路基不均匀沉降对车辆和轨道动力响应的影响.pdf

第 4 3卷第 8 期 2 0 1 5 年 8月 同 济 大 学 学 报(自 然 科 学 版)J 0 U R N A L O F T O N G J I U N I v E R S I T Y(N A T U R A L s c I E N c E)Vo I _ 4 3 No 8 Au g2 0 1 5 文章编号：0 2 5 3 3 7 4 X(2 0 1 5)0 6 1 1 8 7 0 7 D O I：1 0 1 1 9 0 8 j i s s n 0 2 5 3 3 7 4 x 2 0 1 5 0 8 0 1 0 路基不均 匀沉 降对 车辆和轨道动 力响应 的影 响 张 小会，周顺华，宫全 关，杨 新文(同济大学 道路与交通工程教育部重点实验室，上海 2 0 1 8 0 4)摘要：以经典车辆一 轨道耦合动力学为基础，推导了考虑重力 的板式轨道相关结构振动方程，结合多刚体的车辆系统动力 学模型，建立了考虑重力的车辆一 板式轨道垂 向耦合分析模 型，提出了通过路基反力变化模拟路基不均匀沉降的具体方 法，并对模型和方法进行了必要 的验证 利用该模型研究了 行车速度及路基不均匀沉降(包括路基不均匀沉降幅值、路 基不均匀沉降波长等)对系统动力响应的影响 研究表明：随 着行车速度和路基不均匀沉降幅值的增加，系统响应均相应 增加，路基不均匀沉降对车辆运行影响的控制性指标应以舒 适性指标为主、安全性指标为辅；随着路基不均匀沉降波长 的增加，系统动力响应存在一个先增加后减小的过程，路基 不均匀沉降的敏感波长与混凝土底座的长度有关 关键词：板式轨道；路基沉降；重力作用；动力响应 中图分类号：U2 1 1 5；U2 1 3 文献标志码：A E f f e c t o f S u b g r a d e Di f f e r e n t i a l S e t t l e me n t o n D y n a mi c Re s p o n s e o f Ve h i c l e a n d S l a b T r a c k Ve r t i c a l C o u p l e d S y s t e m Z H A N G X i a o h u ，2 t t O U S h u n h u a，G O N G Q u a n m e i，Y A N G Xi n w e n (Ke y La b o r a t o r y o f Ro a d a n d Tr a f f i c En g i n e e r i n g o f t h e Mi ni s t r y o f E d u c a t io n，T b n 旦 j i Un i v e r s i t y，S h a n g h a i 2 0 1 8 0 4，C h i n a)Ab s t r a c t：B a s e d o n t h e t h e o r y o f v e h i c l e t r a c k c o u p l i n g d y n a mi c s。t h e v i b r a t i o n d i f f e r e n t i a 1 e q u a t i o n s o f r a i 1，t r a c k p l a t e a n d c o n c r e t e f o o t i n g i n t h e s l a b-t r a c k s y s t e m we r e d e d u c e d c o n s i d e r i n g t h e g r a v i t y o f t r a c k s t r u c t u r e C o mb i n e d wi t h t h e v e h i c l e d y n a mi c s mo d e l o f mu l t i r i g i d b o d i e s，a v e h i c l e a n d s l a b t r a c k v e r t i c a l c o u p l e d d y n a mi c s mo d e l wa s e s t a b l i s h e d c o n s i d e r i n g t h e g r a v i t y o f t r a c k s t r u c t u r e Th e me t h o d o f c o n t r o l l i n g s u b g r a d e r e a c t i o n f o r c e wa s p r o p o s e d t o a n a l y z e t h e d y n a mi c r e s pon se o f v e h i c l e s l a b t r a c k s y s t e m i n d u c e d b y a wi d e r a n g e o f s u b g r a d e d i f f e r e n t i a l s e t t l e me n t，a n d t h e c o u p l e d mo d e l a n d c o n t r o 1 me t h o d we r e v e r i f i e d t o b e a c c u r a t e a n d r e l i a b l e Th