第四讲转化与化归思想.doc

第四讲转化与化归思想1转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题2转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性3转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的(3)具体化原则：化归方向应由抽象到具体(4)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决1已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1，S2a3，则a2_.2 4cos 50tan 40等于3 已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是4 (2011天津)对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(x1)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 5设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为题型一特殊与一般的转化例1(1)，(其中e为自然常数)的大小关系是 (2)在定圆C：x2y24内过点P(1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则的范围是_审题破题(1)观察几个数的共同特征，可以构造函数，利用函数的单调性比较数的大小；(2)由于题目条件中过点P(1,1)可作无数对互相垂直的直线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题答案(1)A(2)解析(1)由于，故可构造函数f(x)，于是f(4)，f(5)，f(6).而f(x)，令f(x)0得x0或x2，即函数f(x)在(2，)上单调递增，因此有f(4)f(5)f(6)，即.(2)设t，考虑特殊情况：当AB垂直OP时，MN过点O，|AB|最小，|MN|最大，所以t最小，t最大.所以t.又因为t2 2，所以t.反思归纳当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题变式训练1已知等差数列an的公差d0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是_答案解析由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，an取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的因此，可把抽象数列化归为具体数列比如，可选取数列ann(nN*)，则.题型二正难则反转化例2若对于任意t1,2，函数g(x)x3x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_审题破题函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g(x)在区间(t,3)上为单调函数答案m5解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t,3)上恒成立，m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x在x(t,3)上恒成立，则m49，即m.函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为m5.反思归纳正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想一般有两种情形：正面解决比较困难，正面出现多种情形，可考虑从反面解决，体现了对立统一，相互转化的思想变式训练2(2012北京)已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2，若xR，f(x)0或g(x)0，则m的取值范围是_答案(4,0)解析将问题转化为g(x)0的解集的补集是f(x)0的解集的子集求解g(x)2x20，x1.又xR，f(x)0或g(x)0，1，)是f(x)0的解集的子集又由f(x)m(x2m)(xm3)0知m不可能大于等于0，因此m0.当m0时，f(x)0，若2mm3，即m1，此时f(x)m3，即1m0，此时f(x)2m或xm3，依题意2m1，即1m0；若2mm3，即m1，此时f(x)0的解集为x|xm3，依题意m34，4m1.综上可知，满足条件的m的取值范围是4m1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围审题破题(1)求f(x)0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.解(1)f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)由已知a1，2a2，令f(x)0，解得x2a或x1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数(2)由(1)知，当x0时，f(x)在x2a或x0处取得最小值f(2a)(2a)3(1a)(2a)24a2a24aa34a224aa(a6)(a3)，f(0)24a.由题设知即解得1aln(n1)(nN*)(1)解g(x)f(x)(x1)ln x(x1)，g(x)1(x0)令g(x)0，解得0x1；令g(x)1.函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)极大值g(1)2.(2)证明由(1)知x1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，g(x)g(1)2，即ln x(x1)2ln xx1(当且仅当x1时等号成立)，令tx1，得tln(t1)，取t(nN*)，则lnln，1ln 2，ln ，ln ，ln，叠加得1ln(2)ln(n1). 典例(12分)已知函数f(x)x3x2x(a是小于1的正实数，xR)若对于任意的三个实数x1，x2，x31,2，都有f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，求实数a的取值范围规范解答解因为f(x)x2x(xa2)，所以令f(x)0，解得x1，x22a.2分由0a1，知12a0，得x2a；令f(x)0，得x2a，所以函数f(x)在(1,2a)上单调递减，在(2a,2)上单调递增5分所以函数f(x)在1,2上的最小值为f(2a)(2a)2，最大值为maxf(1)，f(2)max.因为当0a时，a；当a，由对任意x1，x2，x31,2，都有f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，得2f(x)minf(x)max(x1,2)7分所以当0，结合0a可解得1a；9分当aa，结合a1可解得a2.11分综上，知所求实数a的取值范围是1a2.12分评分细则(1)求出f(x)给1分；(2)讨论时将a的范围分为0a和a0的最小正整数n为 3 AB是过抛物线x24y的焦点的动弦，直线l1，l2是抛物线两条分别切于A，B的切线，则l1，l2的交点的纵坐标为 4 若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是 5 棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 6 设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使()0，O为坐标原点，且|，则该双曲线的离心率为 7 P为双曲线1的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为 8 已知函数f(x)1x，g(x)1x，设F(x)f(x4)g(x4)，且函数F(x)的零点在区间a1，a或b1，b(ax2x的解集为x|1x2，则实数m的值为_二、解答题13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影14正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn.