数模竞赛——眼科病床床位合理分配问题.docx

眼科病床床位合理分配问题
摘要
如何在有限的床位上，合理安排住院，使患者排队等待时间尽可能减少,又使资源得到充分利用,对提高医院服务质量,降低医院运营成本有重要意义。本文通过FCFS、排队论等经验或知识优化床位管理，提出了两种床位分配方案，并分析了各个方案的优劣。
针对问题一，非急诊病人根据FCFS原则安排住院。我们理解的FCFS原则指“先到先服务”，而不是“先到有空床立即住院”。先挂号的病人具有优先选择权，即在有空床的前提下，医院按术前住院准备期最短的原则先为他安排最合适他的住院时间。本题借助MATLAB和C++混合编程实现仿真，并列表显示所有信息。
针对问题二，首先对数据进行分析，为病床分配数学模型的建立提供决策依据。然后在数据分析的基础上确定选取病人入住病床的规则，并根据规则定义时序优先级矩阵，随后在提高医院效率又尽可能公平的条件下建立针对不同日期、不同优先级的加权多目标非线性规划模型。本题借助lingo规划，MATLAB和C++混合编程实现仿真，并列表显示所有信息。
针对问题三，我们认为公平性就是从病人角度出发，分配方案应该照顾大多数人的利益。我们通过建立一个需求度的概念来表示病人对病床的需求程度，将病床按照需求度从高到低分配视为最公平的选择，由此可以构造公平度的计算指标。而病床使用的有效性可以通过病床的工作效率和相对通过能力Q来反映。通过建立起的分配方案评价体系对两种分配方案的公平性及床位使用的有效性做出全面合理的评价。
针对问题四，因为前一天的各种疾病的人数可根据历史数据得到,而每天安排哪些人住院和当天来就诊的各类病人也在模型二中求出。因此,根据这三个数据,利用线性规划模型即可求得入住时间区间。本题借助lingo编程实现。

关键词：FCFS原则 排队论 加权多目标非线性规划模型 评价体系 区间估计

一、问题重述
眼科疾病手术大致分为单眼白内障、双眼白内障、青光眼、视网膜及急诊五类，五类病人的就诊比例大致为：0.2:0.25:0.1：0.29:0.16.通常白内障手术前需要1-2天时间准备，急诊入院后第二天就需手术，其他疾病需要2-3天术前准备时间。
假设某眼科专科医院共有病床80床。每天5类需手术病人的就诊人总数服从均值为9的泊松分布，医院的手术策略是急诊就医病人将立即安排住院，第二天手术。单眼白内障手术安排在周一，双眼白内障手术安排是周一做一只，周三做另一只，周一、周三不安排其他手术。其他时间只安排除白内障以外的疾病手术。
以上五类病人术后恢复时间满足均匀分布，分别是1-4天，4-6天，8-12天，6-10天，4-8天。
需要解决任务：
1.假设该医院2014年7月14日开业，根据先就诊先排队原则，在上述条件要求下，仿真实现100天内该医院就诊、等待住院、手术及住院信息，并列表显示。
2.为了提高医院病床有效利用率，在尽可能公平的原则下，适当改变各类病人的住院安排，根据上述条件要求，仿真实现100天内该医院就诊、等待住院、手术及住院信息，并列表显示。
3.比较问题1与2两种方案的的公平性及床位使用的有效性。
4.根据问题2的策略，就诊时告知每个就诊病人的等待住院大致时间范围，要求准确率90%以上。
二、模型假设
⑴外伤疾病都属于急症;
⑵白内障, 视网膜疾病, 青光眼都属于非急症;
⑶该眼科医院手术条件(医术水平、医疗器械等) 比较充分, 在建模时可不考虑手术条件的限制;
⑷单眼白内障手术安排在周一，双眼白内障手术安排是周一做一只，周三做另一只，周一、周三不安排其他手术（急诊除外），其他时间只安排除白内障以外的疾病手术;
⑸所有挂过号的病人不会中途退出系统, 从住院接受治疗直至出院。
⑹该眼科专科医院有且只有病床80床，若某天病床注满，则该日不再安排其他病人住院。
⑺除急诊外，术前准备期是从住院当天算起，准备期结束后第二天手术;
⑻所有病人术后恢复期从最后一次手术后第一天算起，恢复期最后一天出院;
⑼该眼科医院每周七天均工作;
⑽医院每天晚上在某个规定的时间统计一次数据。
三、问题分析
