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培优综合训练方法

1．已知集合M={x|x∈R，5－|2x－3|∈N+}，则M的所有非空真子集的个数是（ ）
A．254 B．255 C． 510 D． 511 [答]（ C ）
2．已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C.则sinB+cosB的取值范围是
A．(1，1+ B．[，1+
C．（1， D．[， [答]（ C ）
3．设an=2n，bn=n，（n=1，2，3，。。。），An、Bn分别为数列{an}、{bn}的前n项和。记cn=anBn+bnAn—anbn，则数列{cn}的前10项和为
A．210+53 B.2 11 +53
C.110×（2 9－1） D.110×（2 10－1） [答]（ D ）
4．将一些半径为1的小圆放入半径为11的大圆内，使每个小圆都与大圆相内切，且这些小圆无重叠部分，则最多可以放入的小圆的个数是
A．30 B.31 C.32 D.33 [答]（ B ）
5．设a（0＜a＜1）是给定的常数，f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上递减。
若f（）=0，f（logax）＞0，那么x的变化范围是____或_____.
6．已知点P是双曲线－=1上的动点，F、F分别是其左、右焦点，O为坐标原点，则的取值范围_________________.
7．（本小题满分20分）已知函数f（x）=2x+alnx
（1）若a＜0，证明：对于任意两个正数x1，x2，总有≥f()成立；
（2）若对任意x∈[1，e]，不等式f（x）≤（a+3）x－x2恒成立，求a的取值范围。
解：（I）.
………（5分）
因为 所以, ，
又， 故，所以，； …（10分）
（Ⅱ）因为对恒成立，
故， ，
因为,所以，因而 ，……………………（15分）
设
因为，
当时, ,，所以，
又因为在和处连续 ，所以在时为增函数，
所以

8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，－b）和B（a，0）的直线与原点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（－2，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D两点，证明：对任意的t＞0，都存在k ，使得以线段CD为直径的圆过E点.
解：（I）直线的方程为， 依题意得
解得， 所以，椭圆方程为．……………………………（5分）
（Ⅱ）将代入椭圆方程，得，
由直线与椭圆有两个交点，
，，……（1） …………（10分）
设，则，，……（2）
以为直径的圆过点，，即，
而，
，将（2）代入，
，解得，…………（15分）
，，即满足（1），
所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点．……（20分

9.已知数列{an}中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2－（3k+2k）x+3k×2 k =0的两个根.
（1）求数列{an}的前2n项和S2n.
（2）记f（n）=（+3），Tn=+++…+，
求证：≤Tn≤（n∈N+）
（I）解：方程的两个根为
，，

．
(Ⅱ) 证明：，
所以，．
当时，

，
同时，
．
综上，当时，．