第八章第二节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．(2010·青岛二中检测)“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若a＝2，直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1显然平行，若直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行，由＝≠，易得a＝2.
答案：C
2．(2010·温州十校模拟)已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　　)
A．－2 B．－7
C．3 D．1
解析：线段AB的中点(，0)代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.
答案：C
3．夹在两平行直线l1：3x－4y＝0与l2：3x－4y－20＝0之间的圆的最大面积等于(　　)
A．2π B．4π
C．8π D．12π
解析：圆的最大直径即为两条平行直线间的距离d＝＝4，所以r＝2，故最大面积为π·22＝4π.
答案：B
4．直线x－2y＋1＝0关于直线y－x＝1对称的直线方程是(　　)
A．2x－y＋2＝0 B．3x－y＋3＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
解析：设所求直线上任一点的坐标为(x，y)，则它关于y－x＝1对称的点为(y－1，x＋1)，且在直线x－2y＋1＝0上，∴y－1－2(x＋1)＋1＝0，化简得2x－y＋2＝0.
答案：A
5．已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为(　　)
A. B.
C．2 D．2
解析：表示点(x，y)到原点的距离，根据数形结合得的最小值为原点到直线2x＋y＋5＝0的距离，即d＝＝.
答案：A
6．(2010·潍坊五校联考)已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y＝0互相垂直，则ab的最小值等于(　　)
A．1 B．2
C．2 D．2
解析：由两条直线垂直的充要条件可得：－·＝－1，解得a＝，所以ab＝·b＝＝b＋.又因为b>0，故b＋≥2 ＝2，当且仅当b＝，即b＝1时取“＝”．
答案：B
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．若点(1,1)到直线xcosα＋ysinα＝2的距离为d，则d的最大值是__________．
解析：依题意有d＝|cosα＋sinα－2|＝|sin(α＋)－2|，
于是当sin(α＋)＝－1时，d取得最大值2＋.
答案：2＋
8．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是________．
解析：设(x0，y0)是直线2x＋3y－6＝0上任一点，其关于点(1，－1)的对称点的坐标是(x，y)，则2x0＋3y0－6＝0，(*)
又由对称性知，∴，代入(*)式，得2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，即2x＋3y＋8＝0.
答案：2x＋3y＋8＝0
9．(2010·深圳二月模拟)设l1的倾斜角为α，α∈，l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转α角得直线l2，l2的纵截距为－2，l2绕P沿逆时针方向旋转－α角得直线l3：x＋2y－1＝0，则l1的方程为________．
解析：∵l1⊥l3，
∴k1＝tanα＝2，k2＝tan2α＝＝－.
∵l2的纵截距为－2，∴l2的方程为y＝－x－2.
由∴P(－3,2)，l1过P点，
∴l1的方程为2x－y＋8＝0.
答案：2x－y＋8＝0
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知两直线l1：x＋ysinθ－1＝0和l2：2xsinθ＋y＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
解：(1)法一：当sinθ＝0时，l1的斜率不存在，l2的斜率为零，l1显然不平行于l2.
当sinθ≠0时，k1＝－，k2＝－2sinθ，
欲使l1∥l2，只要－＝－2sinθ，sinθ＝±，
∴θ＝kπ±，k∈Z，此时两直线截距不相等．
∴当θ＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
法二：由A1B2－A2B1＝0，
即2sin2θ－1＝0，得sin2θ＝，
∴sinθ＝±，由B1C2－B2C1≠0，
即1＋sinθ≠0，即sinθ≠－1，
得θ＝kπ±，k∈Z，
∴当θ＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
(2)∵A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，
∴2sinθ＋sinθ＝0，
即sinθ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)，
∴当θ＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.
11．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
(1)把x＝4，y＝5代入③及④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.
12．(2010·山东烟台)已知直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶；若能，求P点坐标；若不能，说明理由．
解：(1)直线l2：2x－y－＝0.
所以l1与l2的距离d＝＝，
所以＝
所以|a＋|＝.
因为a>0，所以a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，
且＝，即C＝，或C＝，
所以2x0－y0＋＝0，或2x0－y0＋＝0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得应舍去．
由解得
∴存在点P(，)同时满足三个条件．