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第四讲　转化与化归思想

1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
2．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性．
3．转化与化归思想的原则
(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．
(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．
(3)具体化原则：化归方向应由抽象到具体．
(4)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．
(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．

1．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝，S2＝a3，则a2＝________.
2． 4cos 50°－tan 40°等于
3． 已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是
4． (2011·天津)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是
5．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为

题型一　特殊与一般的转化
例1　(1)，，(其中e为自然常数)的大小关系是
(2)在定圆C：x2＋y2＝4内过点P(－1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则＋的范围是________．
审题破题　(1)观察几个数的共同特征，可以构造函数，利用函数的单调性比较数的大小；(2)由于题目条件中过点P(－1,1)可作无数对互相垂直的直线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题．
答案　(1)A　(2)
解析　(1)由于＝，＝，＝，故可构造函数f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.
而f′(x)＝′＝＝，令f′(x)＞0得x＜0或x＞2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)＜f(5)＜f(6)，即＜＜.
(2)设＝t，考虑特殊情况：当AB垂直OP时，MN过点O，|AB|最小，|MN|最大，所以t最小＝，t最大＝.所以t∈.又因为t＋≥2 ＝2，所以t＋∈.
反思归纳　当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略．
数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题．
变式训练1　已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是________．
答案　
解析　由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列an＝n(n∈N*)，则＝＝.
题型二　正难则反转化
例2　若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__________．
审题破题　函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g(x)在区间(t,3)上为单调函数．
答案　－<m<－5
解析　g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，∴m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，
即m≥－5；
由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，
则m＋4≤－9，即m≤－.
∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－<m<－5.
反思归纳　正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想．一般有两种情形：正面解决比较困难，正面出现多种情形，可考虑从反面解决，体现了对立统一，相互转化的思想．
变式训练2　(2012·北京)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，则m的取值范围是________．
答案　(－4,0)
解析　将问题转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0的解集的子集求解．
∵g(x)＝2x－2<0，∴x<1.
又∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，
∴[1，＋∞)是f(x)<0的解集的子集．
又由f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0知m不可能大于等于0，因此m<0.
当m<0时，f(x)<0，即(x－2m)(x＋m＋3)>0，
若2m＝－m－3，即m＝－1，此时f(x)<0的解集为{x|x≠－2}，满足题意；
若2m>－m－3，即－1<m<0，此时f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<－m－3}，依题意2m<1，即－1<m<0；
若2m<－m－3，即m<－1，此时f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>－m－3}，依题意－m－3<1，
∴m>－4，∴－4<m<－1.综上可知，满足条件的m的取值范围是－4<m<0.
题型三　函数、方程、不等式之间的转化
例3　 设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a>1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
审题破题　(1)求f′(x)＝0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)>0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.
解　(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．
由已知a>1，∴2a>2，
∴令f′(x)>0，解得x>2a或x<2，
∴当x∈(－∞，2)和x∈(2a，＋∞)时，f(x)单调递增，
当x∈(2,2a)时，f(x)单调递减．
综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数．
(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值．
f(2a)＝(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a
＝－a3＋4a2＋24a＝－a(a－6)(a＋3)，
f(0)＝24a.
由题设知即
解得1<a<6.故a的取值范围是(1,6)．
反思归纳　函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
变式训练3　已知函数f(x)＝eln x，g(x)＝f(x)－(x＋1)．(e＝2.718……)
(1)求函数g(x)的极大值；
(2)求证：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N*)．
(1)解　∵g(x)＝f(x)－(x＋1)＝ln x－(x＋1)，
∴g′(x)＝－1(x>0)．
令g′(x)>0，解得0<x<1；
令g′(x)<0，解得x>1.
∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)极大值＝g(1)＝－2.
(2)证明　由(1)知x＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，
∴g(x)≤g(1)＝－2，即ln x－(x＋1)≤－2⇒ln x≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)，
令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)，取t＝(n∈N*)，
则>ln＝ln，
∴1>ln 2，>ln ，>ln ，…，>ln，
叠加得1＋＋＋…＋>ln(2···…·)＝ln(n＋1).

典例　(12分)已知函数f(x)＝x3＋x2＋x(a是小于1的正实数，x∈R)．若对于任意的三个实数x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，求实数a的取值范围．
规范解答
解　因为f′(x)＝x2＋x＋＝(x＋a－2)，所以令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝2－a. [2分]
由0<a<1，知1<2－a<2. [3分]
所以令f′(x)>0，得x<，或x>2－a；
令f′(x)<0，得<x<2－a，
所以函数f(x)在(1,2－a)上单调递减，在(2－a,2)上单调递增． [5分]
所以函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2－a)＝(2－a)2，最大值为max{f(1)，f(2)}＝
max.
因为当0<a≤时，－≥a；
当<a<1时，a>－，
由对任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，得2[f(x)]min>[f(x)]max(x∈[1,2])．
[7分]
所以当0<a≤时，必有2×(2－a)2>－，结合0<a≤可解得1－<a≤；[9分]
当<a<1时，必有2×(2－a)2>a，结合<a<1可解得<a<2－.[11分]
综上，知所求实数a的取值范围是1－<a<2－. [12分]
评分细则　(1)求出f′(x)给1分；(2)讨论时将a的范围分为0<a<和≤a<1一样给分；讨论时a的值有重、漏情况扣1分；(3)“综上……”结论不写扣1分．
阅卷老师提醒　将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f(x)在[1,2]上的最大值和最小值问题是解决本题的一个突破口．此外，要注意函数f(x)在[1,2]上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f(1)与f(2)的大小关系．

1． 设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，
则点P横坐标的取值范围为
2． 设a＝(sin 17°＋cos 17°)，b＝2cos213°－1，c＝，则a，b，c的大小关系是
3． 方程sin2x＋cos x＋k＝0有解，则k的取值范围是
4． 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
5． 设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
6． 已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N＋，若数列{cn}满足cn＝
ban，则c2 013＝________.
专题限时规范训练
一、填空题1． 在△ABC中，三边长a，b，c满足a＋c＝3b，则tan tan 的值为
2． 等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an>0的最小正整数n为
3． AB是过抛物线x2＝4y的焦点的动弦，直线l1，l2是抛物线两条分别切于A，B的切线，则l1，l2的交点的纵坐标为
4． 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是
5． 棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
6． 设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0，O为坐标原点，且||＝||，则该双曲线的离心率为
7． P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为
8． 已知函数f(x)＝1＋x－＋－＋…＋，g(x)＝1－x＋－＋－…－，设
F(x)＝f(x＋4)·g(x－4)，且函数F(x)的零点在区间[a－1，a]或[b－1，b](a<b，a，b∈Z)内，则a＋b的值为 ．
9． 设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为__________．
10．在Rt△ABC中，C＝，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，r，S分别表示它的内切圆半径和面积，则的取值范围是__________．
11． 如果函数f(x)＝x2－ax＋2在区间[0,1]上至少有一个零点，则实数a的取值范围是_______．
12．若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________．
二、解答题
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－
sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cos A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．
14．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.