e f a c t o r s o f S U b g r a d e d i f f e r e n t i a 1 s e t t l e me n t a f f e c t i n g t h e d y n a mi c r e s po n s e o f t h e s y s t e m，i n c l u d i n g d r i v i n g s p e e d，ma g n i t u d e o f the s e t t l e me n t a n d wa v e l e n g t h o f t h e s e t t l e me n t，we r e a n a l y z e d Th e r e s u l t s h o ws t h a t t h e d y n a mi c s r e s pon s e i n c r e a s e s wi t h t h e d r i v i n g s p e e d a n d the ma g n i t u d e o f t h e s e t t l e me n t Th e c o mf o r t i n d e x s h o u l d be t r e a t e d a s th e p r i ma r y i n d e x wh i c h i S mo r e i mp o r tan t t h a n t h e s a f e t y i n d e x wh e n f a c i n g d i f f e r e n t i a l set t l e me n t Al o n g wi t h t h e wa v e l e n g t h o f s e t t l e me n t i n c r e a s i n g，the r e l a t i v e r e s po n s e f i r s t i n c r e a s e s a n d t h e n d e c r e a s e s Th e r e e x i s t s a s e n s i t i v e wa v e l e n g t h o f t h e d i f f e r e n t i a l s e t t l e me n t wh i c h i S r e l a t e d wi t h t l 1 e I e n g t 1 0 f c o n c r e t e b a s e Ke y wo r d s：s l a b t r a c k；s u b g r a d e s e t t l e me n t；s e l f-we i g h t；d y n a mi c r e s p o n se 在我 国已建或规划 的铁路线路 中，无砟轨道线 路 占有相 当大的 比例，而板式无砟轨道 由于其具有 稳定性好、平稳性高及维修性优 良等特点，逐步成为 其轨道结构选择的主流模式 目前，我国板式无砟轨 道主要修建于隧道内、桩基础 和复合地基基础之上，土建成本 巨大 关于在土质路基上修建板式无砟轨 道的研究 尚处于起步阶段，其技术难点在于在部分 地区，特别是软土地 区，板式无砟轨道由于受到周边 荷载环境变化 的影响，不可避免地 出现路基不均匀 沉降的情况，直接影 响列车的运行安全和舒适性 因 此确定合理的路基不均匀沉降限值是其 亟需解决 的 问题之一 然 而现有 的无砟轨道规范 中路基不均匀 沉降限值的制定主要基于无砟轨道结构强度设计理 论，并未考虑路基不均匀沉降对 于系统动力响应 的 影响，而其动力响应将直接影 响列车的运行安全性、乘客舒适性以及相关结构部件的损耗 大量学者对路基不均匀沉降影响系统动力响应 收稿 日期：2 0 1 4 0 3 2 5 基金项 目：国家 自然科 学基金(5 1 4 7 8 3 5 3)；中央高校基本科研业务费；教育部高等学校博士学科点专项科研基金(2 0 1 1 0 0 7 2 1 1 0 0 2 6)第一作者：张小会(1 9 8 8 一)，男，博士生，主要研究方 向为车辆轨道动力学 E-ma i l：1 9 8 8 x i a o h u i t o n g i i e d u c a 通讯作者：周顺 华(1 9 6 4 一)，男，教授，博士生导师，工学博士，主要研究方 向为城市轨道交通结构设计 及地下工程 E-ma i l：z h o u s h h t o n g j i e d u c n 同 济 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 4 3 卷 的问题进行 了研究 Hu n t 1 l 对路桥过渡段处不均匀 沉降形式进行 了研究，得到了过渡段处路基不均匀 沉降对轮轨力 和扣件力 的影 响 蔡成标等l_ 2 通过建 立列车一 路基上板式轨道动力学模型，对路基不均匀 沉降波长为 2 0 m 的不 同沉降幅值情况下的动力响 应进行 了研 究，得 出了在此 情况 下沉 降 幅值 为 2 O mm的沉降控制标准是合 理的结论 周萌等|3 通过 建立三维有限元模型，通过对轨道结构在 2 0 m路基 不均匀沉降波长下的受力及变形分析，肯定 了文献 2 的结论，并从混凝土抗拉极限强度的角度提 出了 混凝土底座配受拉钢筋 的建议 韩义涛等 4 通 过建 立车辆一 板式轨道垂 向动力模 型，考虑路基不均匀沉 