立体几何中添加辅助线的基本方法.pdf

王正林空间几何元素位置关系的计算和证明是高考的必考内容，这类问题的解决常需要添加辅助线一些同学由于没有掌握添加辅助线的基本方法，因此解题凭感觉、很盲目，甚至以失败而告终我认为，解答立体几何问题时添加辅助线是有基本规律、基本方法的下面以线面平行的证明为例作介绍方法一，面面平行法：即经过已知直线作一个平面，使其与已知平面平行，即可得已知直线与已知平面平行方法二，线线平行法：即在已知平面内找一条直线，使其与已知直线平行，即可得已知直线与已知平面平行平面内的这条直线的找法如下：找一条与已知直线和已知平面都相交的直线，过该直线和已知直线作一个平面，这个平面与已知平面的交线就是要找的直线(如图1)；也可以分别过已知直线上两点作与已知平面相交的两条平行直线，这两条平行线与已知平面的交点的连线就是要找的直线(如图2)添加辅助线的过程本质上就是在题设图形中完整基本图形(图1、2)的过程，基本A B C D 为平行四边形，点M，N 分别在棱P A，B D 上，且髻一旦盟一一1求证：MNND2。”平交P B C 尸图3解析先考虑第一类方法(面面平行法)方法(1)：过M N 作平面与平面P B C 平行，如图4 过M 作直线M G 与P B 平行，连结G N，平面M N G 就是过直线M N 与平面P B C 平行的平面注意到M G 一定在点M与直线P B 确定的平面P A B 内；或过N 作直线N G 与B C 平行，连结G M，平面M N G 就是过直线M N 与平面P B C 平行的平面注意到N G 一定在点N与直线B C 确定的平面A B C D 内；或在棱B A _ I：取t AG，使筹一丢，连结G M，G N，平面M N G 就是过M N 与平面P B C 平行的平面矽例1在四棱锥P A B C D 中，底面图4-。薯k 一图5C万方数据如图5，注意到P A 与M N 确定的平面为P A G，点P 是平面P A G 与平面P B C 的一个公共点，平面P A G，平面P B C 与平面A B C D 的交线分别为A G，B C，它们的交点为G，点G 就是平面P A G 与平面P B C 的又一个公共点，P G 就是要找的平面P B C 内与已知直线M N 平行的直线方法(3)：考虑到直线B D 是与直线M N，平面P B C 都相交的直线，应用基本图形1 添加辅助线如图6，注意到B D 与M N 确定的平面为D M N，点B 是平面D M N 与平面P B C 的一个公共点，平面D M N，平面P B C 与平面P A D 的交线分别为D M，P G(过点P 与直线B C 平行的直线)，它们的交点为G，点G 就是平面D M N 与平面P B C 的又一个公共点，B G 就是要找的平面P B C 内与已知直线M N 平行的直线尸图6图7方法(4)：考虑到直线A B 或直线D C 是与平面P B C 相交的直线，应用基本图形2添加辅助线如图7，在平面P A B 内过点M 作M M，A B，交P B 于点M。，在平面A B C D 内过点N 作N N，A B，交B C 于点N，连结M。N。，直线M。N。就是要找的平面P B C 内与已知直线M N 平行的直线，例2已知四边形A B C D 为平行四边形，B C-L 平面A B E，F 为C E 的中点求证：线，显然，平行线在点E 与直线B F 所确定的平面B C E 内)如图8，在平面B C E 内，延长C B 到G，使B G=C B，连结G E，G A D图8因为F 为C E 的中点，所以G E B F 显然，B F C 平面B D F i G E C 平面B D F，所以G E 平面B D F 因为四边形A B C D 为平行四边形，所以A D B C。A D=B C，氍以A D B G，A D B G，所以四边形A G B D 为平行四边形，所以G A fB D 显然，B D C 平面B D F，G A e 平面B D F，C 所以G A 平面B D F 显然，G E，G A C 平面A E G，且G E nG AG，所以平面A E G 平面B D F 显然，A Ec 平面A E G，所以A E 平面B D F 点评方法(1)也相当于过点A 作直线B D 的平行线，读者不妨一试方法(2)：(过点E 作直线D F 的平行线，显然，平行线在点E 与直线D F 所确定的平面C D E 内)如图9，在平面A B E 内，过点E 作E GA B，取E G A B，连结D G 因为四边形A B C D 为平行四边形，所以D C?A B，D C A B，瓢以D C E G，D C 一，。