电磁场矢势和标势的规范变换及规范不变性的一个实例.pdf

第1 8 卷第4 期2 0 1 0 年1 2 月技术物理教学T E C H N I C A LP H Y S I C ST E A C H I N GV o L1 8N o 4D e c 2 0 1 0电磁场矢势和标势的规范变换及规范不变性的一个实例水李伙全(江苏扬州大学物理科学与技术学院2 2 5 0 0 2)在电磁学中，当考虑由电荷电流分布激发电磁场的问题时，引入标势妒与矢势A 给求解电磁场问题带来很大的方便，且标势9 与矢势A 满足规范变换与规范不变性近代物理学中，规范变换是作为基本方法而引入的，规范不变性是一种重要的物理原则，在现行的许多教材中，论述了电磁场的标势9 与矢势A满足规范变换与规范不变性，并从一般情况下电磁场满足的麦克斯韦方程组出发，论述了库仑规范和洛伦兹规范，并且分析了在库仑规范和洛伦兹规范下标势妒与矢势A 满足的电磁场方程、对方程进行求解，分别得到库仑势与洛伦兹势但现行的许多教材中没有提及在采用库仑规范时得到的库仑势妒库和A 库与采用洛伦兹规范得到的洛伦兹势妒洛和A 洛二者之间的联系电磁场的标势9 与矢势A 具有规范不变性，如果能将库仑势经过一个规范变换后成为洛伦兹势，并将此作为势的规范变换与规范不变性的一个实例引入到教学中，必能加深学生对规范变换与规范不变性的理解，从而强化教学效果这正是本文要探讨的主要问题1电磁场中标势妒与矢势A 的规范变换及规范不变性回顾在一般情况下，真空中的电磁场所满足的规律由麦克斯韦方程组给出，即：V E=一娑；v 日：_，+警；v D：p；v B：0 0 Lo 其中，D=占。E，B=鼬日，p 表示体电荷密度，表示体电流密度，占表示电场强度，日表示磁场强度，曰表示磁感应强度，D 表示电位移矢量在麦克斯韦方方程组中V B=0，说明静磁场是无源场定义一矢量A，使得B=Vx A，A 称为磁场的矢势矢势A 的物理意义是，在任一时刻，A 沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过回路内的磁通量由矢量场的唯一性定理知道，要完全确定A，要求V A和V A 都有确切的值在确定的电磁场中，V A 仍不能确定因此，这样确定的矢势A不唯一将B：v A 代入v E：一等得，v(E+警)=0，因此可引入标势妒，使得E+等=一V 妒，从而求出层=一V 妒一兽此时，电场日不再是保守力场，标势p 失去作为电场中势能的意义在表达式B=vx A 和E=一v 9 一警中，对矢势A 可以加上任意一个函数的梯度，结果不影响B，而且加在A 上的梯度部分在E的表达式中，又可以从V p 中消去，结果也不影响E 设沙是具有二阶偏导数的任意时空函数，作变换A A=A+V 吵，妒一妒=妒一警，则可得：Vx A，：V A：B，一V 妒，O 了A ：一V 妒一O，A，=E 即(A，9)与(A，妒)本文获扬州大学教改课题支助：项目名称 项目编号：2 0 l O 1 5本文获扬州大学自然科学基金资助：项目名称 项目号：2 0 0 6XJ J I 卫l 万方数据第1 8 卷技术物理教学描述同一电磁场这样的变换称为势的规范变换，每一组(A，9)称为一种规范由矢势A 和标势9 所表示的电磁场层和曰，当其矢势A 和标势9 作规范变换时，层和曰都保持不变，且A 和9 所满足的势方程也是不变的，称这种不变性为电磁场的规范不变性从数学上说，规范变换自由度的存在，是由于势的定义式中，只确定A 的旋度，而没有确定A 的散度在实际应用中，常用库仑规范和洛伦规范2 在库仑规范与洛伦兹规范下势满足的微分方程及其解库仑势与洛伦兹势根据H e m h o l z 定理可知，由于任意矢量场总可分解为无源(横)场与无旋(纵)场之和，故可将电流密度矢量_，和磁场的矢势A进行如下的分解：，=+以(是无源部分，以是无旋部分)，A=A。