降完全转化为轨面不均匀沉降，对路基不均匀沉降 波长为 2 0 m 的情况下的动力响应进行了计算，并引 人列车速度的影 响，提出了考虑 车速 的路基不均匀 沉降限值 徐庆元等l 5 将车体视为多刚度多 自由度 系统建立动力方 程，钢轨及 下部结构均采用大型三 维有 限元建立，通过轮轨力来 实现两个子系统 的交 互计算，对列车速度为 3 5 0 k m h、路基不均匀沉 降波长为 2 0 m 的各种类型无砟轨道的动力响应进 行 了计算，并 引入了温度应力 的影响，提出了相关路 基不均匀沉降的限值标准 现有研究仅对特定波 长情 况下，路基 不均匀沉 降幅值影响系统 动力 响应进行 了分析，对不 同的路 基不均匀沉 降波长对 系统动力 响应 的影 响缺 乏研 究 此外，传统 的车辆一 板式无砟轨 道动力分 析方法 不考虑轨道结构 重力作用，在 车辆荷载到达之前轨 道结构会处于悬空状态(见 图 l a)，车辆荷载到达后 轨道结构开始下沉并 与沉降后 的路基顶面接触 这 与实际情况存在明显差异(见图 l b)，并会带来相关 动力响应的计算偏差，因而传 统模 型在处理这类问 题时存在一定的局限性 a传统的车辆一 板式无砟轨道 动力分析方法 b实际情况 图 1 列车通过前不均匀沉降情况下轨道结构示意图 Fi g 1 T r a c k s t r u c t u r e b e f o r e t r a i n a r r i v a l 为解决 以上问题，本文 以经典车辆一 轨道耦合动 力学_ 7 为基础，推导 了考虑重力 的板式轨 道结构振 动方程，结合多刚体的车辆系统动力学模型，建立考 虑重力的车辆 板式轨道垂 向耦合分析模型，提出通 过路基反力变化模拟路基不均匀沉降的具体方法，并对模型和方法进行 了必要 的验证 利用该模型和 方法，针对 目前板式轨道路基不均匀沉降规范限值 中存在的问题，本文分析了行车速度、路基不均匀沉 降幅值、波长对于车辆一 板式轨道系统动力响应的影 响，选择轮轨力、车体垂向加速度及轮重减载率等作 为评价指标，从动力响应角度，对路基不均匀沉降规 范的制定提 出一定的意见和建议 1 考虑重力的车辆一 板式轨道垂 向模 型 1 1 车辆动力学模型 车辆被模拟为包括车体、转向架、轮对在 内的多 刚体系统，具有 1 O个 自由度，包括车体沉 浮和点头 运动、前后转 向架沉浮和点头运动、4个轮对垂 向运 动，车体与转 向架之间通过二系悬挂相连，转 向架 与 轮对之间通过一系悬挂相连 7 车辆模型中各刚体在各 自由度上的动力学方程 可以统一表示成如下形式：M+C文+K x P 其 中：M，C和 K 分别为车辆系统 的质量、阻尼和 刚 度矩阵；x，X和 X分别为车辆系统的广义加速度矢 量、广义速度矢量和广义位移矢量；P为车辆系统的 广义荷载矢量 车辆模 型及后续提 出考虑重力 的板 式轨道结构动力学模型的求解均采用文献 8 中新 型显式积分 方法进行求解 轮轨接触关系为车辆振 动和板式轨道结构振动两个耦合 因素之 间的耦合条 件，通过非线性轮轨力来模拟，轮轨力通过 He r t z 非 线性弹性接触理论求解 1 2 板式轨道动力学模型 在考虑重力 的板式轨道结构动力 学模 型 中，钢 轨、轨道板及混凝土底座均被模拟为欧拉梁：其 中钢 轨的边 界条件为两端简支，轨道板及混凝 土底座 的 边界条件为两端 自由 C A砂浆(水泥乳化沥青砂浆)及路基被视为离散的弹簧阻尼系统，见图 2 以 y(x，)表示欧拉梁 的垂向位移，并规定其正 方向为垂直 向下，7 为单位长度 的欧拉梁质量，E1 为欧拉梁截面抗弯刚度，在欧拉梁 的任意截面 处 选取一微段，其质量为 g 妇，微段上作用有 弯 矩 M、剪力 Q及外力 F(z，)，见 图 3 根据牛顿定律，考虑微段所受重力，忽略截面转 第 8期 张小会，等：路基不均匀沉降对车辆和轨道动力 响应 的影 响 超过 0 1 3 g的限值 蚤 恭 辩 图 1 O 不同路基不均匀沉降波长下的轮轨力 Fi g 1 0 e e l-r a i l c o n t a c t f o r c e s 图 1 l 不 同路基不 均匀沉降波长 下的减载 率 Fi g 1 1 Ma x i mu m a x l e l o a d d e c r e me n t r a t i o 总体而言，车体垂向加速度随路基不均匀沉降 波长变化的趋势 为初 始迅速增加，在波长 为 8 1 0 m 时达到峰值，之后缓慢减小 考虑到模型中底座板 的长度为 1 0 m，在路基不均 匀沉降波长较 小时，混 凝土底座下脱空范 围小，底座对 于变形有一定 的抵 抗作用，轨面沉降远小于路基不均匀沉降幅值，表现 出在路基不均匀沉降波长在 3 6 m 时列车 的轮重 减载率和车体垂 向加速度都变化较小 随着混凝土 底座下脱空范围的增加，底座对于变形的抵抗能力 减弱，轮重减载率及车体垂 向加速度均迅速增加 在 路基不均匀沉降大于 1 0 m 后底座抵抗变形 的能力 趋于稳定，随着路基不均匀沉降的增加，轨面垂 向坡 度变化逐渐放缓，表现为 轮重减载率和车体垂 向加 速度随不均匀沉降波长增加而减小的趋势 匿 1 肄 j 捡 针 图 1 2 不 同路基不 均匀沉降波长下的车体垂 向加速度 Fi g 1 2 Ma x i mu m v e r t i c a l a c c e l e r a t i o n o f v e hi c l e 3 结论 本文为研究路基不均匀沉 降对于 C R TS I 型板 