直线与圆的方程复习题知识汇总.doc

直线与圆的方程知识汇总
知识一：直线与圆的位置关系
1、已知直线和圆，则此直线与已知圆的位置关系是__________。
2、若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是_________。

知识二：圆与圆的位置关系
3、两圆，的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4、若圆与圆相切，则实数的取值集合是 .
知识三：圆的切线问题
5、过点P(-1,6)且与圆相切的直线方程是________________.
6、已知直线与圆相切，则的值为 .
知识四：圆的弦长问题
7、求直线被圆截得的弦的长__________。
8、设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则 .
知识五：圆的方程问题
9、求经过点A(2，－1)，和直线相切，且圆心在直线上的圆的方程．
10、圆的圆心在（ ）
A．第一象限　　　B．第二象限　 C．第三象限　 D．第四象限
知识六：综合问题
11、圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）A.36 B.18 C. D.
12、方程所表示的图形是（ ）
A．一条直线及一个圆 B．两个点 C．一条射线及一个圆 D．两条射线及一个圆
13、已知圆C:及直线.
（1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；
（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．
14、如果实数满足求:（1）的最大值；（2）的最小值；（3）的最值.
15、求与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程。
一、选择题
1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形（ ）
A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在
2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A.95 B.91 C.88 D.75
3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）
A.x－y=0 B.x+y=0 C.|x|－y=0 D.|x|－|y|=0
4.（2002京皖春理，8）圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R,θ≠＋kπ，k∈Z）的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的
5.（2002全国文）若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为（ ）
A.1，－1 B.2，－2 C.1 D.－1
6.（2002全国理）圆（x－1）2＋y2＝1的圆心到直线y=x的距离是（ ）
A. B. C.1 D.
7.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°,sin80°）,B（cos20°，sin20°），则|AB|的值是（ ）
A. B. C. D.1
8.（2002北京文，6）若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9a.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x2＋y2＝，②＝1，③x2＋＝1，④＋y2＝1．其中与直线x+y－=0仅有一个交点的曲线是（ ）
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
10.（2001全国文，2）过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（ ）
A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4
C.（x－1）2＋（y－1）2＝4 D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4
11.（2001上海春，14）若直线x=1的倾斜角为α，则α（ ）
A.等于0 B.等于 C.等于 D.不存在
12.（2001天津理，6）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x－y+1=0，则直线PB的方程是（ ）
A.x+y－5=0 B.2x－y－1=0 C.2y－x－4=0 D.2x+y－7=0
13.（2001京皖春，6）设动点P在直线x=1上，O为坐标原点．以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是（ ）
A.圆 B.两条平行直线 C.抛物线 D.双曲线
14.（2000京皖春，4）下列方程的曲线关于x=y对称的是（ ）
A.x2－x＋y2＝1 B.x2y＋xy2＝1 C.x－y=1 D.x2－y2＝1
15.（2000京皖春，6）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（ ）
A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合
16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）
A.y=x B.y=－x C.y=x D.y=－x
17.（2000全国文，8）已知两条直线l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是（ ）
A.（0，1） B.（） C.（，1）∪（1，） D.（1，）
18.（1999全国文，6）曲线x2+y2+2x－2y=0关于（ ）
A.直线x=轴对称 B.直线y=－x轴对称
C.点（－2，）中心对称 D.点（－，0）中心对称
19.（1999上海，13）直线y=x绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆
（x－2）2+y2=3的位置关系是（ ）
A.直线过圆心 B.直线与圆相交，但不过圆心
C.直线与圆相切 D.直线与圆没有公共点
20.（1999全国，9）直线x+y－2=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为（ ）
A. B. C． D.
21.（1998全国，4）两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是（ ）
A.A1A2＋B1B2＝0 B.A1A2－B1B2＝0
C. D.=1
22.（1998上海）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx－sinB·y+sinC=0的位置关系是（ ）
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
23.（1998全国文，3）已知直线x=a（a>0）和圆（x－1）2+y2=4相切，那么a的值是（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
24.（1997全国，2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a等于（ ）
A.－3 B.－6 C.－ D.
25.（1997全国文，9）如果直线l将圆x2+y2－2x－4y=0平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（ ）
A.［0，2］ B.［0，1］ C.［0，］ D.［0，）
26.（1995上海，8）下列四个命题中的真命题是（ ）
A.经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示
B.经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）·（x2－x1）=（x－x1）（y2－y1）表示
C.不经过原点的直线都可以用方程表示
D.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示
27.（1995全国文，8）圆x2＋y2－2x＝0和x2＋y2＋4y＝0的位置关系是（ ）
图7—1
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
28.（1995全国，5）图7—1中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）
A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2
1.答案：B
解析：圆心坐标为（0，0），半径为1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d==1，即a2+b2=c2.所以，以|a|，|b|，|c|为边的三角形是直角三角形.
评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a、b、c之间的关系，以确定三角形形状.
2.答案：B
解析一：由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B.
图7—2
解析二：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.
对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB内部和边上的整点共有=91（个）
评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.
3.答案：D
解析：设到坐标轴距离相等的点为（x，y）
∴|x|＝|y| ∴|x|－|y|＝0
4.答案：C
解析：圆2x2＋2y2＝1的圆心为原点（0，0）半径r为，圆心到直线xsinθ＋y－1＝0的距离为：
∵θ∈R，θ≠＋kπ，k∈Z
∴0≤sin2θ＜1 ∴d＞ ∴d＞r
∴圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R，θ≠＋kπ，k∈Z）的位置关系是相离．
5.答案：D
解析：将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式：（x－1）2＋y2＝1
∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a）x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r
∴ ∴a＝－1
6.答案：A
图7—3
解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A答案．
7.答案：D
解析：如图7—3所示，∠AOB＝60°，又|OA|＝|OB|＝1
∴|AB|＝1
8.答案：B
方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围