⑴问题一要求在符合医院条件的情况下根据FCFS（First come, First serve）规则安排住院，仿真实现100天内该医院就诊、等待住院、手术及住院信息。这是一个在一定概率范围内产生一组满足一定要求的伪随机数问题。
现今该医院是按照FCFS规则安排住院时间。我们理解的FCFS原则具体来说有两条要求：一、外伤急诊病人实行有空床立即安排入院，认为其优先级最大，可以随时插队，这里的插队是指可以无条件的排在先到的非急诊病人之前，而不可以排在先到的急诊病人前，即FCFS原则只适用于非急诊病人。二、FCFS原则指“先到先服务”，而不是“先到有空床立即住院”。先挂号的病人具有优先选择权，即在有空床的前提下，医院按术前住院准备期最短的原则先为他安排最合适他的住院时间。
本题借助MATLAB和C++混合编程实现仿真，并列表显示所有信息。
⑵问题二要求在尽可能公平的原则下，适当改变各类病人的住院安排，提高医院病床有效利用率，仿真实现信息并显示输出。易知该问题是随机服务过程和优化问题的结合。
首先对数据进行分析，旨在为病床分配数学模型的建立提供决策依据。然后在数据分析的基础上确定选取病人入住病床的规则，并根据规则定义时序优先级矩阵，随后在提高医院效率又尽可能公平的条件下建立针对不同日期、不同优先级的加权多目标床位分配优化模型。
本题借助lingo规划，MATLAB和C++混合编程实现仿真，并列表显示所有信息。
⑶问题三要求建立眼科病床利用的评价指标模型，重点讨论病床分配的公平性和床位使用的有效性。
我们认为公平性就是从病人角度出发，分配方案应该照顾大多数人的利益。我们通过建立一个需求度的概念来表示病人对病床的需求程度，将病床按照需求度从高到低分配视为最公平的选择，由此可以构造公平度的计算指标。
其次我们考虑病床的使用效率，定义了医院病床的占用率，当病床占用率很小时，说明病床大部分闲置，不利于医院资源的合理配置，当病床的占用率增大时，病床的使用效率提高，有利于医院资源的合理配置。但是占用率 增大，医院空闲床位有限，应对突发事故能力下降，若占用率达到100%，则可认为病床负担过重，已经出现了医院床位饱和情况。因此，该指标不是越大越好，结合统计的规律，认为病床占用率在80%-90%是比较合适的。除了考虑医院病床的占用率，我们还考虑到医院病床的占用时间直接和患者的治疗周期有关联，为此定义了病床的周转次数。病床的周转次数和出院人数与平均开放病床数有关，也和病床的占用率有关。为了全面考虑病床的工作效率，最终定义了病床的工作效率，我们认为病床的工作效率越高，病床的使用有效性越高，反之则越低。
接下来我们又从另一个角度分析。医院病床安排首先要有利于解决病人对病床的需求。对于一个面临排队压力的分配方案，能否有效减缓排队压力，缩短排队队长是一个重要指标，因此我们用相对通过能力Q来表示其分配效率。
综上，对于医院床位安排的公平性可以通过公平度P反映，而病床使用的有效性可以通过病床的工作效率和相对通过能力Q来反映。
⑷问题四要求根据模型二，就诊时告知每个就诊病人的等待住院大致时间范围，要求准确率90%以上。
因为前一天的各种疾病的人数可根据历史数据得到,而每天安排哪些人住院和当天来就诊的各类病人也在模型二中求出。因此,根据这三个数据,利用线性规划模型即可求得入住时间区间。
四、数据产生及预处理
4.1 符号说明
符号
符号说明
N
100天内5类需手术病人的就诊人总数
Nday
每天5类需手术病人的就诊人总数
Nmc
100天内单眼白内障病人的就诊人数
Nbc
100天内双眼白内障病人的就诊人数
Ng
100天内青光眼病人的就诊人数
Nr
100天内视网膜病人的就诊人数
Ne
100天内急诊病人的就诊人数
Tmc
单眼白内障病人具体术后恢复时间
Tbc
双眼白内障病人具体术后恢复时间
Tg
青光眼病人具体术后恢复时间
Tr
视网膜病人具体术后恢复时间
Te
急诊病人具体术后恢复时间
4.2 每天就诊人数及各类病人就诊人数
由题可知每天5类需手术病人的就诊人总数Nday服从均值为9的泊松分布，则Nday～P(9)，有：