式无砟轨道动力响应 的影响，建立 了考虑重力 的车 辆一 板式轨道垂 向耦合分析模型，提 出通过路基反力 变化模拟路基不均匀沉降 的具体方法，并对模型和 方法进行了验证 通过对行车速度、路基不均匀沉降 幅值、波长进行研究，得到如下路基不均匀沉降影响 板式无砟轨道动力响应的结论：(1)针对在相同不均匀沉 降波长 和位置条件下 的列车速度和不均匀沉降幅值对系统动力响应 的研 究表 明，随着行车速度和路基不均匀沉降幅值 的增 加，系统动力响应均相应增加，路基不均匀沉降对车 辆运行影响的控制性指标应以舒适性指标为主、安 全性指标为辅，对于速度为 2 0 0和 3 0 0 k m h 的 情况而言，波长 2 0 m下幅值大于 2 0 mm 时相关动 力参数超过既有标准(2)针对路基不均匀沉降波长对 系统动力 响应 的研究表明，存在路基不均匀沉降的敏感波长，该波 长与混凝土底座 的长度有关，对于文 中讨论 的工况 而言，8 1 0 I I 1 为其不均匀沉降的敏感波长 在制定 路基不均匀沉降标准时应考虑敏感波长，确保在最 危险的波长条件 下系统 的动力 响应仍能满 足相关 限值 (下转第 1 2 5 3页)第 8期 刘修 国，等：一种改进 的最大一致性点云几何基元拟合算法 1 2 5 3 (2)：2 1 4 5 Z h a n g G，K a r a s e v P，B r i l a k i s I，8 t o A s p a r s i t y i n d u c i n g o p t i mi z a t i o n a l g o r i t h m f o r t he e xt r a c t i o n o f p l a n a r s t r u c t u r e s i n n o i s y p o i n t-c l o u d d a ta C P r o c e e d i n g s o f the 2 0 1 2 A S C E I nt e r n a t i o na l C on f e r e n c e o n Co mp ut i n g i n Ci v i l En g i n e e r i n g Cl e a r wa t e r Be a c h：ASC E P ub l i c at i o n s，2 0 1 2：3 1 7-3 2 4 6 K a u c i c R，H a r t l e y R，D a n o N P l a n e b a s e d p r o j e c t i v e r e c o n s tru c t i o n C E i g h t h I E E E I n t e r n a t i o n a l Con f e r e n c e o n Co mp u t e r Vi s i o nVa n c o u v e r：I EEE，2 0 0 1：4 2 0-4 2 7 7 N A NL i a n g l i a n g，S h a r f A，Z H A N GH a o，e t a 1 S ma r t b o x e s f o r i n t e r a c t i v e u r b a n r e c o n s tr u c t i o n J A C M T r a n s a c t i o n s o n Gr a p h i c s，2 0 1 0，2 9(4)：1 8 官云兰，程效军，施贵刚 一种稳健 的点云 数据平面 拟合方 法 J 同济大学学报：自然科学版，2 0 0 8，3 6(7)：9 8 1 G UA N Y u n l a n，C HE NG X i a o j u n，S H I G u i g a n g A r o b u s t me tho d f o r f i t t i n g a p l a n e t o p o i n t c lo u d s J J o u r n a l o f To n g j i Un i v e r s i t y：Na t u r a l S c i e n c e，2 0 0 8，3 6(7)：9 8 1 9 王峰，丘广新，程效军 改进 的鲁 棒迭代 最小二乘 平面 拟合算 法 J 同济 大学学报：自然科 学版，2 0 1 1，3 9(9)：1 3 5 0 WA NG F e n g，Q I U G u a n g x i n，C HE N G Xi a o j u n A n i mp r o v e d r o b u s t me t h o d f o r i t e r a t i n g l e a s t-s q u a r e s p l a n e f i t t i n g J J o u r n a l o f To n g j i Un i v e r s i t y：N a t u r a l S c i e n c e，2 0 1 1，3 9(9)：1 3 5 O 1 0 鲁铁定，周 世健，张立亭，等基 于整体最小二乘 的地 面激光 扫 描标靶球 定位 方 法 J 大地 测 量与 地球 动 力学，2 0 0 9，2 9 (4)：1 0 2 L U T i e d i n g，Z H OU S h ij i a n，Z HA NG L i t i n g，e t a 1 S p h e r e ta r g e t f i x i n g o f p o i