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57 专题专题一一 弹簧类问题弹簧类问题 重点难点提示重点难点提示 弹簧问题是高中物理中常见的题型之一，并且综合性强，是个难点。分析这类题型对训练学生的分析综合能力很有好处。1、在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为轻弹簧。轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒。2、弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量 x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.3、因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.4、在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解，同时要注意弹力做功的特点：Wk=-（21kx22-21kx12），弹力的功等于弹性势能增量的负值。弹性势能的公式Ep=21kx2，高考不作定量要求，可作定性讨论。因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。习题分类解析习题分类解析 类型一类型一 静力学问题中的弹簧静力学问题中的弹簧 如图所示,四处完全相同的弹簧都处于水平位置,它们的右端受到大小皆为 F 的拉力作用,而左端的情况各不相同:中的弹簧的左端固定在墙上中的弹簧的左端也受到大小也为 F的拉力的作用中的弹簧的左端拴一小物块,物块在光滑的桌面上滑动中的弹簧的左端拴一个小物块,物块在有摩擦的桌面上滑动.若认为弹簧的质量为零,以 L1、L2、L3、L4依次表示四个弹簧的伸长量,则有()AL2L1 BL4L3 CL1L3 DL2=L4 分析与解答：分析与解答：题中明确说了弹簧的质量为零，故弹簧为“轻弹簧”，合力肯定为零，则两端受到的拉力的大小在这四幅图中必然相等，否则系统将有无穷大的加速度，而由胡克定律可知，弹簧在这四种情况下的伸长量是一样的，即：L1=L2=L3=L4.答案为答案为 D 变式变式 1 如图所示,a、b、c 为三个物块,M、N 为两个轻质弹簧,R为跨过光滑定滑轮的轻绳,它们均处于平衡状态.则:（）A.有可能 N 处于拉伸状态而 M 处于压缩状态 B.有可能 N 处于压缩状态而 M 处于拉伸状态 C.有可能 N 处于不伸不缩状态而 M 处于拉伸状态 D.有可能 N 处于拉伸状态而 M 处于不伸不缩状态 3 4 2 1 F F F F F 图一 58 小锦囊小锦囊 本题要求学生掌握胡克定律，并理解正比的本质特征 此外对两人拉弹簧与一人拉弹簧的受力分析也是本题设计的陷井 小锦囊小锦囊 在含有弹簧的静力学问题中,当弹簧所处的状态没有明确给出时,必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态,也可以处于压缩状态,必须全面分析各种可能性,以防以偏概全.小锦囊小锦囊 本题若从正向思考，可能难比较大，若换个角度进行思考就可以打开思路另一方面，弹簧的可逆性原理，实质上就是对称性原理的体现 分析与解答：分析与解答：研究 a、N、c 系统由于处于平衡状态,N 可能处于拉伸状态,而 M 可能处于不伸不缩状态或压缩状态;研究 a、M、b 系统由于处于平衡状态,M 可能处于压缩状态(或处于不伸不缩状态),而 N 可能处于不伸不缩状态或拉伸状态.答案为答案为 AD 变式变式 2 如图所示,重力为 G 的质点 M 与三根相同的轻质弹簧相连,静止时,相邻两弹簧间的夹角均为 1200,已知弹簧 A、B 对质点的作用力均为 2G,则弹簧 C 对质点的作用力大小可能为（）A.2G B.G C.0 D.3G 分析与解答：分析与解答：弹簧 A、B 对 M 点的作用力有两种情况：一是拉伸时对 M 的拉力,二是压缩时对 M 的弹力.若 A、B 两弹簧都被拉伸,两弹簧拉力与质点 M 重力的合力方向一定竖直向下,大小为 3G,此时弹簧 C 必被拉伸,对 M 有竖直向上的大小为 3G 的拉力,才能使 M 处于平衡状态.若 A、B 两弹簧都被压缩,同理可知弹簧 C 对 M 有竖直向下的大小为 G 的弹力.A、B 两弹簧不可能一个被拉伸,一个被压缩,否则在题设条件下 M 不可能平衡.答案为答案为 BD 变式变式 3 如图所示,两木块的质量分别为 m1和 m2,两轻质弹簧的劲度系数分别为 k1和 k2,上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接）,整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为（）A.11kgm B.12kgm C.21kgm D.22kgm 分析与解答：分析与解答：原来系统处于平衡态则下面弹簧被压缩x1 则有：gmmxk2112 ;当上面的木块刚离开上面的弹簧时,上面的弹簧显然为原长,此时对下面的木块 m2则有：gmxk222,因此下面的木块移动的距离为2121kgmxxx ,答案为答案为 C.变式变式 4 如图所示，质量为 m 和 M 的两块木板由轻弹簧连接，置于水平桌面上试分析：在 m 上加多大的压力 F，才能在 F 撤去后，上板弹起时刚好使下板对桌面无压力 分析与解答：分析与解答：设想用力 F 竖直向上拉 m，使整个系统正好被提起，所用拉力大小为(m+M)g，当上板弹起刚好使下板对桌面无压力时，弹簧弹力F的大小也应等于(m+M)g也就是说，在 m 上加竖直向下的力 F 后，使m M F 59 弹簧增加压缩量 x，若将 F 撤去后，弹簧与未加力 F 相比伸长了 x，产生的弹力F为(m+M)g，由弹簧的可逆性原理可知在 m 上所加压力 F=(m+M)g 变式变式 5 如图所示，两物体重分别为 G1、G2，两弹簧劲度分别为 k1、k2，弹簧两端与物体和地面相连。用竖直向上的力缓慢向上拉 G2，最后平衡时拉力 F=G1+2G2，求该过程系统重力势能的增量。分析与解答：分析与解答：设没有力作用时弹簧的形变量分别为 x1、x2，力作用后的形变量分别为 x1/、x2/，由题意知 x1、x2为压缩量，x1/、x2/为伸长量 无拉力 F 时 x1=(G1+G2)/k1，x2=G2/k2 加拉力 F 时 x1/=G2/k1，x2/=(G1+G2)/k2 而 h1=x1+x1/，h2=(x1/+x2/)+(x1+x2)系统重力势能的增量 Ep=G1h1+G2h2 整理后可得：22121212kGkGGGGEP 类型二类型二 在弹簧弹力作用下瞬时加速度的求解 一个轻弹簧一端 B 固定,另一端 C 与细绳的一端共同拉住一个质量为 m 的小球,绳的另一端A 也固定,如图所示,且 AC、BC 与竖直方向夹角分别为21 ,则：A.烧断细绳瞬间,小球的加速度2sin ga B.烧断细绳瞬间,小球的加速度 212sinsin ga C.在处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度 211sinsin ga D.在处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度1sin ga 分析与解答：分析与解答：在绳子烧断前,小球受力平衡,据拉密原理可知：2121sinsinsin mgFFAB,故 211sinsin mgFB,.212sinsin mgFA 烧断细绳瞬间,AF消失,而BF尚未变化（弹簧形变需时间,认为这一瞬间不变）,此时合力与AF等大反向,加速度为 212sinsin gmFaA；弹簧与球脱开时,BF消失,AF发生突变,此时重力与绳子拉力的合力为:1sin mgF.方向与 AC 垂直,所以1sin ga .答案为答案为 BD 变式变式 1 如图所示,物块 B 和 C 分别连接在轻弹簧的两端,将其静置于吊篮 A 的水G1 x2 k2 G2 x1 x1/x2/k1 F G1 Gk2 k1 60 小锦囊小锦囊 弹簧和绳是两个物理模型，特点不同。弹簧不计质量，弹性限度内k 是常数。绳子不计质量但无弹性，瞬间就可以没有。而弹簧因为有形变，不可瞬间发生变化，即形变不会瞬间改变，要有一段时间。平底板上,已知 A、B、C 三者质量相等且为 m.