PNday=k=9kk!e-9 , k=0,1,2,⋯ (5.1.1)
则100天内就诊总人数：
N=i=1100Nday,i (5.1.2)
单眼白内障、双眼白内障、青光眼、视网膜及急诊五类病人的就诊比例大致为：0.2:0.25:0.1：0.29:0.16，则在100天内，各类病人就诊人数分别为：
单眼白内障：Nmc=0.20.2+0.25+0.1+0.29+0.16=15N;
双眼白内障：Nbc=0.250.2+0.25+0.1+0.29+0.16=14N;
青光眼：Ng=0.10.2+0.25+0.1+0.29+0.16=110N;
视网膜：Nr=0.290.2+0.25+0.1+0.29+0.16=29100N;
急诊：Ne=0.160.2+0.25+0.1+0.29+0.16=425N.
其中，Nmc, Nbc, Ng, Nr, Ne均为正整数，若上述式子计算结果不为整数，前四个数采用四舍五入法取整，Ne根据总人数N调整。
将所有病人随机排序，然后按确定好的每天就诊人总数依次截取队列，从而确定每天就诊病人序号及病情。
4.3 术前住院准备时间
白内障病人术前需准备1-2天，具体需准备1天还是2天视病情而定，实际中概率相等。其他疾病病人术前需准备2-3天，具体需准备2天还是3天视病情而定，实际中概率相等。
4.4 术后恢复时间
五类病人术后恢复时间满足均匀分布，分别是1-4天，4-6天，8-12天，6-10天，4-8天，即Tmc~U0,5, Tg~U7,13, Tr~U5,11, Te~U3,9，Tbc~U3,7。
各类疾病平均术后恢复时间：Tmc=2.5(为简化计算取值为3)，Tbc=5，Tg=10，Tr=8，Te=6.
4.5 数据仿真
利用MATLAB编程在上述概率范围内产生各满足一定要求的伪随机数，作为该医院100天内接诊的病人的基本信息。下述所有问题的分析均需基于该组数据。
五、模型的建立与求解
5.1问题一的求解
5.1.1 有条件FCFS模型建立
I某病人安排的住院那天有空余床位
在不违背FCFS（First come, First serve）规则的前提下，尽可能使病人住院时间较短。各类病人具体安排如下：
⑴急诊就医病人当天有空床立即安排住院（可以插队），第二天手术。
⑵单眼白内障病人分六种情况安排：
&周六就诊&需1天术前准备→第二天（周日）住院，下周一手术&需2天术前准备→当天住院，下周一手术&周日就诊&需1天术前准备→当天住院，下周一手术&需2天术前准备→下周六住院，下下周一手术&其余时间就诊&需1天术前准备→往后第一个周日住院，再往后的周一手术&需2天术前准备→往后第一个周六住院，再往后的周一手术
⑶双眼白内障病人与单眼白内障病人安排大致相同，不同之处就是在周一第一次手术后紧接着的周三再安排第二次手术。
⑷其他疾病病人分14种情况安排：
周一就诊：
&需3天术前准备→当天住院，这周四手术&需2天术前准备→这周二住院，这周四手术
周二就诊：
&需3天术前准备→当天住院，这周五手术&需2天术前准备→当天住院，这周四手术
周三就诊：
&需3天术前准备→当天住院，这周六手术&需2天术前准备→当天住院，这周五手术
周四就诊：
&需3天术前准备→当天住院，这周日手术&需2天术前准备→当天住院，这周六手术
周五就诊：
&需3天术前准备→这周六住院，下周二手术&需2天术前准备→当天住院，这周日手术
周六就诊：
&需3天术前准备→当天住院，下周二手术&需2天术前准备→这周日住院，下周二手术
周日就诊：
&需3天术前准备→下周一住院，下周四手术&需2天术前准备→当天住院，下周二手术
II某病人安排的住院那天无空余床位
视其就诊日期往后顺延，直到按上述规则安排住院的那天有空余床位为止，然后按规则安排住院及手术时间。顺延时依然遵循FCFS规则。
5.1.2模型求解
基于就诊病人基本信息，借助MATLAB和C++混合编程（程序清单详见附录3），按照FCFS模型安排住院及手术时间，部分仿真信息见下表5.1，详表见附录1.
