课时跟踪检测(三十二) 数列求和.doc

课时跟踪检测(三十二)　数列求和
(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)

第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为(　　)
A．1＋2n　　　　　　　 　B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)
A. B.
C. D.
3．(2013·北京东城一模)已知函数f(n)＝n2cos nπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　)
A．0 B．－100
C．100 D．10 200
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝(　　)
A．6n－n2 B．n2－6n＋18
C. D.
5．已知数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N+)，a1＝－，Sn是数列{an}的前n项和，则S2 013＝________.
6.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
7．(2013·江西高考)正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

8．(2014·襄阳调研)已知数列{an}，如果数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an＋an－1，n≥2，n∈N+，则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列”．
(1)若数列{an}的通项为an＝n，写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}的通项为cn＝2n＋b(其中b是常数)，试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是否是等差数列，请说明理由；
(3)已知数列{dn}的通项为dn＝2n＋n，求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前n项和Tn.

第Ⅱ卷：提能增分卷
1．(2014·浙江协作体三模)在直角坐标平面上有一点列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，…，对一切正整数n，点Pn在函数y＝3x＋的图像上，且Pn的横坐标构成以－为首项，－1为公差的等差数列{xn}．
(1)求点Pn的坐标；
(2)设抛物线列C1，C2，C3，…，Cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线Cn的顶点为Pn，且过点Dn(0，n2＋1)．记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn，求＋＋…＋.

2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n，数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N+)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列{bn}的通项公式bn；
(3)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

3．已知正项数列{an}，{bn}满足a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设Sn＝＋＋…＋，试比较2Sn与2－的大小．

答 案
第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．选C　由题意得an＝1＋2n－1，
所以Sn＝n＋＝n＋2n－1，故选C.
2．选A　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，∴
∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
∴＝＝－，
∴数列的前100项和为
1－＋－＋…＋－＝1－＝.
3．选B　f(n)＝n2cos nπ＝
＝(－1)n·n2，
由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2
＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，
得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.
4．选C　∵由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列，
且首项为－5，公差为2.
∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，
∴n≤3时，an<0，n>3时，an>0，
∴Tn＝
5．解析：由题意知，a1＝－，a2＝1，a3＝－，a4＝2，a5＝－，a6＝3，…，所以数列{an}的奇数项构成了首项为－，公差为－1的等差数列，偶数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，通过分组求和可得
S2 013＝－×1 007＋×(－1)＋＝－.
答案：－
6．解析：∵an＋1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
7．解：(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以an＝2n.
(2)由an＝2n，bn＝，
得bn＝＝.
Tn＝
＝＝.
8．解：(1)当n≥2时，bn＝an＋an－1＝2n－1，
当n＝1时，b1＝a1＝1适合上式，
∴bn＝2n－1(n∈N+)．
(2)qn＝
当b＝0时，qn＝4n－2，由于qn＋1－qn＝4，
所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列．
当b≠0时，由于q1＝c1＝2＋b，q2＝6＋2b，
q3＝10＋2b，此时q2－q1≠q3－q2，
所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列．
(3)pn＝
当n>1时，Tn＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋…＋(3·2n－1＋2n－1)，
∴Tn＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n－1)＋(3＋5＋7＋…＋2n－1)＝3·2n＋n2－4.
又n＝1时，T1＝3，适合上式，∴Tn＝3·2n＋n2－4.
第Ⅱ卷：提能增分卷
1．解：(1)∵xn＝－＋(n－1)×(－1)＝－n－，∴yn＝3xn＋＝－3n－.
∴Pn.
(2)∵Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，
∴设Cn的方程为y＝a2－.
把Dn(0，n2＋1)代入上式，得a＝1，
∴Cn的方程为y＝x2＋(2n＋3)x＋n2＋1.
∴kn＝y′|x＝0＝2n＋3，
∴＝＝，
∴＋＋…＋
＝
＝
＝－.
2．解：(1)∵Sn＝3n，∴Sn－1＝3n－1(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1(n≥2)．
当n＝1时，2×31－1＝2≠S1＝a1＝3，
∴an＝
(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，
∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…，bn－bn－1＝2n－3.
以上各式相加得
bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝＝(n－1)2.
∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n.
(3)由题意得cn＝
当n≥2时，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n－2)×3n－1，
∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n－2)×3n，
∴相减得－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－2(n－2)×3n.
∴Tn＝(n－2)×3n－(3＋32＋33＋…＋3n－1)
＝(n－2)×3n－＝.
∴Tn＝
∴Tn＝(n∈N+)．
3．解：(1)∵对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列，且{an}，{bn}都为正项数列，
∴an＝bnbn＋1(n∈N+)．
可得a1＝b1b2＝3，a2＝b2b3＝6，
又{bn}是等差数列，∴b1＋b3＝2b2，
解得b1＝，b2＝.∴bn＝(n＋1)．
(2)由(1)可得an＝bnbn＋1＝，
则＝＝2，
∴Sn＝2
＝1－，
∴2Sn＝2－，又2－＝2－，
∴2Sn－＝－＝.
∴当n＝1,2时，2Sn<2－；
当n≥3时，2Sn>2－.