高数函数的极值与最大最小值(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第五节 函数的极值与最大最小值,一、函数极值的定义,二、函数极值的求法,三、最大值最小值问题,四、小结 作业,2,一、函数极值的定义,3,函数的极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,定义,设函数,f,(,x,0,),在点,x,0,的某邻域,U,(,x,0,),内有定义,如果对于去心邻域,U,(,x,0,),内的任一,x,有,f,(,x,),f,(,x,0,),),那么就称,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),的一个,极大值,(或,极小值,).,o,4,函数的极大值、极小值,是,局部性,的,.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大,于某个极大值,.,只是,一点附近,的,5,二、函数极值的求法,定理,1,(,必要条件,),定义,注意,:,例如,6,定理,2(,第一充分条件,),设,f,(,x,),在,x,0,处 连续,且在,x,0,的某去心邻域内可导,.,(,是极值点情形,),7,(,不是极值点情形,),注意,:,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,.,例,y,=|,x,|,极小值点,x,=0,但,x,=0,是,y,=|,x,|,的不可导点,.,驻点和不可导点统称为,可疑极值点,8,求极值的步骤,:,以及不可导点；,(4),求出各极值点的函数值,就得函数,f,(,x,),的全部极值.,9,例,解,列表讨论,极大值,极小值,10,例,.,求函数,的极值,.,解,:,1),求导数,2),求极值可疑点,令,得,令,得,3),列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,11,例,解,12,定理,3(,第二充分条件,),证,同理可证,(2).,13,例,解,14,注,仍用第一充分条件,定理,3(,第二充分条件,),不能应用,.,事实上,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值,.,如,在,x,=0,处,分别属于上述三种情况,.,15,例,2.,求函数,的极值,.,解,:,1),求导数,2),求驻点,令,得驻点,3),判别,因,故 为极小值,;,又,故需用第一判别法判别,.,16,定理,4,(,判别法的推广,),若函数 在,的邻域,内，,存在且有界,则,:,1),当,为偶数,时,是极小点,;,是极大点,.,2),当,为奇数,时,为极值点,且,不是极值点,.,当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确,.,证,:,利用 在 点的泰勒公式,可得,17,例如,例,2,中,所以,不是极值点,.,极值的判别法,(,定理,2,定理,4),都是充分的,.,说明,:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在,.,例如,:,为极大值,但不满足定理,1,定理,3,的条件,.,18,三、最大值最小值问题,19,求最大值最小值的步骤,:,1.,求驻点和不可导点,;,2.,求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,其中最大的就是,f,(,x,),在区间,a,b,上的,最大值,最小的就是最小值,.,20,特别注意,:,当 在 内只有,一个,极值可疑点时,当 在 上,单调,时,最值必在端点处达到,.,若在此点取极大 值,则也是最大 值,.,(,小,),对应用问题,有时可根据,实际意义,判别求出的,可疑点是否为最大值点或最小值点,.,(,小,),21,解,例,求函数,在闭区间,0,3,上的,最大值与最小值,.,先求出驻点与不可导点,不可导点：,令,得驻点,比较不可导点，驻点以及区间端点的函数值：,最大值为：,最小值：,22,实际问题求最值应注意,:,(1),建立目标函数,;,(2),求最值,;,23,(,k,为某一常数,),例,4.,铁路上,AB,段的距离为,100 km,工厂,C,距,A,处,20,AC,AB,要在,AB,线上选定一点,D,向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为,3,:,5,为使货,D,点应如何选取,?,20,解,:,设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故,AD,=15 km,时运费最省,.,总运费,物从,B,运到工厂,C,的运费最省,从而为最小值点,问,Km,公路,24,例,5.,光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播,.,一束,光线由空气中,A,点经过水面到达,B,点,已知光在空气,中和,水中的传播速度分别为,和,试确定光线传播的路径,.,解,:,建立坐标系,(,如图,),光从,A,点到,B,点所需的时间为,25,又,在,0,l,上连续,由,介值定理,在,(,0,l,),内存在,唯一的零点,且,是 在,(,0,l,),内的唯一极小值点,从而也是,0,l,上的最小值点,.,而由,得,于是,（,折射定律,）,26,例,6.,把一根直径为,d,的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高,h,和,b,应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大,?,解,:,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择,.,27,用开始移动,例,7.,设有质量为,5 kg,的物体置于水平面上,受力,作,解,:,克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题,.,为多少时才可使力,设摩擦系数,问力,与水平面夹角,的大小最小,?,28,令,解得,而,因而,F,取最小值,.,解,:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题,.,29,清楚,(,视角,最大,)?,观察者的眼睛,1.8,m,例,8.,一张,1.4 m,高的图片挂在墙上,它的底边高于,解,:,设观察者与墙的距离为,x,m,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙,2.4 m,处看图最清楚,.,问观察者在距墙多远处看图才最,30,四、小结,注意最值与极值的区别,.,最值是整体概念而极值是局部概念,.,实际问题求最值的步骤,.,极值是函数的局部性概念,:,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,.,驻点和不可导点统称为,可疑极值点,.,函数的极值必在,可疑极值点,取得,.,判别法,第一充分条件,;,第二充分条件,;,(,注意使用条件,),31,思考与练习,1.,设,则在点,a,处,().,的导数存在,取得极大值,;,取得极小值,;,的导数不存在,.,B,提示,:,利用极限的保号性,.,32,2.,设,在,的某邻域内连续,且,则在点,处,(,A,),不可导,;,(,B,),可导,且,(C),取得极大值,;,(,D,),取得极小值,.,D,提示,:,利用极限的保号性,.,33,3.,设,是方程,的一个解,若,且,则,在,(,A,),取得极大值,;,(,B,),取得极小值,;,(,C,),在某邻域内单调增加,;,(,D,),在某邻域内单调减少,.,提示,:,A,34,作业,P162 1,(4),(5);,2;3;4,；,5 ;,15,