表5.1 2014-07-14到2008-10-21的病人信息（部分）
序号
疾病类别
门诊时间
住院时间
第一次手术时间
第二次手术时间
出院时间
1
视网膜疾病
2014/7/14
2014/7/15
2014/7/17
/
2014/7/26
2
青光眼
2014/7/14
2014/7/14
2014/7/17
/
2014/7/25
3
青光眼
2014/7/14
2014/7/14
2014/7/17
/
2014/7/25
4
双眼白内障
2014/7/14
2014/7/19
2014/7/21
2014/7/23
2014/7/27
5
视网膜疾病
2014/7/14
2014/7/14
2014/7/17
/
2014/7/25
6
青光眼
2014/7/14
2014/7/14
2014/7/17
/
2014/7/27
7
单眼白内障
2014/7/14
2014/7/19
2014/7/21
/
2014/7/23
︙
︙
︙
︙
︙
︙
︙
876
青光眼
2014/10/21
2014/10/21
2014/10/24
/
2014/11/1
877
视网膜疾病
2014/10/21
2014/10/21
2014/10/24
/
2014/11/3
878
青光眼
2014/10/21
2014/10/21
2014/10/24
/
2014/11/4
879
视网膜疾病
2014/10/21
2014/10/22
2014/10/25
/
2014/11/1
880
双眼白内障
2014/10/21
2014/10/27
2014/10/28
2014/10/30
2014/11/5
881
双眼白内障
2014/10/21
2014/10/27
2014/10/28
2014/10/30
2014/11/3

5.2问题二的求解
5.2.1符号说明
符号
符号说明
L出i
第i天出院的人数
L队i
第i天等待的总人数
L出j,k
第k天第j种病人的出院人数
L队j,k
第k天第j种病人在排队等待人数
yj,k
第k天第j种病人的入院人数
wj,k-1
第k-1天第j种病人到来的人数
aj,k
研究起点前已经在住院系统逗留人群中，第k天第j种病人的出院人数
θk1,θk2
按第k天为星期几，分别取值1或0
λi
第i种成分所占的权重
nt
第t天拟出院的病人数
mt
第t天的正在排队等待申请病床的病人数
D=d1,d2,⋯,dmt
第i号病人实际已经在排队申请病床的等待天数
∆D=∆d1,∆d2,⋯,∆dmt
第i号病人实际已经等待天数超过容忍值的天数
bi=b1,b2,⋯,bmt
第i个病人手术后需要住院的天数
Si=s1,s2,⋯,smt
第i个病人患第Si种病
病类型的编号如下表所示：
表 5.2.1 病类型的编号
病类型
外伤
青光眼
视网膜疾病
单眼白内障
双眼白内障
对应编号
1
2
3
4
5
病人编号：按照当天排队队列中的顺序从左到右依次编号1,2,3，…，m(t)
5.2.2模型准备
I优先选取规则
规则1：外伤病人（急诊病人）优先。这由实际情况决定的。
规则2:考虑到医生的安排问题及术前住院等待时间长短，周六和周日白内障病人优先且白内障病人在周日、六、五、四、三、二、一的优先级依次降低；青光眼和视网膜疾病在星期二、三、四、五、日应比星期一和星期六的优先级别高。
规则3:应充分考虑具有较短的术后恢复时间的病人优先,己有文献证明,短作业优先能保证队列的平均等待时间最短和队长最短。
规则4:等待超时的病人应该优先,这是充分考虑了病人就医的公平性问题。
II基本定义
时序优先级矩阵：令矩阵的列表示星期数,行表示病型类别,中间
的数据表示哪类病人在某天的优先级别,并将时序优先级矩阵用C表示,即:
C=c11c12c21c12⋯c17⋯c27⋮⋮c51c52⋯⋮⋯c57 (5.2.1)
其中,cij表示第i类病人在星期j的优先级别。