l 砌p 伽U 倪钞师i r a 删t：L b a m i n a t i o 挖l _-，_万方数据图9因为F 为C E 的中点，所以K E D F，所以K E 平面B D F 还有K F A B，K F A B，所以四边形A B F K 为平行四边形，所以K A B F，所以K A 平面B D F 显然，K E，K A c 平面A E K，且K E nK A=K，所以平面A E K 平面B D F 显然，A E c 平面A E K，所以A E 平面B D F 点评方法(2)也相当于过点A 作直线B F 的平行线再考虑第二类方法(线线平行法)考虑过点A 与平面B D F 相交的直线有：A B，A D，A C，考虑过点E 与平面B D F相交的直线有：E B，E D，E C 直线A E 与直线A B，E B 分别确定同一个平面A B E，直线A E 与直线A D，E D 分别确定同一个平面A D E，直线A E 与直线A C，E C 分别确定同一个平面A C E 方法(3)：(考虑平面A B E，注意到平面B D F 与平面C D E 的交线为D F，平面A B E与平面C D E 的交线为过点E 与直线A B 平行的直线E G，直线D F 与直线E G 的交点设为G，平面B D F 内与直线A E 平行的直线即为B G)如图1 0 过点E 作与直线A B 平行的直线E G，注意到四边形A B C D 为平行四边形，平面A B E 就是由平行直线A B，E G 确定的平面，平面C D E 就是由平行直线C D，E G 确定的平面在平面C D E 内延长D F，交直线l、k 一黉一誊，+二霉h 善：毫：ro、。一，E G 于点G，连结B G D围l O由F 为C E 的中点，得C D F 丝E G F，所以C D=E G，所以A B=E G，所以四边形A B G E 为平行四边形，所以A E B G 显然B G C 平面B D F，A E 正平面B D F，所以A E 平面B D F 方法(4)：(考虑平面A D E，注意到平面B D F 与平面B C E 的交线为B F，平面A D E与平面B C E 的交线为过点E 与直线B C 平行的直线E G，直线B F 与直线E G 的交点设为G，平面B D F 内与直线A E 平行的直线即为D G)如图1 1，过点E 作与直线B C 平行的直线E G，注意到四边形A B C D 为平行四边形，平面A D E 就是由平行直线A D，E G 确定的平面，平面B C E 就是由平行直线B C，E G 确定的平面在平面B C E 内延长B F，交直线E G 于点G，连结D G 邑图1 1由F 为C E 的中点，得B C F 丝G E F，所以B C E G，所以A D E G，所以四边形A D G E 为平行四边形，所以A E D G 显然D G c 平面B D F，A E 正平面B D F，所以A E 平面B D F 万方数据方法(5)：(考虑平面A C E，注意到平面B D F 与平面A B C D 的交线为B D，平面A C E 与平面A B C D 的交线为A C，直线B D与直线A C 的交点设为0，平面B D F 内与直线A E 平行的直线即为F 0，如图1 2，设A C n B D 一0 DC上图1 2因为四边形A B C D 为平行四边形，所以点0 为A C 的中点因为F 为C E 的中点，所以F O A E 显然F 0 c 平面B D F，A E 匹平面B D F，所以A E 平面B D F _ i t|!鬻i 攀i 辫鹾灏蕤瓣灞瓣簟醺零鬻!黎瀚黼鳓黼黧脯点评可以估计，方法(5)是凭感觉可以想得到的方法由以上两例，我们一定可以感觉到是基本方法在解题过程中指导我们很自然地给出了相应的辅助线，也就是说，添加辅助线是有规律、方法可循的请按以上介绍的添加辅助线的基本方法完成下面的问题：如图1 3，在四棱D锥A 1 8 1 C 1 D l A B C D中，底面A B C D 为直角梯形，且A B C D，么A B C 一9 0。，B C，一B l C(1)求证：平面D D IC 1 吐平面A B C D；图1 3(2)设E，F 分别为棱A D，C C。的中点，求证：E F 平面C，A B(上接第2 1 页)对于圆心在原点的圆C 的标准方程z24-y 21，可以设zC 0 87 这样可以减少变量I Y S i n 对于一般情形下圆C 的标准方程：(z 一口)2+(y-6)2 一，2，可将其等价转化为(兰)+(芝尹)一1，同上，可令墨一C O S0H y-b=s i n0，即f 口-K 0 8 钆7l Y b 十r s l n0 例4知k A B C 三个顶点坐标为A(一1，0)，B(2，0)，C(0，3)，点P 是圆C：(z+1)2+(y 一2)2 4 上任意一，最，求S P A 2+P B 2+P C 2 的最大值与最小值解析设点P 的坐标为(z，y)，满足(z+1)2 4-(y 一2)2 4，所以S 一(z+1)24-y 2+(z 一2)24-y 2+z 2+(v 一3)2 3(z 24-Y 2)一2 x 一6 y 4-1 4 又因为(工+1)2+(y 一2)2 4，因此z 2+了2 一一2 z+4 y 一1，于是可以化简为S 一1 18 z+6 y 因为P 是圆C：(z+1)2+(y 一2)2 4上任意氓故可设长：旒誓中。0 2 n，所以S 一3 1+4(3 s i n 臼一4 c o s 口)，这里只含一个变量臼，进一步变形使其只含一个三角函数，即得S 一3 1+2 0 s i n(口一够)，其中t a n 驴一，9 为锐角故S。一5 1，S 一1 1 理解，是数学学习最需要的对于圆的方程我们可以从上述四个方面理解，具体解题则需学会变换角度看问题，自会增进理解，收获多多|I。_ V e 咖p 嗍吵”t r c l 小L-：r o m i 眦t i O，z 一一万方数据