+A。(A t 是无源部分，A j 是无旋部分)这种分解是唯一的，并且V Z=0(横场)，V A。=0(横场)，Vx A。=0(纵场)，Vx A。=O(纵场)若已知一个矢量场a 的散度与旋度，即已知V a=石，VX 口=以，则a+V 宇(V 2 f=0)也满足以上等式，即a 可确定到满足拉普拉斯方程的标量场的梯度但如果要求a 满足在无限远处为0 的边界条件，则须f 满足V 2 f=o，f I，。=0，得f=o 于是a 就被唯一确定由麦克斯韦方程组可以推导矢势A 和标势妒所满足的基本方程推导过程如下：将曰=vx A 和E=一v 9 一等代人V o 日=J+警及v D=p 得：a jV(Vx A)=舶_，一弛占oy 3 9 _ V 妒一#o e oU 尝，一v：妒一导v A：生a t。dsb1应用m 岛=专，并将两式加以整理得：一m，V 2 9+言V A 一生8 0这是适用于一般规范的方程组以下讨论在库仑规范与洛伦兹规范下势满足的微分方程及其解，和库仑势与洛伦兹势在洛伦兹规范下，势方程为：V 2 妒洛一T 11 1 3 2(p 丁洛：一卫(1)，V 妒洛一7 了2 一言u 几V 2 A 洛一吉等=飞巾)，(V A s+1 c 警=o 洛伦兹规范条件)它们在无界空间的解是推迟势(叫洛伦兹势)：引川)=去，粤引3)，(其中，工是电流分布点，工是观察点，r 是工到工的距离，下同)A 恪(工，。)：署导，二!三 二皇d 口(4)在库仑规范下，势方程为：V 2 一嚣(5)A 库一吉等一7 I 盖V 妒库=喝_，(6)，(V A 库=0库仑规范条件)方程(5)的解为瞬时库仑势：妒库(圳)=瓦1，吐户州7)由于V 专去V 妒库=专啬V V 妒库=0，V1 c 2 立a t V”专去V 2”搴塑O t，而：m 占。，根据电荷守恒定律，V _，=一鲤O t，得：V 2 Ac 1。0 矿2 A V(V A+吉警)=v 2 V。吉去V 孵毒害=V 小(以+)=z oV 万方数据而通常要求在无限远处标势妒为o，故可由A 洛：A 库+v 妒和妒洛=妒库一警得：令寺盖V 孵u。8 九A 库：A 洛一v 岍一洛+警将(8 式代人(6 式得：将A 库：A 洛一v 砂的表达式蔗入库仑规范下满10 2 A讹q 了库雨10 喝卜茹方i 二i 季=1 其解为：A 库(x，I)=A t(x，t)=一。z=V 2 A 洛一7 11 0 2 A r M V(V 2 一了1 萨8 2)是f 业d 秒(1 0)4 订Jr、7显然，A。(工，t)就是推迟势=A(x，)的横向分量，我们把洛伦兹规范下，势方程之解(3)与(4)叫洛伦兹势，库仑规范下，势方程之解(7)与(1 0)m t 库仑势3 库仑势与洛伦兹势的关系库仑势经过一个规范变换成为洛伦兹势以下证明，库仑势通过规范变换成为洛伦兹势A 库卅洛=A 库+V 砂(规范变换)妒惠一妒清：9 匿一警(规范变换)妒库_+妒涪2 妒库一畜L 扰汜义伏，若要A 洛与妒洛满足洛伦兹规范条件，即V+专警=o(1 1)将表达式A 洛=A 库+V 砂和妒洛=妒库一警代人表达式(1 1)得：V A 库+7 1 监O t+(V 2 砂一上c 逝O t：、=o而A 库=A。，从而V A 库=0，得：V 2 砂一吉辔=一古警m，其解为：砂(工，t)=石1，7 1 击妒库(工7，t 一了r)d V(1 3)下面证明经过上述规范变换，库仑势(A 库，妒库)变成洛伦兹势(A M，(P M)即要证明(A 落，妒洛)满足洛伦兹规范下的势方程首先证明A 洛满足洛伦兹规范下的势方程妒(1 4)，将(1 2)代入(1 4)得，一“=(V 2 一专嘉)A M+吉击V 妒库(1 5)，将(8)代入(1 5)得：一u。五=(V 2 一言豪)A 语讽，而J=以+因此，(V 2 7 1 孑0 2)A 搭=l。