显然,由规则可知,时序优先级矩阵C应满足如下的约束条件:
&c1,j>maxc2,j,c3,j,c4,j,c5,j,j=1,2,⋯,7&(min⁡(c4,6,c4,7)>maxci,6,ci,7)andmin⁡(c5,6,c5,7>maxci,6,ci,7,i=2,3&ci,7>ci,6>ci,5>ci,4>ci,3>ci,2>ci,1,i=4,5&min⁡(ci,2,ci,3,ci,4,ci,5,ci,7)>maxci,1,ci,6,i=2,3&c4,j>c5,j>c3,j>c2,j,j=1,2,⋯,7
我们给出一个时序优先级矩阵C的例子如下表所示：
表5.2.2 各类病人的优先级表
病情类型
优先级
时间

周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
急诊
10
10
10
10
10
10
10
青光眼
2
3.5
4
4.5
5
2
6
视网膜疾病
3
4.5
5
5.5
6
3
7
单眼白内障
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
双眼白内障
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
5.2.3模型建立
合理的病床分配模型应该满足系统效率最大及病人公平度最高。考虑到同时实现这两个目标是很困难的,同时注意到医院在通常情况下往往积累了较长的等待住院队伍,我们通过求解满足系统效率最大后,对所求的解进行优化分析得到一定程度上的公平度最大下的值。
I最大效率模型
最大效率模型如下：
Q=1nk=1nj=15L出j,kj=15L队j,k (5.2.2)
s.t. j=15yj,k=j=15L出j,k (k=1,2,3,…,n) (5.2.3)
L队1,k=y1,k k=1,2,3,⋯,n
L队j,k=L队j,k-1+ωj,k-1-yj,k-1 (j=1,2,3,⋯,5)
L出1,k=&y1,k-7+a1,k (k>7)&a1,k (1≤k≤7); yjk=0 (k≤0)
L出2,k=θk1y2,k-12+θk2y2,k-13+a2,k
L出3,k=θk3y3,k-10+θk4y3,k-11+a3,k
L出4,k=θk5y4,k-4+θk6y4,k-5+θk7y4,k-6+⋯+θk11y4,k-10+a4,k
L出5,k=θk12y5,k-9+θk13y5,k-10+θk14y5,k-11+⋯+θk18y5,k-15+a5,k
0<yj,k<L队j,k+ωj,k yj,k为整数
其中对θki做简单解释如下：
对于青光眼和视网膜疾病病人,其术前准备时间为2天,但若手术时间与白内障病人的冲突则延后一天,即准备时间为3天,对于术后恢复时间,我们同样取其统计平均值代替。则对于青光眼病人从住院到出院需经历12天和13天两种情况,决定于其住院是星期几，即：
L出2,k=θk1y2,k-12+θk2y2,k-13+a2,k (5.2.4)
其中θk1,θk2按第k天为星期几，分别取值1或0；
具体取值如下：
表5.2.3 θk1,θk2的取值表
星 期
一
二
三
四
五
六
日
θk1
0
1
1
1
1
0
1
θk2
1
0
0
0
0
1
0
θk3,⋯,θk18按第k天为星期几，分别取值1或0，易知其取值矩阵近似为对角阵。
模型中ωj,k为第天新来的第y种病人数。由题可知，每天新来的病人总数服从λ=9的泊松分布，且统计认为各种病人所占比例大致不变，则ωj,k可以通过计算机模拟可能的值来反映未来实际的新来病人数。aj,k为开始安排之前住院的病人中第j种病人在安排开始后k天时出院的人，由于开始安排时住院病人的情况为已知，所以根据以往病人康复周期, aj,k可以得到，在本题中，开业当天aj,k为零。
IV考虑减小差别及公平性优化模型
