三角尺中的全等.doc

有关三角尺中的全等问题
1、如图1（），两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点．
（1）将图1（）中的绕点顺时针旋转角，在图1（）中作出旋转后的（保留作图痕迹，不写作法，不证明）．
（2）在图1（）中，你发现线段，的数量关系是 ，直线，相交成 度角．
（3）将图1（）中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图1（），这时（2）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．

2、如图，四边形ABCD是正方形，（1）在图1中，直角三角尺AMN的直角顶固定在A处，在旋转过程中一条直角边和CB的延长线交于一点P，另一条直角边CD交于Q点。请你通过测量PB和DQ的长度，猜想PB和DQ满足的数量关系和怎样的变换关系，并证明你的猜想。
（2）在图2中，直角三角尺AON的45°角顶固定在A处，在旋转过程中一条直角边和CB交于点R，斜边AN和CD交于Q点。请你通过测量BR和RQ及DQ的长度，猜想QR与BR、DQ满足的数量关系，并利用上面的变换方法证明你的猜想。

3、如图3－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图3－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
图3－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图3－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
（2）若三角尺GEF旋转到如图3－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图3－1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )

4、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD、把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
⑴　当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图①），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
⑵　当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图②），你在⑴中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

5、如图5—1，5—2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．
（1）如图5—1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③请证明你的上述两个猜想．
A
B
C
D
E
M
F
图5—1
N
A
B
C
D
E
M
F
图5—2
（2）如图5—2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．

A
B
C
E
F
G
图6-2
D
A
B
C
D
E
F
G
图6-3
A
B
C
F
G
图6-1

6、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图6-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图6-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图6-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）

参考答案
1、解：（1）如图1（）（字母位置互换扣1分，无弧扣1分，不连结扣1分，扣完为止）
　　（2）；
（3）成立．如图1（）
即：（或由旋转得）　　

延长交于，交于（下面的证法较多）
，

旋转更大角时，结论仍然成立．
2、解：（1）①PB=DQ②DQ可以绕点A旋转90°到PB。
3、解：（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．
又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN
（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．
4、（1）BE＝CF. 证明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE＋∠EAC＝∠CAF＋∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF.∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）.∴BE＝CF.
（2）BE＝CF仍然成立.
根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF全等，BE和CF是它们的对应边.所以BE＝CF仍然成立.
5、解：（1）①DE=EF；  ②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=AD，AE=EB=AB，
∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°﹣∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，
∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．
（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．
证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．
A
B
C
E
F
G
图7
H
D
6、（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中，∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，
∴△ABF≌△ACG（AAS），∴BF=CG．
（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图7）．
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG，
∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG．∴∠GBC=∠HDC．
∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），∴DF=CH．
∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG． （3）仍然成立．