任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角;(4)旋转中心O是旋转变换下的不动点.图1通 过 图1看到,点A逆时针旋转到A1,点B逆时针旋转到B1,则直线AB在逆时针旋转的变换下变为直线A1B1.设直线AB与直线A1B1的交点为P,则易证OABOA1B1.推得线段AB=A1B1,BPB1=,即从直线AB到直线A1B1所夹的角等于旋转角.旋转变换在平面几何中有着广泛的应用,特别是在解(证)有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,更是经常用到的思维途径.例1 在边长为1的正方形ABCD的边AB上取点P,边BC上取点Q,边CD上取点M,边AD上取点N.如果AP+AN+CQ+CM=2,求证:PMQN.分析:直接证明PMQN有困难,可设想将QN旋转90 成一新的直线Q1N1,只须证明PMQ1N1即可.图2证明:如图2,将正方形ABCD绕点A顺时针旋 转90,则 正 方 形ABCD变 到 正 方 形ADC1D1的位置.其中AA,BD,QQ1,CC1,DD1,NN1,直线QNQ1N1.因此,QNQ1N1.显然,AN=AN1,CQ=C1Q1,则PN1=AP+AN1=AP+AN=2-(CM+CQ)=CC1-(CM+C1Q1)=MQ1.又PN1MQ1,所以,四边形PMQ1N1是平行四边形.故PMN1Q1.因此,PMQN.例2P为正 ABC内一点,APB=113,APC=123.求证:以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形,并确定所构成的三角形的各内角的度数.分析:要判断线段AP、BP、CP可以构成一个三角形的三边,通常采用判定其中任两条线段之和大于另外一条线段的方法.然而,如何求所构成的三角形各内角的度数,又会使你束手无策.怎么办?如果以点C为中2中 等 数 学 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/心,将 APC逆时针旋转60,点A变到点B,线段CA变到CB,点P变到点P1,奇迹发生了.图3证明:如图3,以点C为中心,将APC逆时针旋转60.因为AC=BC,ACP=BCP1=60-PCB,CP=CP1,且 PCP1=60,所以,APCBP1C.故AP=BP1,BP1C=APC=123.由CP=CP1,PCP1=60,知 PCP1为等边三角形.所以,PP1=CP,CPP1=CP1P=60.这时,BPP1就是以BP、AP(=BP1)、CP(=PP1)为三边构成的三角形.易知BP1P=BP1C-CP1P=APC-60=63.又 BPC=360-113-123=124,所以,BPP1=BPC-CPP1=64.因此,PBP1=180-63-64=53.说明:通过绕定点C将 APC逆时针旋转60 形成新的构图,将线段AP、BP、CP相对集中,直观地证明了以这三条线段为边的三角形(BPP1)是存在的,且易算出其三个内角的度数分别是63、64、53.例31张斜边长为29的红色直角三角形纸片,1张斜边长为49的蓝色直角三角形图4纸片,1张黄色的正方形纸片,拼成一个如 图4的直角三角形.问:红、蓝2张三角形纸片面积之和是多少?试说明理由.(第7届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛(口试)分析:直接分别计算红、蓝两个直角三角形面积,会遇到困难.因此,整体综合考虑.图5解:如图5,将RtBDE绕点D逆时针旋转90,由于DE=DF,显然,点E与点F重合.由 DEB=90=DFC,则EB沿FC落下,点B落在FC上 的 点G处.此 时,RtBDE变 到RtDFG的位置,DB变到DG的位置.有DG=DB=29,ADG=ADF+FDG=ADF+BDE=180-EDF=180-90=90.此时,RtADG的面积就等于红、蓝两个直角三角形的面积之和.因为SADG=12ADDG=124929=1 4212=710.5,因此,图中红、蓝两个直角三角形的面积之和为710.5.例4 如图6,以 ABC的边AB、AC为边向形外作正方形ABDE与正方形CAFG.联结EF,过点A作BC的垂线,交EF于点M.求证:EM=FM.图6图7证明:如图7,将 ABC绕点A顺时针旋转90 到 AEC1的位置.易知C1、A、F三点共线,AC1=AF,A是 FEC1边C1F的中点.易见,EAM与 BAH互余,ABH与32005年第6期 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/BAH互余.所以,EAM=ABH.但 AEC1是 ABH绕点A顺时针旋转90 所到的位置,则有 AEC1=ABH.所以,AEC1=EAM.故AMEC1.根据三角形中位线定理,得ME=MF.图8例5 如图8,在 四 边 形ABCD中,ABC=30,ADC=60,AD=DC.