考虑到通过统计确定的未来某天新来病人情况及出院病人情况,其与现实状况的差别将累积放大。现提出一种逐日分配方法,即每次只确定当天住院的策略,未来如何分配,等那天到来再说。如首先以决策当天作为起点,研究在未来一个星期内,最优的合理分配策略,然后只认为这一个星期内当天的策略是比较合理的,选择其作为当天策略。第二天时,再以该天为起点,研究一个星期内的最优策略,选取该天对应的策略,以此类推。
在研究一个星期内的最优分配策略时,依旧是建立一个非线性规划模型,约束条件类似于模型三,但需要根据安排当天是星期几,选择合理的目标函数或增减约束条件,以使得一周内的分配比较合理。目标函数就应该有7种, 目标函数的选取结合时序优先级矩阵C，优先值大的疾病安排可作为目标之一。如7月19日(星期六)作为起点时,该一个星期内的分配策略模型的目标函数可以选取以效率、星期六和星期円住院的白内障病人数与一周内白内障病人住院人数的比值、白内障(双眼)与一周总住院人数的比值最大。，以七天后待住院的各种病人数与统计各种病人每天来门诊的人数的比值来确定该多目标的权值。
即改进模型如下（以星期六为例）：
maxQZ=λ1k=17j=15L出j,kj=15L队j,k+λ2y4,6+y4,7k=17y4,k+λ3y5,6+y5,7k=17y5,k+λ4k=17y5,kj=15k=17yj,k (5.2.5)
s.t. j=15yj,k=j=15L出j,k (k=1,2,3,…,n) (5.2.6)
L队1,k=y1,k k=1,2,3,⋯,n
L队j,k=L队j,k-1+ωj,k-1-yj,k-1 (j=1,2,3,⋯,5)
L出4,7=y4,1+y4,2+y4,3+a4,7
L出2,k=a2,k
L出3,k=a3,k
L出4,k=a4,k k≠7
5.2.4模型求解
基于就诊病人基本信息，利用上面的模型，采用lingo编程（程序清单详见附录4）进行迭代，得出每天各类疾病患者的入院安排，再计算借助MATLAB和C++混合编程，做出100天内该医院就诊、等待住院、手术及住院信息，部分仿真信息见下表5.2.4，详表见附录2.
表5.2.4 2014-07-14到2008-10-21的病人信息（部分）
序号
疾病种类
门诊日期
住院日期
第一次手术时间
第二次手术时间
出院时间
1
视网膜疾病
2014/7/14
2014/7/15
2014/7/17
/
2014/7/26
2
青光眼
2014/7/14
2014/7/14
2014/7/17
/
2014/7/25
3
青光眼
2014/7/14
2014/7/14
2014/7/17
2014/7/23
2014/7/25
4
双眼白内障
2014/7/14
2014/7/19
2014/7/21
/
2014/7/27
5
视网膜疾病
2014/7/14
2014/7/14
2014/7/17
/
2014/7/25
6
青光眼
2014/7/14
2014/7/14
2014/7/17
/
2014/7/27
7
单眼白内障
2014/7/14
2014/7/19
2014/7/21
/
2014/7/23
︙
︙
︙
︙
︙
︙
︙
876
青光眼
2014/10/21
2014/10/24
2014/10/26
/
2014/11/3
877
视网膜疾病
2014/10/21
2014/10/24
2014/10/26
/
2014/11/5
878
青光眼
2014/10/21
2014/10/25
2014/10/28
/
2014/11/8
879
视网膜疾病
2014/10/21
2014/10/25
2014/10/28
2014/10/30
2014/11/7
880
双眼白内障
2014/10/21
2014/10/27
2014/10/28
2014/10/30
2014/11/5
881
双眼白内障
2014/10/21
2014/10/26
2014/10/28
/
