概率论重点及课后题答案9.docx

第九章 假设检验
一、大纲要求
(1)理解假设检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误。
(2)了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.
二、重点知识结构图
第一类错误：为真拒绝
第二类错误：为假接受
1.提出假设
2.找统计量
3.求临界值
4.求观察值
5.作出判断
检验法
检验法
检验法
检验法
假
设
检
验

基本步骤

两类错误

正态总体的均值

和方差的检验

三、基本知识
1.假设检验的几个术语
定义1 给定,不等式确定了关于的一个区域

当落入此区域内，就拒绝 (接受),称上式这类区域为的拒绝域,记为.
不等式确定了关于的另外一个区域

当落入此区域内，就接受 (拒绝),称上类区域为接受域,记为.
不等式称为临界值形式的接受域, 称为区间形式的接受域.
定义2 称为原假设(或零假设),称为备择假设(或备选假设、对立假设).
定义3 称允许作判断有错误的概率为显著性水平(或检验水平),它是用来衡量原假设与实际情况差异是否明显的标准.
定义4 称为临界值
小概率原理:小概率事件在一次试验中是不大会发生的.

2.假设检验的两类错误
第一类错误: 正确,但拒绝了它,这类错误称为“弃真错误”.
第二类错误: 不正确,但接受了它,这类错误称为“存伪错误”.

3.假设检验的基本步骤
(1)提出假设;
(2)找统计量(这里要求该统计量含有待检验的参数);
(3)求临界值(求接受域);
(4)求观察值;
(5)作出判断.

4.检验法
已知方差,假设检验.
(1)提出假设.
(2)找统计量.确定样本函数: ,称其为的统计量,它含有待检验参数.
(3)求临界值.给定显著性水平,查正态分布表求出临界值,使,即.
(4)求观察值.根据给定的样本求出统计量的观察值.
(5)作出判断.若,则接受;若,则拒绝.

5.检验法
未知方差,假设检验.
(1)提出假设.
(2)找统计量.因为未知,这时已不是统计量,所以不能用检验法,这里用来代替,找出统计量: .
(3)求临界值.对给定显著性水平,由分布表查得临界值,使.
(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量的观察值.
(5)作出判断.若,则接受;若,则拒绝.

6. 检验法
已知期望,假设检验.
(1)提出假设.
(2)找统计量.确定样本函数的统计量:

(3)求临界值.对给定显著性水平,由分布表查得临界值与,使

即
(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量的观察值.
(5)作出判断.若,则接受;若或 ,则拒绝.

7. 检验法
已知期望,假设检验
(1)提出假设.
(2)找统计量

(3)求临界值. 对给定显著性水平,查分布表,求得及,使

即
(4)求观察值.由所给定的样本算出统计量的值.
(5)作出判断.若,则接受;若或,则拒绝.
四、典型例题
例1 有两批棉纱,为比较其断裂强度,从中各取一个样本,测试得到:
第一批棉纱样本 ;
第二批棉纱样本 .
试验证两批棉纱断裂强度的均值有无显著差异(检验水平)?如果呢?
解 这是两个正态总体的均值检验问题,检验.

因为是大样本(均较大),所以、可用代入,近似有

故
由于与相互独立,若成立,则

故
因此,只要是大样本(容量较大时),不管总体、是否服从正态分布,是否,都可以按检验法已知的情况去做近似检验.
由已知得

故
当时,查表得.
因,故被接受,即在检验水平下可以认为这两种棉纱的强力值无显著差异.
当时,查表得.
因,落入拒绝域,应否定,即在检验水平下可以认为这两种棉纱的强力值有显著差异.
例2 某农业试验站为了研究某种新化肥对农作物产量的效力,在若干小区进行试验.测得产量(单位:kg)如下:

施肥 34 35 32 33 30 34
未施肥 29 27 32 28 31 32 31

设农场的产量服从正态分布,检验该种化肥对提高产量的效力是否显著?
解 设为施肥后的产量, 为施肥前的产量.已知.由于总体方差和均未知,应先对方差进行检验,即,.
由题意可知

已知,查表得.
因为,所以接受,即认为.
提出检验问题,即

已知,查表得.
因为,所以拒绝,即认为该种化肥对提高产量的效力显著.
例3 某种配偶的后代按体格的属性分为三类,各类的数据是:10,53,46.按照某种遗传模型,其频率之比应为,问数据与模型是否相符?
解 令,欲检验的假设为:数据与模型相符.
设观察到的三类数量分别为,其中,则的似然函数为