证明:BD2=AB2+BC2.分析:要证BD2=AB2+BC2,想到用勾股定理.由于BD、AB、BC不在一个三角形中,所以,应设法通过图形变化,使其集中在一个三角形中,且这个三角形是直角三角形.图9证明:如图9,联结AC.因为AD=DC,ADC=60,所 以,ADC是 正 三角形.于是,有DC=CA=AD.将DCB绕点C顺 时 针 旋 转60 到ACE的位置,联结EB.这时,DB=AE,CB=CE,BCE=ACE-ACB图10=BCD-ACB=ACD=60,所以,CBE为正三角形.有BE=BC,CBE=60.因此,ABE=ABC+CBE=90.在RtABE中,由勾股定理,得AE2=AB2+BC2.所以,BD2=AB2+BC2.例6如图10,在 ABC中,AB=AC,BAC=120,ADE是正三角形,点D在边BC上.已知BDDC=23.当 ABC的面积是50 cm2时,求 ADE的面积.(第7届日本算术奥林匹克(决赛)图11分析:直 接解题有困难,将ABC绕点A逆时针旋转120、240 拼 成 正MBC(如图11),则正 ADE变为正 AD1E1和正AD2E2.易知,六边形DED1E1D2E2是正六边 形,DD1D2是 正 三 角 形,其 面 积 是ADE面积的3倍.因此,设法由正 MBC面积为150,求出 DD1D2的面积,问题就解决了.解:注意到BDDC=CD1D1M=MD2D2B=23.联结DM,则SMBD=25SMBC=60(cm2).而SD2BD=35SMBD=36(cm2).同理可得SMD1D2=SDCD1=36(cm2).因此,SDD1D2=150-336=42(cm2).故SADE=13SDD1D2=14(cm2).图12例7 如图12,在凸六边形ABCDEF中,BC=CD,EF=FA,BCD=EFA=60.设G、H是这个六边形内的两点,使得 BGD=AHE=120.求证:BG+GD+GH+HA+HECF.分 析:联 结CG、FH.易得CG+GH+HFCF.要证BG+GD+GH+HA+HECF,只须证BG+GDCG,HA+HEHF.证明:联结BD、EA.由BC=CD,BCD4中 等 数 学 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/=60,知 BCD是正三角形.因为 BGD=120,所以,B、C、D、G四点共圆.因此,BCG=BDG.以点B为旋转中心,将 BCG顺时针旋转60,CD,GM,BCG与 BDG重合,BCG落到 BDM的位置,即 BCGBDM.易知 BGM是正三角形.所以,MG=BG.因此,BG+GD=MG+GD=DM=CG.同理,以点E为旋转中心,将 EFH顺时针旋转60,EFH落到 EAN的位置,即EFHEAN.可得HA+HE=HF.由线段的性质得CG+GH+HFCF.将式、代入式 得BG+GD+GH+HA+HECF.图形旋转,奇妙无穷.有时,在解题中也可以多种变换联合使用.如下面的例8.例8 如图13,在凸六边形ABCDEF中,AB=BC=CD,DE=EF=FA,BCD=EFA=60.设G、H是这个六边形内的两点,使得 AGB=DHE=120.求证:AG+GB+GH+DH+HECF.图13(第38届IMO)其实,只要作六边形ABCDEF关于BE所在直线l的轴对称六边形DBC1AEF1的图形,根据例7的结果,有AG+GB+GH+DH+HEC1F1.注意到C1F1=CF,所以,AG+GB+GH+DH+HECF.多么简洁美妙的思路呀!包括旋转在内的几何变换是一种思维的艺术,用它来思考几何问题会使你体会到心灵的智巧,领悟到理性的力量.希望数学爱好者能学好并掌握这种几何变换的艺术.练 习 题1.在四边形ABCD中,ADC=ABC=90,AD=CD,DPAB于P.若DP=7,求四边形ABCD的面积.(提示:仿例3,S四边形ABCD=72=49.)2.P为等边 ABC内一点,已知PA=3,PB=4,PC=5.求 APB的度数,并简述你的理由.(提示:仿例2,APB=150.)3.在五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,ABC+AED=180,联结AD.求证:AD平分CDE.(提示:将 ADE顺时针旋转,使AE与AB重合.)4.在凸四边形ABCD中,BAD=120,BC=CD=BD.求证:(1)AC平分 BAD;(2)AC=AB+AD.(提示:仿例7可证.)5.已知点O是凸四边形ABCD内一点,AOB=COD=120,AO=OB,且CO=OD,K为AB的中点,L为BC的中点,M为CD的中点.求证:K LM是正三角形.(提示:AOC绕点O逆时针旋转120,即与BOD重合,知AC=BD,AC与BD的夹角为60.又K L12AC,LM12BO,故 K LM是正三角形.)52005年第6期 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/