∵交点在第一象限，∴ ∴ ∴k∈（，＋∞）
∴倾斜角范围为（）
图7—4
方法二：如图7—4，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l必过点（0，－），当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.
评述：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.
9.答案：D
解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D.
10.答案：C
解析一：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A、C满足条件,再把A点坐标（1，－1）代入圆方程.A不满足条件.
∴选C.
解析二:设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r,因为圆心C在直线x+y－2=0上,∴b=2－a.
由|CA|=|CB|，得（a－1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b－1）2，解得a=1，b=1
因此所求圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=4
评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视.
11.答案：C
解析：直线x=1垂直于x轴，其倾斜角为90°.
12.答案：A
解析：由已知得点A（－1，0）、P（2，3）、B（5，0），可得直线PB的方程是x+y－5=0.
评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征.
13.答案：B
解析一：设P=1+bi，则Q=P（±i），
∴Q=（1+bi）（±i）=±bi，∴y=±1
解析二：设P、Q点坐标分别为（1，t），（x，y），
∵OP⊥OQ，∴·=－1，得x+ty=0 ①
∵|OP|=|OQ|，∴，得x2+y2=t2+1 ②
由①得t=－，将其代入②，得x2+y2=+1，（x2+y2）（1－）=0.
∵x2+y2≠0，∴1－=0，得y=±1.
∴动点Q的轨迹为y=±1，为两条平行线.
评述：本题考查动点轨迹的基本求法.
14.答案：B
解析：∵点（x，y）关于x=y对称的点为(y，x),可知x2y＋xy2＝1的曲线关于x=y对称．
15.答案：B
解析：直线（）x+y=3的斜率k1＝，直线x+（）y=2的斜率k2＝，∴k1·k2＝＝－1．
16.答案：C
解析一：圆x2＋y2＋4x＋3＝0化为标准式（x+2）2＋y2＝1，圆心C（－2，0）．设过原点的直线方程为y=kx，即kx－y=0.
由＝1，解得k=±，∵切点在第三象限，
∴k＞0，所求直线方程为y=x．
图7—5
解析二：设T为切点，因为圆心C（－2，0），因此CT=1，OC=2，△OCT为Rt△.如图7—5，∴∠COT=30°，∴直线OT的方程为y=x.
评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美结合，可迅速、准确得到结果.
17.答案：C
解析：直线l1的倾斜角为，依题意l2的倾斜角的取值范围为（－，）∪（，+）即:（，）∪（，）,从而l2的斜率k2的取值范围为:（，1）∪（1,）.
图7—6
评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.
18.答案：B
解析：由方程（x+）2+（y－）2=4
如图7—6所示，故圆关于y=－x对称
故选B.
评述：本题考查了圆方程，以及数形结合思想.应注意任何一条直径都是圆的对称轴.
19.答案：C
解析：直线y=x绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y=x.已知圆的圆心（2，0）到y=x的距离d=，又因圆的半径r=，故直线y=x与已知圆相切.
图7—7
评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系.
20.答案：C
解析：如图7—7所示，
由
消y得：x2－3x+2=0
∴x1=2，x2=1
∴A（2，0），B（1，）
∴|AB|==2
又|OB|＝|OA|=2
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=，故选C.
评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB的倾斜角为120°.则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义.
21.答案：A
解法一：当两直线的斜率都存在时，－·（）＝－1，A1A2＋B1B2＝0.
当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，，
同样适合A1A2＋B1B2＝0，故选A.
解法二：取特例验证排除.
如直线x+y=0与x－y=0垂直，A1A2＝1，B1B2＝－1，可排除B、D.
直线x=1与y=1垂直，A1A2＝0，B1B2＝0，可排除C，故选A.
评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.
22.答案：C
解析：由题意知a≠0，sinB≠0，两直线的斜率分别是k1=－，k2=.
由正弦定理知k1·k2=－·=－1，故两直线垂直.
评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.
23.答案：C
解析:方程（x－1）2+y2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x=a表示与x轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程分别为x=－1和x=3，由于a>0，取a=3.故选C.
评述：本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题.
24.答案：B
解析一：若两直线平行，则，
解得a＝－6，故选B.
解析二：利用代入法检验，也可判断B正确.
评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力.
图7—8
25.答案：A
解析：圆的标准方程为：（x－1）2+（y－2）2=5.圆过坐标原点.直线l将圆平分，也就是直线l过圆心C（1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.
当直线l过圆心与x轴平行时，k=0，
当直线l过圆心与原点时，k=2.
∴当k∈［0，2］时，满足题意.
评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法.
26.答案：B
解析：A中过点P0（x0，y0）与x轴垂直的直线x=x0不能用y－y0=k（x－x0）表示，因为其斜率k不存在；C中不过原点但在x轴或y轴无截距的直线y=b（b≠0）或x=a（a≠0）不能用方程=1表示；D中过A（0，b）的直线x=0不能用方程y=kx+b表示.
评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围.
27.答案：C
解析：将两圆方程分别配方得（x－1）2＋y2＝1和x2＋（y－2）2＝4，两圆圆心分别为O1（1，0），O2（0，2），r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝，又1＝r2－r1＜＜r1＋r2＝3，故两圆相交，所以应选C.
评述：本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法.
28.答案：D
解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故应选D.
评述：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力.