由于
解得的极大似然估计为
从而

统计量观测值为

已知,自由度,查表得
由于,故接受,即数据与模型相符.
例4 设某次考试考生成绩服从正态分布,从中随机抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在时是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?
解 设该次考试考生的成绩为,则.把从中抽取的容量为的样本均值记为,样本标准差记为，检验假设.则

已知,所以

所以接受假设,即时,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.
例5 某一指标服从正态分布,今对该指标测量8次,所得数据为:68,43,70,65,
55,56,60,72.在以下两种条件下,检验.(1)总体均值未知;(2)总体均值.
解 (1)检验假设,用检验,得

故
查表得.因,故接受.
(2)检验假设,而,故

由于,故接受.
例6 从某锌矿的东西两支矿脉中,各抽取容量分别为9和8的样本分析后,计算其样本含锌量(%)的平均值与方差分别如下:
东支
西支
假定东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,对于,能否认为两支矿脉的含锌量相同?
解 设东支矿脉的含锌量为,;西支矿脉的含锌量为,;其中、、、均为未知参数.
(1)检验假设.则

已知,计算得

查表得
因,故接受假设,即认为.
(2)检验假设,这属于检验,检验统计量为

已知,计算得

查表得.因,故接受假设,即认为两支矿脉的含锌量相同.
例7 在20世纪70年代后期人们发现,酿啤酒时,在麦芽糖干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA),于是80年代初期开发了一种新的麦芽糖干燥过程.下面给出分别在新老两种过程中所形成的(NDMA)含量(以10亿份中的份数计).

老过程 6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 4

新过程 2 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3

设两样本分布来自正态总体,两总体方差相等,两样本独立,分别以、记对应于新老两过程的总体均值,检验假设.
解 该检验的拒绝域为

已知,查表得.
由已知数据计算得

由于在拒绝域中,故应拒绝.
例8 某厂使用两种不同的原料A、B生产同一类产品,各在一周的产品中取样进行分析比较,取使用原料A生产的样品220件,测得平均重量为2.46kg,样本标准差;取使用原料B生产的样品205件,测得平均重量为2.55kg,样本标准差,设这两个样本独立,问在下能否认为使用原料B的产品平均重量比使用原料A大?
解 检验假设.
这个问题是大样本问题,故可近似认为统计量:

于是检验的拒绝域为

已知,所以

由于落在拒绝域中,故应拒绝,即认为使用原料B的产品平均重量比使用原料A的大.
例9 某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005(单位:).今在生产的一批导线中取样本9根,测得,设总体为正态分布,问在下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?
解 检验假设.
该检验的拒绝域为

已知,所以

由于落在拒绝域中,故应拒绝,即在下这批导线的标准差显著偏大.
例10 一自动车床加工零件的长度服从正态分布,车床正常时,加工零件长度为10.5,经过一段时间生产后,要检验这车床是否正常工作,为此抽取该车床加工的31个零件,测得数据如下:

零件长度 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12.0

频率 1 3 7 10 6 3 1

若加工零件长度方差不变,问此车床工作是否正常?()
解 检验假设.则

于是检验的拒绝域为
已知,计算得.从而

查表得.
由于,故拒绝.即可以认为该车床工作不正常.
例11 某车间的白糖包装机包装量,其中,未知.一天开工后为检验包装量是否正常,抽取了已经装好的糖9袋,算得样本均值,样本标准差为,试确定包装机工作是否正常?()
解 检验假设(可省略).样本均值,样本方差.于是

已知,查表得.
由于,故接受.可认为包装机工作正常.
例12 某市居民上月平均伙食费为235.5元,随机抽取49个居民,他们本月的伙食费平均为236.5元,由这49个样本算出的标准差元.假设该市居民月伙食费方差正态分布,试分别在和时,检验“本月该市居民平均伙食费较之上个月无变化”的假设.
解 检验假设.
由于方差未知,故采用检验法,其拒绝域为

已知,计算得

由于,故可用代替.
当时, ,故应拒绝.即本月该市居民平均伙食费较之上个月有显著升高.
当时, ,故接受.即本月该市居民平均伙食费较之上个月无显著变化.
例13 一位研究者声称至少有80%的观众对商业广告感到厌烦,现在随机询问了120位观众,其中70人同意此观点,在时,问是否可同意该研究者的观点?
解 把“观众对商业广告感到厌烦”(即)作为原假设.本问题的归结为在时,检验假设.
设随机向量
在为真时,为来自总体服从两点分布的一个样本,且.由于较大,由中心极限定理可知