n t c l o u d d a ta b a s e d o n T L S J J o u r n a l o f Ge o d e s y a n d Ge o d y n a mi c s，2 0 0 9，2 9(4)：1 0 2 官云兰，刘绍 堂，周世健，等 基于整体最小二乘 的稳健点云数 据平面拟合 J 大地测量与地球动力学，2 0 1 1，3 1(5)：8 0 G U A N Y u n la n，L I U S h a o t a n g，Z HO U S h i j i a n，e t a 1 R o b u s t p l a n e f i t t i n g o f poi n t c l o u d s b a s e d o n T L S J J o u r n a l o f Ge o d e s y a n d Ge o d y n a mi c s，2 0 1 1，3 1(5)：8 0 1 2 wA NG J u n，Y U Z e y u n Q u a d r a t i c c u r v e a n d s u r f a c e f i t t i n g v i a s q u a r e d d i s tan c e mi n imi z a t i o n J C o mp u t e r s&G r a p h i c s，2 Ol 1，3 5(6)：1 0 3 5 1 3 F i s c h l e r M A，B o l l e s R C R a n d o m s a mp l e c o n s e n s u s：A p a r a d i g m f o r mod e l f i t t i n g wi t h a p p l i c a t i o n s t 0 i ma ge a n a l y s i s a n d a u t o ma t e d c a r t o g r a p h y J C o mmu n i c a t i o n s o f the A C M，1 9 81，2 4(6)：3 81 r 1 4 Nu r u n n a b i A，We s t G，B e l t o n DR o b u s t o u t l i e r d e t e c t i o n a n d s a l i e n c y f e a t u r e s e s t i ma t i o n i n p o i n t c lo u d d a t a C 1 0 t h I nt e r n a t i o n a l Co nf e r e n c e o n Co mp u t e r a n d Ro b o t Vi s i o n (CRV)Re g i n a：I EEE，2 01 3：9 8-1 0 5 1 5 H o p p e H，D e R o s e T，Du c h a mp T，e t a 1 S u r f a c e r e c o n s tr u c t i o n f r o m u n o r g a n i z e d p o i n t s C P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 t h An n u a l Co n f e r e n c e o n C o mp u t e r Gr a p h i c s a n d I n t e r a c t i v e Te c h n i q u e s Ne w Yo r k：ACM P r e s s，1 9 9 2：7 1-7 8 1 6 杨元喜 抗 差估计 理 论及 其应 用 M 北京：八一 出版 社，l 9 9 3 YANG Yu a n xi Ro b u s t e s t i ma t i o n t h e o r y a n d i t s a p p l i c a t i o n s M B e i j i n g：B a y i P u b l i s h i n g Ho u s e，1 9 9 3 E 1 7 P o t t m a n n H，H o f e r MG e o m e tr y o f the s q u a r e d d is ta n c e f u n c t i o n t o c u r v e s a n d s u r f a c e s C 3 r d I n t e r n a t i o n a l Wo r k s h o p o n Vi s u a l i z a t i o n a n d Ma t h e ma t i c s B e r l i n：S p r i n g e r，2 0 0 2：2 2 1 2 4 2(上接第 1 1 9 3页)参考文献：1 2 3 4 Hu nt H E MS e t t l e me nt o f r a i l wa y tra c k n e a r b r i d g e a b u t me n t s J P r o c e e d i n g s o f th e I n s t i t u t i o n o f C i v i l E n g i n e e r s-Tr a n s p o r t，1 9 9 7，1 2 3(1)：6 8 蔡成标，翟婉明，王开云 