2014/11/4

5.3问题三的求解
5.3.1模型建立
设第j天时入院安排前等候入院的病人i对病床的需求度为qij，对于qij的大小，按照如下规则取值：若病人i是外伤急诊病人，其对病床的需求度很高，实际中可取一个非常大的值（足以超过其他所有病人的需求度），其他病人则将其排队的天数作为其需求度。同样的，设qij'为入院安排后病人i的需求度，规定已经安排入院的病人的需求度为0。这样，我们可以根据需求度被满足的程度来判断病床安排的是否合理。我们设当天的等待病人数为s,则公平度公式表示为：
P=1-1nj=1100i=1sqij'i=1sqij (5.3.1)
医院病床的占用率：
病床的占用率 =实际占用总床数/平均开放病床数×100% (5.3.2)
病床的周转次数：
病床周转次数 = 出院人数 / 平均开放病床数 (5.3.3)
病床的工作效率：
病床的工作效率 = 病床占用率×病床周转次数 (5.3.4)
相对通过能力Q:
Q=1100k=1100L出kL队k (5.3.5)
其中，L出k表示第k天出院的人数，L队k表示第k天等待住院的病人数。
5.3.1模型求解
针对有条件FCFS模型，利用上述模型给出各评价指标值如下表所示：
表5.3 按有条件FCFS模型调度的评价指标值
指 标
病床周转次数
病床使用率
平均病床工作日
平均队列长度
病人平均等待时间
平均等待医生时间
指标值
3.66
84%
60
6.3
5.96
1.91
针对加权多目标非线性规划模型，利用上述模型给出各评价指标值如下表所示：
表5.4 按加权多目标非线性规划模型调度的评价指标值
指 标
病床周转次数
病床使用率
平均病床工作日
平均队列长度
病人平均等待时间
平均等待医生时间
指标值
3.60
92%
60
4.8
4.25
2.54
（注：表5.3和5.4中平均等待医生的时间为：病人入院后等待医生做手术的时间）
由以上两表可知建立的加权多目标非线性规划模型优化了就医排队系统，在病床使用率上明显优于有条件FCFS模型，说明在床位有效性上有所改善，但平均等待医生时间更长，且病床周转次数略低于后者，这样导致医院的效率有所下降。
加权多目标非线性规划模型的平均队列长度和病人平均等待时间低于有条件FCFS模型，说明前者对病人而言公平性更好。
以上结果的差异与模型有很大关系，其实在我们理解的有条件FCFS模型中已经带有了优化成分，即最大限度的减少了病人平均等待时间，对于某个具体的病人来说该模型是比较公平的，因为其避免了病人在医院无谓的术前等待，但有可能导致等待入院的时间过长，且使得医院病床使用有效性下降。而加权多目标非线性规划模型则从整体上综合考虑了大部分病人的公平性及医院的效益，具有更大的推广性。

5.4问题四的求解
5.4.1模型准备
I初始数据预处理
利用已知数据，统计出正在住院的各种疾病的人数。同时利用建立的模型二,得到未来出院人数以及出院病人的类型。
II条件分析
在初始数据统计中,得到前一天等待住院的第j种病人数hj。第k天第i种病人住院人数yi,j。模型二中对要安排住院的同种类型病人采用的是先到先入院的原则。
某人到医院门诊，当天来就诊的第j种病人数为xj,1,由于医院每天晚上在一个规定的时间进行数据统计，医院无法知道病人当天是该类病人中第几个来就诊，故他的排名的区间为hj+1,hj+xj,1。k天后第i种病人累计分配入院数为j=1nyi,j。
要知道病人何时住院,只要使他的排名数小于等于累计分配入院数即可。约束条件则为
&hi+1≤j=0n1yi,j&hi+xi,1≤j=0n2yi,j (5.4.1)
5.4.2模型建立
目标函数：
min n1
min n2
s.t.hi+1≤j=0n1yi,jhi+Xi,1≤j=0n2yi,j (5.4.2)
5.4.3模型求解
根据具体的情况，利用已知的数据代入以上模型利用lingo是可以在病人门诊时告知其大致入住时间区间n1,n2.
