第四节物体的平衡.doc

§2．4 共点力作用下物体的平衡
【考点透视】
内容
要求
说明
共点力作用下物体的平衡
I
解决复杂连接体的平衡问题不作要求
【知识网络】
一、 共点力
几个力作用于一点或几个力的作用线交于一点，这几个力称为共点力。
二、 物体的平衡状态
包括静止（速度和加速度都等于零的状态）、匀速运动、匀速转动三种
三、 共点力作用下的物体的平衡
1．条件：物体所受各力的合力为零。 即F合=0
2．若物体只受两个力作用处于平衡状态，这两个力叫一对平衡力。
3．若物体受三个力的作用处于平衡状态，则可根据任意两个力的合力同第三个力等大反向，作出平行四边形，若平行四边形中有直角三角形，可根据函数关系或勾股定理列方程；若平行四边形中没有直角三角形，可根据正弦定理或相似三角形的相似边成正比等列方程。
4．物体受三个以上共点力作用而处于平衡状态时，一般用正交分解法处理。
即Fx=0，Fy=0。
四、求解平衡问题常用的方法
1．有不少三力平衡问题，既可从平衡的观点(根据平衡条件建立方程)求解——平衡法，也可从力的分解的观点(将某力按其作用效果分解)求解——分解法。两种方法可视具体问题灵活选用。
2．相似三角形法：通过力三角形与几何三角形相似求未知力。对解斜三角形的情况更显优越。
3．力三角形图解法：当物体所受的力变化时，通过对几个特殊状态画出力图(在同一图上)对比分析，使动态问题静态化，抽象问题形象化，问题将变得易于分析处理。
五、正交分解法、力的三角形法求解力平衡问题的步骤
(Ⅰ) 正交分解法
⑴选对象：根据题目要求，选取某平衡体(整体或局部)作为研究对象.
⑵画受力图。
⑶列方程：以减少力的分解个数为原则建立相互垂直的x、y轴，将各力分别分解到x、y轴上，运用两轴上合力为零，列方程Fx=0，Fy=0。
(Ⅱ)力的三角形法
⑴选对象：根据题目要求，选取某平衡体(整体或局部)作为研究对象。
⑵画受力图：平移力，画出力的三角形。
⑶列方程：根据正、余弦定理列出力的关系方程或由几何关系分析三角形的变化，从而推断力的大小、方向的变化。
六、几点说明
1．力平衡问题分静态平衡和动态平衡两类；物体受力有二力、三力、多力情况，应根据具体情况，采用不同方法。正交分解法适于多力平衡问题，是最基本的解法，但有时有冗长的演算过程；力的三角形法适于三力平衡，特别是三力作用下的动态平衡问题，以图解之,简捷、直观。
2．物体平衡的连接体问题，应根据所求的物理量，合理选择研究对象。当求系统（整体）所受外部作用时，选整体，当求系统（整体）内部相互作用时，选受力个数少且已知力多的部分为研究对象。
3．物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中某一个力跟其余力的合力大小相等、方向相反、作用在一条直线上。
4．二力平衡时，二力必等值反向共线(二力平衡)；三力(非平行)平衡时，三力必共面共点(三力汇交原理)。
【典型例题】
[例1] 如图所示，质量为m的铁球在水平推力F的作用下静止于竖直光滑墙壁和光滑斜面之间。球跟倾角为θ的斜面的接触点为A，推力F的作用线通过球心O，球的半径为R，若水平推力缓慢地增大，在此过程中 ( )
A．斜面对球的支持力缓慢地增大
B．斜面对球的支持力缓慢地减小
C．斜面对球的支持力始终为mgcosθ
D．墙对球的作用力始终小于推力F
[例2]如图所示,物体a和b相对静止,共同沿斜面匀速下滑时( )
A.a、b间无静摩擦力
B.b受斜面所施的滑动摩擦力作用,大小等于mbgsinα
C.b与斜面间的动摩擦因数为μ=tanα
D.斜面受b施加的滑动摩擦力作用,方向沿斜面向下
[例3] 如图所示，将两个质量均为m的小球用细线相连悬挂于O点。
（1）若用力F拉小球a，使其悬线oa向右偏离竖直方向θ=30°角，且整个装置处于平衡状态。求力F的最小值并说明其方向。
（2）若在a上施加符合（1）条件的力F后，仍保持悬线oa竖直，且使整个装置处于平衡状态，求在b小球上施加的最小力的大小，并说明其方向。

[例4] 如图所示，小球质量为m，用两根轻绳BO、CO系好后，将绳固定在竖直墙上，在小球上加一个与水平方向夹角60°的力F，使小球平衡时，两绳均伸直且夹角60°，则力F的大小应满足什么条件？

【自我检测】
1、如图所示，用两根细线把A、B两小球悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接A、B两小球，然后用某个力F作用在小球A上，使三根细线均处于直线状态，且OB细线恰好沿竖直方向，两小球均处于静止状态．则该力可能为图中的（ ）
A．F1． B．F2． C．F3． D．F4．
2．有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平衡(如图所示)。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和细绳上的拉力F的变化情况是( )
A． FN不变，F变大
B．FN不变，F变小
C．FN变大，F变大
D．FN变大，F变小
3．如图所示，一质量为M、倾角θ为的斜面体在水平地面上，质量为m的小木块（可视为质点）放在斜面上，现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木块，拉力在斜面所在的平面内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，下列说法中正确的是（ ）
A．小木块受到斜面的最大摩擦力为
B．小木块受到斜面的最大摩擦力为F-mgsinθ
C．斜面体受到地面的最大摩擦力为F
D．斜面体受到地面的最大摩擦力为Fcosθ
θ
M
F

4、如图所示，A、B为竖直墙面上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆，转轴C在AB中点D的正下方，AOB在同一水平面内，ÐAOB＝120°，ÐCOD＝60°，若在O点处悬挂一个质量为m的物体，则平衡后绳AO所受的拉力和杆OC所受的压力分别为……（ ）
A．mg，mg 　　B．mg，mg
C．mg，mg D．mg，mg

5．轻绳的两端A、B固定在天花板上，绳能承受的最大拉力为120N．现用挂钩将一重物挂在绳子上，结果挂钩停在C点，如图所示，两端与竖直方向的夹角分别为37°和53°．求：
（1）此重物的最大重力不应超过多少? sin370=0.6；cos370=0.8
（2）若将挂钩换成一个光滑的小滑轮，重物的最大重力可达多大?
370
530
A
C
B

§2．4 共点力作共点力作用下物体的平衡
1．某同学在做引体向上时处于如图所示的平衡状态。两只手臂夹角为60°，已知该同学体重为60kg。则该同学每只手臂的拉力为（ ）

A．300N B．200N C．100N D．600N
2.如图所示, 三角支架abc的两斜面上分别放有物块m1、m2,已知m1＞m2，θ1＞θ2，整个系统处于静止状态，判断地面对abc的摩擦力Ff应为( )
A.有Ff存在，方向向左
B.有Ff存在，方向向右
C.有Ff存在，方向不能确定
D.以上结论均不对

3．如图所示，在光滑的水平面上放一物体B，B的上方再放一物体A，A的左端系一与水平方向成θ角的绳，绳的另一端系在墙上。若给B物施一逐渐增大的水平力F，但A和B仍保持静止，则A对 B的压力将( )
A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．保持不变 D．无法判断

4.如图所示，木块A在拉力作用，沿斜面向上作匀速运动，则拉力F与物体A所受的摩擦力及斜面对A的支持力三个力的合力的方向一定是（ ）
A.向上偏左 B.向上偏右 C.垂直斜面向上 D.竖直向上

5．如图所示弹性轻绳的一端固定的O点，另一端拴一个物体，物体静止在水平地面上的B点处，并对水平地面有压力。O点的正下方A处有一垂直于纸面的光滑杆，如图所示，OA为弹性轻绳的自然长度，现在用水平力使物体沿水平面运动，在这一过程中，物体所受水平面支持力和摩擦力f大小的变化情况是
A. f先变大后变小
B. f先变小后变大
C. f保持大小不变
D.支持力一定不为零
6．如图，轻杆A端用光滑水平铰链装在竖直墙面上，B端用水平绳结在墙C处并吊一重物P，在水平向右的力F缓缓拉起重物P的过程中，杆AB所受压力的变化情况是（ ）
A．变大 ； B．变小 ；
C．先变小再变大 ； D．不变。
A
B
C
P
F
F

7．图中a、b、c为三个物块，M、N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们连接如图并处于平衡状态，则（ ）

A．有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态
B．有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态
C．有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态
D．有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态

8．如图3光滑的半球形物体固定的水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到B的过程中，半球对小球的支持力FN和绳对小球的拉力F的大小变化情况是
A.变大，F变小
B. 变小，F变大
C. 变小，F先变小后变大
D. 不变，F变小
Q
A
P
B
9、如图所示，物体P、Q恰好静止，不计摩擦及绳和滑轮的重力，将滑轮B向右移动时，滑轮A将 （ ）
A. 上升
B. 不动
C. 下降
D. 无法判断

10．长度为5 m的细绳的两端分别系于竖立于地面上相距为4 m的两杆的顶端A、B。绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一重为12 N的物体如图所示，平衡时，绳中的张力多大？

11.如图所示,两个完全相同的球,重力为G,两球与水平面间的动摩擦因素均为μ, 一根轻绳两端固结在两球上,在绳的中点施加一个竖直向上的拉力,当绳被拉直后两段绳之间的夹角为α,问当F至少多大时两球将会发生滑动?（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

12．如图所示，某同学在地面上拉着一个质量为m=30kg的箱子匀速前进，已知箱与地面间的动摩擦因数为μ=0.5，拉力F1与水平面夹角为θ=45°，g=10m/s2。求：
（1）绳子的拉力F1为多少？
θ
（2）该同学若改变拉力的方向，能否用比F1小的力拉着箱子匀速前进？如果能，请求出拉力的最小值。若不能，请说明理由