上这正是洛伦兹规范下的矢势A 所满足的方程其次证明9 洛满足洛伦兹规范下的势方程将妒库=妒洛+警的表达式代入库仑规范下满足的势方程，一=V 2 9 库得：6 n一等=V 2 妒洛+啬V 2 砂(1 6)由(1 2)得V 2 砂=吉辔一专百&P e t O t(1 7)CCa 将(1 7)代入(1 6)得：一f l 岛_=V 2 妒洛+去7 1 血0 1 2 7 1 警)=V 2(p 洛一7 1 面8(监O t 一血O t 2、卅9 洛一吉蔷(妒库一警)=V 2 9 奄一一1 纽c 2O t 2 即(V 2 7 1 孑0 2)妒涪=一等这正是洛伦兹规范下标势9 所满足的势方程4 结语万方数据第1 8 卷第4 期2 0 1 0 年1 2 月技术物理教学T E C H N I C A LP H Y S I C ST E A C H I N GV o k1 8N o 4D e G 2 0 1 0周期性势场中电子波函数及能量本征值研究术郑加金(南京邮电大学光电工程学院江苏2 1 0 0 0 3)固体物理学是基础理论学科与应用学科之间的桥梁，也是一门实验与理论相结合的科学，它在近代尖端科学技术中占有很重要的地位这门学科涉及到较强的数学知识的应用，同时还需要量子力学、统计物理等方面的基础知讽笔者在几年的固体物理学课程的教学过程中发现，有些重要的概念及理论推导过程学生很难理解，特别是晶体和半导体中的电子状态部分鉴于此，本文将尝试对固体物理学课程中的晶体中电子共有化运动与自由电子模型以及周期性势场中电子的运动、波函数及能量本征值等问题中涉及较难理解和掌握的量子力学和数学方面的内容和理论推导方法进行适当的更新和改进，引入某些新的理论推导和数学处理方法，以便于学生接受和理解，从而更加深入准确地掌握问题的实质和内涵1 周期性势场中电子的运动状态及波函数晶体固体物理学研究的主要对象，晶体的很多重要性质与其内部存在的大量电子的状态有关，而大量电子的运行又是相互关联的，每个电子的运动都要受格点处原子和其它电子运动的牵联，因此对电子运动状态方程的求解尤为重要严格讲，要求解晶体中的电子状态，必须写出晶体中存在着相互作用的所有原子实和电子系统的薛定谔方程，求出它的解，这是个非常复杂的多体问题，实际上不可能严格求解因此只能采取近似处理的方法来研究电子的状态一般以单电子近似法加以推导，以这种近似法建立模型推导晶体中电子的能量及状态波函数涉及大量的量子力学、数学等知识，下面就来讨论这样处理的物理基础和过程假设晶体中原子核固定不动，并设想每个电子是在固定的原子核的势场和其他电子的平均势场中运动即把每个电子的运动看作是独立的，处在所有离子实及其它电子的周期性势场u(r)之中，根据量子力学知识，晶体中的电子的运动满足对应的定态薛定谔方程：L 2 一忐 V 2+u(r)砂(r)=印(r)(1)|l 22 2式中V 2=专+毛+为拉普拉斯算符，Ua 再o y(，)为周期势场，具有晶格的平移对称性，即满足U(，)=U(r+足。)，这里R。=n I 口l+，l：口：+，1 3 口3 为任意格失为便于讨论，这里只考虑一维非简并情况，并引入哈密顿算符L 2A 2H=一告音+u(石)，则上式变为：二，“Q X却(菇)=却(菇)(2)为了求解上式周期性势场中电子的状态函数，一般需引入平移算符瓦，其具有特点南京邮电大学引进人才科研启动基金资助项目(N Y 2 0 7 1 4 4)；江苏省高校自然科学基金资助项目(0 9 K J B l 4 0 0 0 6)本文从麦克斯韦方程组分析人手，采用库仑规范得到库仑势妒库和A 库，采用洛伦兹规范得到洛伦兹势妒洛和A 洛，将库仑势妒库和A 库，经过一个规范变换后变为洛伦兹势9 洛和A 洛，并将此作为电磁场的规范不变性的一个例子引入到教学环节中，从而加强学生对势的规范变换与规范不变性的理解万方数据