由于该模型的求解需要基于每天的历史数据统计及根据模型二对未来的病人信息及住院安排的预测，因此不同日期不同患者的估计的入住区间都有可能不同，无法做到针对某种病情，无论何时就诊即给出一个通用的确定的入住区间估计。
六、模型的评价与推广
7.1问题一模型分析
问题一FCFS模型即先到先服务模型，更多从单个病人的角度出发，其仿真安排结果充分体现了病人的公平性。对于医院而言，只是简单考虑了白内障的手术安排时间和急诊的优先级，所以该模型无法在保证公平性的情况下同时保证医院的病床的最大效率安排。所以考虑到实际情况，该模型的应用还是受到很大的限制。
7.2问题二模型分析
问题二考虑减小差别和最大效率的模型，从病人和医院两个角度出发，再保证医院最大效率的同时对公平性进行逐步的修正考虑。该模型的最大亮点在于优先级矩阵的引入，和利用优先级矩阵对公平性处理。其仿真安排结果最大程度上的照顾了医院的效率和病人的公平性。其在实际中的使用应该是比较合理的。但同时该模型的求解因为是当天只能考虑当天的病床安排情况，木有预见性，所以对于医院的管理和应急处理来说也有欠缺。
7.2问题三模型分析
问题三，基于公平性和通过能力的评价模型，从病人和医院两个角度对于某个安排模型进行评估。其本质上是衡量一个模型的综合安排能力的大小。同时该评价体系从实际的角度来说也是比较合理的。现实中更多管关注的也是就诊时的公平性和医院的整体效率。但同时，由于仿真所得的数据较少，所以可能最后得出的评价结果的真实性和合理性还值得思考和研究。
7.2问题四模型分析
该模型的优点是结构简单，容易实现，具有一定推广价值。但缺点也很明显，本模型中数据是由模型二计算或原始数据统计而来，虽然比较能较好反映现实数据，但带来的 误差是不可避免的，且很难较为精确的估计出误差的大小，这也很难知晓是否达到题目的要求。
八、参考文献
[[1]雷功炎，数学模型讲义，北京大学出版社，1999年。
[2]韩中庚，数学建模方法及其应用高等教育出版社，2009年6月。
[3]汪琴，基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型，浙江教育学院学报，2010年1月。
[4]王兰卿，宋海竟，关于眼科病床安排模型的几个评价指标，山西大同大学学报，2010年10月。
[5]杨英，眼科病床分配优化模型研究及应用，湖南大学出版社，2012年12月。

附 录
附录一
该眼科医院2014-07-14到2008-10-21的病人信息(模型一)
序号
疾病类别
门诊时间
住院时间
第一次手术时间
第二次手术时间
出院时间
1
视网膜疾病
2014/7/14
2014/7/15
2014/7/17
/
2014/7/26
2
青光眼
2014/7/14
2014/7/14
2014/7/17
/
2014/7/25
3
青光眼
2014/7/14
2014/7/14
2014/7/17
/
2014/7/25
4
双眼白内障
2014/7/14
2014/7/19
2014/7/21
2014/7/23
2014/7/27
5
视网膜疾病
2014/7/14
2014/7/14
2014/7/17
/
2014/7/25
6
青光眼
2014/7/14
2014/7/14
2014/7/17
/
2014/7/27
7
单眼白内障
2014/7/14
2014/7/19
2014/7/21
/
2014/7/23
8
单眼白内障
2014/7/15
2014/7/20
2014/7/22
/
2014/7/24
9
视网膜疾病
2014/7/15
2014/7/15
2014/7/17
/
2014/7/24
10
视网膜疾病
2014/7/15
2014/7/15
2014/7/18
/
2014/7/26
11
视网膜疾病
2014/7/15
2014/7/15
2014/7/18
/
2014/7/24
12
视网膜疾病
2014/7/15
2014/7/15
2014/7/18
/
2014/7/25
13
单眼白内障
2014/7/15
2014/7/21
2014/7/22
/
2014/7/23
14
单眼白内障
2014/7/15
2014/7/20
2014/7/22
/
2014/7/26
15
视网膜疾病
2014/7/15
2014/7/15
2014/7/18
/
2014/7/26
16
视网膜疾病
2014/7/15
2014/7/15
2014/7/17
/
2014/7/26
17
视网膜疾病
2014/7/15
2014/7/15
2014/7/17
/
2014/7/25
18
视网膜疾病
2014/7/15
2014/7/15
2014/7/18
/
2014/7/26
19
双眼白内障
2014/7/16
2014/7/21
2014/7/23
2014/7/25
2014/7/31
20
双眼白内障
2014/7/16
2014/7/21
2014/7/23
2014/7/25
2014/7/29
21
青光眼
2014/7/16
2014/7/16
2014/7/19
/
2014/7/30
22
双眼白内障
2014/7/16
2014/7/21
2014/7/23
2014/7/25
2014/7/29
23
双眼白内障
2014/7/16
2014/7/21
2014/7/23
2014/7/25
2014/7/30
24
视网膜疾病
2014/7/16
2014/7/16
2