遂渝线路基上板式轨道动力性能计算 及评估分析 J 中 国铁道科学，2 0 0 6，2 7(4)：1 7 CAI Ch e n g b ia o，Z HAI Wa n mi n g，NG Ka i y u nCa l c u l a t i o n a n d a s s e s s me n t a n a l y s i s o f t h e dy n a mi c p e r f o r ma n c e f o r s l a b t r a c k o n S u i-Y u Ra i l wa y口 C h i n a Rai l wa y S c i e n c e，2 0 0 6，2 7(4)：1 7 周萌，宫全美，王炳龙，等 路基不均 匀沉 降值 对板式 轨道动 力 响应的影响 L J 铁道标准设计，2 0 1 0(1 0)：1 Z H0 U Me n g，G 0 NG Q u a n me i，WA N G B i n g l o n g，e t a 1 E f f e c t o f d i f f e r e nt i a l s e t t le me n t o f s u b g r a d e o n d y n a mi c r e s po n se o f b a l la s t l e s s tr a c k J R a i l w a y S ta n d a r d D e s i g n，2 0 1 0(1 0)：1 韩义涛，姚力 基础沉降对土路基上 板式轨 道动力性 能影 响分 析 口 中国铁道科学，2 0 0 6，2 7(4)：1 7 HAN Yi tao YAO Li A na l y s i s o f the d y n a mi c p e r f o r ma n c e f o r s la b tr a c k s e t t l e m e n t o n e m b a n k m e n t J J o u r n a l o f R a i l w a y En g i n e e r i n g S o c i e t y，2 0 0 6，2 7(4)：1 7 5 徐庆元，李斌，范浩 路基不均匀沉降对列车 路基上无砟轨道 耦合系统动力特性 的影响 J 铁道 科学 与工程 学报，2 0 1 2，9 (3)：1 3 XU Qi n g y u a n，L I B i n，F A N H a o I n f l u e n c e o f u n e v e n s e t t l e me n t o f s u b g r a d e o n d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c o f t r a i n-b a l l a s t l e s s tra c k o n s u b g r a d e c o u p l i n g s y s t e m J J o u r n a l o f Ra i l wa y S c ie n c e a n d En g i n e e r i n g，2 0 1 2，9(3)：1 3 6 徐庆元，李斌，周智辉C R T I型板式无砟轨道 线路路基不均 匀沉降限值研究 J 中国铁道科学，2 0 1 2，3 3(2)：1 XU Q i n g y u a n，L I B i n，Z H0 U Z h i h u i S t u d y o n the l i mi t e d v a l u e f o r the u n e v e n s e t t le me n t o f s u b g r a d e u n d e r CRTSI t y p e s l a b tr a c k J C h in a Rai l w a y S c i e n c e，2 0 1 2，3 3(2)：1 7 翟婉明 车辆 轨道耦合动力学 M 3 版 北京：科学出版社，2 0 07 Z H A I Wa n mi n g V e h i c le t r a c k c o u p l i n g d y n a mi c s M 3 r d e d B e i j i n g：S c i e n c e P r e s s，2 0 0 7 8 Z H A I Wa n mi n g T wo s i mp l e f a s t i n t e g r a t i o n me tho d s f o r l a r g e s c a l e d y n a m i c p r o b l e m s i n e n g i n e e r i n g J I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r Nu me r i c a l Me t h o d s i n En g i n e e r i n g，1 9 9 6，3 9(2 4)：4 1 9 9 9 曹志远 板壳振动理论 M 北京：中国铁道出版社，1 9 8 9 C A O Z h i y u a n V i b r a t i o n t h e o r y o f p l a t e a n d s h e l l M B e ij i n g：C hi n a Ra i l wa y Pu b l i s h i n g Ho u s e，1 9 89