于是检验的拒绝域为
已知,计算得

故拒绝,即在此数据的基础上,不能同意该研究者的观点.
五、课本习题全解
9-1 ①提出假设.
②找统计量..
③求临界值.对给定的,查表得;对给定的,查表
得.
④求观察值..
⑤作出判断.当时, ,所以拒绝;当时,
,所以接受.
9-2 ①提出假设.
②找统计量..
③求临界值.对给定的,查表得.
④求观察值..
⑤作出判断.当时, ,所以拒绝.
9-3 (1)①提出假设.
②找统计量..
③求临界值.对给定的,查表得.
④求观察值..
⑤作出判断.当时,,所以拒绝.
(2)①提出假设.
②找统计量..
③求临界值.对给定的,查表得.
④求观察值..
⑤作出判断.当时, ,所以接受.
9-4 ①提出假设.
②找统计量..
③求临界值.对给定的,查表得.
④求观察值..
⑤作出判断.当时, ,所以接受.
9-5 ①提出假设.
②找统计量..
③求临界值.对给定的,查表得.
④求观察值..
⑤作出判断.当,,所以拒绝.
9-6 (1)①提出假设.
②找统计量..
③求临界值.对给定的,查表得.
④求观察值..
⑤作出判断.当时,,所以接受.
(2)①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值.对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时,,所以接受.
9-7 ①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值. 对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时,,所以拒绝,有显著差异.
9-8 ①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值. 对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时, ,所以接受,即可认为溶化时间
的标准差为9.
9-9 (1)①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值. 对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时, ,所以接受,即包装机工作
正常.
(2)①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值. 对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时, ,所以接受.
9-10 (1)①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值.对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时, ,所以接受.
(2)①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值. 对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时, ,所以接受.
9-11 ①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值. 对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时, ,所以拒绝.
9-12 (1)①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值.对给定的,查表得
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时, ,所以接受.
(2)①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值. 对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时,,所以接受.
9-13 (1)①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值.对给定的,查表得
.
④求观察值. .
⑤作出判断.当时, ,所以接受.
(2)①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值. 对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时, ,所以拒绝.
9-14 ①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值. 对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时,,所以接受.
9-15 (1)①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值.对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时,,所以拒绝.
(2)①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值.对给定的,查表得
④求观察值. .
⑤作出判断.当时,,所以拒绝.
9-16 ①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值.对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断. 当时,,所以接受.
9-17 ①提出假设.
②找统计量. .
③求临界值.对给定的,查表得.
④求观察值. .
⑤作出判断.当时, ,所以接受.
9-18 根据题目要求,考虑假设检验.其中
服从泊松分布,其分布律为

的极大似然估计为样本均值,其观察值为

则统计量为

其中,是按的泊松分布律计算出的的取值为0,1,2,3,4
这五种情况的概率.
查表得,故接受.
9-19 根据题目要求,考虑假设检验,其中服从等概率分布,其
分布律为