13．如图所示，总长为L的细绳两端各系一个重为G的小圆环，两环均套在同一水平直杆上，在细绳中点O挂一个重2G的重物．已知圆环与杆间最大静摩擦力是正压力的0.5倍，求两环在杆上静止时，它们之间最大距离多大？
Ｏ

Ｏ
图13

14．如图所示，一根轻绳上端固定在O点，下端拴一个重为G的钢球A，球处于静止状态．现对球施加一个方向向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一刻，都可以认为球处于平衡状态，如果外力F方向始终水平，最大值为2G，试求：
（1）轻绳张力T的大小取值范围；
（2）在乙图中画出轻绳张力与cosθ的关系图象．

参考答案：
§2．4 共点力作用下物体的平衡
【典型例题】
[例1]D（球受到四力作用而平衡，其中斜面对球的支持力的竖直分量和重力相抵消，故Ncosθ=mg,得N=mg/cosθ为一定值，故A、B、C均错误；斜面对球的支持力的水平分量加上墙壁对球的弹力等于水平推力，故墙对球的作用力始终小于推力F，D正确。）
[例2]CD [物a受到重力、b对a的支持力和b对a的静摩擦力而平衡，故A是错误的；而b受的滑动摩擦力的大小应为(ma+mb)gsinα，故B也是错误的；由于两个物体正好从斜面匀速下滑，故(ma+mb)gsinα=μ(ma+mb)gcosα，得μ=tanα，故C是正确的；而斜面受到的滑动摩擦力方向应沿斜面向上，和b受到的滑动摩擦力是一对作用与反作用力，故D是正确的。]
[例3]⑴当加在a球上的力方向与oa垂直时，所加的力最小，故其大小应为F=2mgsin30°=mg
⑵当所加在b球上的力如右下图所示情形时，能使oa线保持竖直同时施加在b小球上的力最小。
Fb=Fcos30°=mg，方向水平向左。
[例4]本题为静力学问题，并有临界条件需分析，当F力太小时，CO线会松驰，当FCD=0时物体受力如图（1）：
则有Fminsin60°×2=mg
所以Fmin=mg
当F力太大时，OB线会松弛，当FOB=0时
受力如图（2）所示，
所以Fmax=mg
综上所述F应满足的条件为：mg≤F≤mg
【自我检测】
1．BC
2．B
3．C
4．B
5、（1）取C点为研究对象进行受力分析如图甲所示：
B
370
530
A
C
T1
T2
G
图甲
由图可知，物体平衡时AC上的张力比BC上大，所以当AC上的张力为最大值120N时，BC上的张力小于120N，由三角形法则重物的最大重力为：
（2）在图甲中，由几何关系设AB=s，则绳长l=0.6s+0.8s=1.4s；B
θ
A
C
图乙
T
T
G
若将挂钩换成滑轮，则两根绳子的张力大小相相等，对C点受力分析，如图乙所示，由几何关系
cosθ=
由三角形法则重物的最大重力为：
则：

【课后练习】
1．B
2．D （把三个物体当作一个整体，则可知它们仅受重力和地面的支持力而二力平衡，故无摩擦力的作用。）
3．B （当B所受的拉力增大时，B的上表面所受的静摩擦力也随之增大，故A受的水平向右的静摩擦力也会增大，造成倾斜绳中的拉力增大，其竖直方向的分量增大，故A对B的压力将增大。）
4．D （物体A在做匀速运动，故其合外力应为零。物体受四力而平衡，故其任一个力将和其它三个力的合力大小相等、方向相反。）
5．CD
6． D
7．AD （由于轻绳只能施加拉力，所以弹簧N可能处于原长或拉伸状态。若N处于原长，即绳中无张力，则M由于受a的压力只能处于压缩状态；若N处于拉伸状态，绳中拉力小于a的重力，则M处于压缩状态；绳中拉力大于或等于a的重力，则M处于拉伸或原长状态。）
8．D
9．C
10．10 N （AOB是一条绳，由于挂钩光滑，所以挂钩两侧绳AO段与BO段的拉力必然相等，与竖直线的夹角也相等。）
11. F=
解析:由整体分析可知，此时地面对两球的支持力为： N=G-
又由临界条件可知 ：f=μN=μ（G-）
对于结点O，由平衡条件得F=2Tcos(T为连接小球的绳中张力)
再对小球有 T sin=f 联立上面四式即可求得F值.
12．（1）F1cos45°=μ(mg－F1sin45°)；；
（2）设拉力与水平方向夹角为θ，则Fcosθ=μ(mg－Fsinθ)；；
当θ=arctanμ时，F有最小值，其值为
13．对整个系统受力分析可知：每个环受的支持力为
Ｏ
………①
环受力如图，两环距离最大时，由平衡条件
水平方向： ………②
竖直方向： ………③
由①②③式得：

则两环间最大距离：

14．（1）当水平拉力F=0时轻绳处于竖直位置，绳子张力最小　　
当水平拉力F=2G时，绳子张力最大
因此轻绳的张力范围是
（2）即