由观测数据得,则统计量为

其中.查表得,故接受.
六、自测题及答案
1.设总体是来自的样本,记
,当和未知时,则
(1)检验假设所使用的统计量是.
(2)检验假设所使用的统计量是.
2.设总体服从正态分布,方差未知,对假设进行假设检验时,通常采取的统计量是,服从分布,自由度是.
3.在检验时,用统计量,若时,用检验,它的拒绝域为.若时,用检验,它的拒绝域为.
4.设总体,设假设检验的拒绝域为,则犯第一类错误的概率为;犯第二类错误的概率为.
5.某加工厂生产一批轴承,质量检查规定,废品率不超过3%可以出厂,否则不能出厂.现从这批产品中抽查100件,发现有5件废品.为判断这批产品能否出厂,要求检验的假设为;在显著性水平下,选定的统计量为,其观测值为;该统计量近似服从分布,拒绝域为.
6.设总体,和未知,假设检验.若采用检验法,则在显著性水平之下,其拒绝域为( ).
(A) (B)
(C) (D)
7.设和是来自正态总体的样本均值和样本方差,样本容量为,为( ).
(A) 的拒绝域 (B) 的接受域
(C) 的一个置信区间 (D) 的一个置信区间
8.设总体,其中未知,假设检验.若取得显著性水平,则其拒绝域为( ).
(A) (B)
(C) (D)
9.对正态分布的数学期望进行假设检验,如果在显著性水平0.05下接受,那么在显著性水平0.01下,下列结论中正确的是( ).
(A)必接受 (B)可能接受,也可能拒绝
(C)必拒绝 (D)不接受,也不拒绝
10.自动包装机装出的每袋重量服从正态分布,规定每袋重量的方差不超过,为了检查自动包装机的工作是否正常,对它生产的产品进行抽样检查,假设检验,则下列命题正确的是( ).
(A)如果生产正常,则检测结果也认为生产正常的概率为0.95
(B)如果生产不正常,则检测结果也认为生产不正常的概率为0.95
(C)如果检测结果认为生产正常,则生产确实正常的概率为0.95
(D)如果检测结果认为生产不正常,则生产确实不正常的概率为0.95
11.设为正态总体中抽取的样本,在显著性水平下检验.取拒绝域为.试求当时,所烦的第二类错误的概率.
12.甲、乙两台机床生产同一型号的滚球,现从这两台机床的产品中分别抽取8个和9个,测得滚球珠的直径(单位:mm)如下:
甲机床 15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8
乙机床 15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 14.8 15.1 14.8
设滚珠直径服从正态分布,问乙机床的加工精度是否比甲机床高()?
13.一种元件,要求其使用寿命不得低于1000h,现在从一批这种元件中随机地抽取25件,测得其寿命平均值为950h,已知该元件寿命服从标准差的正态分布,试在下,确定该批元件是否合格?
14.某台机器加工某种零件,规定零件长度为100cm,标准差不得超过2cm,每天定时检查机器运行情况,某日抽取10个零件,取到平均长度,样本标准差为,设加工的零件长度服从正态分布.问该日机器工作状况是否正常()?
15.甲、乙相邻两地段各取了50块和52块岩心进行磁化率测定,算出样本标准差分别为,试问甲、乙两段的标准差是否有显著差异()?
16.在集中教育开课前对学员进行测验,过了一段时间后,又对学员进行了与前一次同样程度的考查,目的是了解学员两次考试的分数是否有差别().从两次考卷中随机抽取12份考试成绩,如下表:

考查次数 考分 总计 平均

第1次 80.5 91.0 81.0 85.0 70.0 86.0 69.5 74.0 72.5 83.0 69.0 78.5 940 78.5

第2次 76.0 90.0 91.5 73.0 64.5 77.5 81.0 83.5 86.0 78.5 85.0 73.5 960 80.0

[答案]
1.(1)当未知时,检验假设,应选服从个自由度的分布统计量,其中为样本标准差.于是.
(2)检验假设,应选统计量.
2. ;分布; .
3.双边; ;左边; .
4. .
5. .
6. 的含义为.
7.由可知, .故A项正确.
8.由于,故B项正确.
9.检验水平越小,接受域的范围越大,也就是说,在下的接受域包含在下的接受域.
如果在时,接受,即样本值落在接受域内,则此样本值也一定落在的接受域内,因此接受.即A项正确.
10.因为,从而,因而A项正确.而B、C、D三项分别反映的是条件概率、、,由假设检验中犯两类错误的概率之间的关系知,这些概率一般不能由唯一确定,故B、C、D三项不正确.
11.第二类错误的为.
当时, 来自,此时

因此

12.设甲、乙机床生产的滚珠直径分别为,检验乙机床的加工精度是否比甲机床高,即看是否比小.此问题归结为在下,检验假设.
容易想到用统计量,但是在为真时,不知其服从什么分布,只知随机变量

而对于,有

即事件是一个小概率事件,可惜乙机床计算不出来.但因与有关,在为真时,有

故事件
从而
于是仍选用作为检验的统计量.的拒绝域为.
已知,得,又查表得.
由于,故拒绝.即认为乙机床的加工精度比甲机床的高.
13.在下,检验假设.
由于已知,故拒绝域为

已知,得

故拒绝,即认为这批元件不合格.
14.设加工的零件长度为,且,、均未知.
(1)检验假设.这是检验问题,当成立时,统计量为

于是拒绝域为
已知,得

已知,查表得,由于,故接受假设,即认为.
(2)检验假设.这是检验问题,当成立时,统计量为

于是拒绝域为
计算得
已知,查表得,由于,故接受假设,即认为.
综合(1)(2),可以认为该机器工作状态正常.
15.假设检验,则有

由于统计量.查表得

故.
因为,所以拒绝假设,即认为甲、乙段岩心磁化率,测定数据的标准差在时有显著差异.
16.此为双正态总体方差的假设检验,两总体均值未知,要检验假设

选取统计量
于是拒绝域为
由题意可知
因此
查表得.
由于,故在下,接受,即认为两次考试中学员的成绩无显著差异.