则将挂吊篮的轻绳烧断的瞬间,吊篮 A、物块B 和 C 的瞬时加速度分别为：A.g、g、g B.g、g、0 C.1.5g、1.5g、0 D.g、2g、0 分析与解答对物块 C 在轻绳烧断的瞬间,其受力情况不变,故其瞬时加速度为零.而对于吊篮 A 和物块 B,由于它们是刚性接触,它们之间的相互作用力可发生突变,因此在轻绳烧断的瞬间 A 和 B 的加速度相等.研究 A、B、C 系统,由牛顿定律可知：mamg23 gaaBA5.1 答案为 C.变式变式 2 如图所示,竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着两物块 P、Q,它们的质量均为 2kg,均处于静止状态.若突然将一个大小为 10N、方向竖直向下的力施加在物块 P 上,则此瞬间,P 对 Q 压力的大小为（g 取 10m/s2）：A.5N B.15N C.25N D.35N.分析与解答在物块P上突然施加一个竖直向下的力的瞬间P和Q的加速度相等.研究 P、Q 系统,据maF2 2/5.2smaaQP 研究 P 物块,据 NNmaNFmg25 .因此 P 对 Q 的压力大小为 25N.答案为 C 变式变式 3 如图天花板上用细绳吊起两个用轻弹簧相连的两个质量相同的小球。两小球均保持静止。当突然剪断细绳时，上面小球 A 与下面小球 B 的加速度为（）Aa1=g a2=g Ba1=2g a2=g Ca1=2g a2=0 Da1=0 a2=g 分析与解答 分别以 A，B 为研究对象，做剪断前和剪断时的受力分析。剪断前 A，B 静止。如图 2-10，A 球受三个力，拉力 T、重力 mg 和弹力 F。B 球受三个力，重力 mg 和弹簧拉力 F A 球：Tmg-F=0 B 球：Fmg=0 解得 T=2mg，F=mg 剪断时，A 球受两个力，因为绳无弹性剪断瞬间拉力不存在，而弹簧有形米，瞬间形状不可改变，弹力还存在。如图 2-11，A 球受重力 mg、弹簧给的弹力 F。同理 B 球受重力 mg 和弹力 F。A 球：mgF=maA B 球：Fmg=maB 解得 aA=2g（方向向下）aB=0 答案为 C 变式变式 4 如图所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉 M、N 固定于杆上，小球处于静止状态。设拔去销钉 N 瞬间，小球加速度的大小为 12 m/s2。若不拔去销钉 M 而拔去销钉 N 瞬间，小球的加速度可能是：(取 g=10m/s2)61 小锦囊小锦囊 本题若称盘质量不可忽略，在分析中应注意 P 物体与称盘分离时，弹簧的形变不为 0，P 物体的位移就不等于 x0，而应等于 x0-x（其中 x 即称盘对弹簧的压缩量）。A.22 m/s2，竖直向上 B.22 m/s2，竖直向下 C.2 m/s2，竖直向上 D.2m/s2，竖直向下 分析与解答：拔去销钉 M 的瞬间。小球只受下面弹簧的弹力和重力作用。若弹簧处于压缩状态，则弹力向上。设为 F1，则mamgF1，代入数值得：mF221；若弹簧处于伸长状态，则弹力向下，设为 F2，则 F2+mg=ma，代入数值得：F2=2 m。小球处于平衡状态时，设上面弹簧处于压缩状态、伸长状态时，上面弹簧的弹力分别为 F1、F2。由力的平衡方程：F1+mg=F1，F2+mg=F2，得：F1=12m，F2=12 m。当拔去销钉 N 时，列牛顿第二定律方程：F1+mg=ma，a=22m/s2，竖直向下；F2-mg=ma2，a2=2 m/s2，竖直向上。答案为 BC 类型三类型三 物体在弹簧弹力作用下的动态分析 如图所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。物体 A、B 和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力 F 在上面物体 A上，使物体 A 开始向上做匀加速运动，经 0.4s 物体 B 刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取 g=10m/s2，求：（1）此过程中所加外力 F 的最大值和最小值。（2）此过程中外力 F 所做的功。分析与解答(1)A 原来静止时：kx1=mg 当物体 A 开始做匀加速运动时，拉力 F 最小，设为 F1，对物体 A 有：F1kx1mg=ma 当物体 B 刚要离开地面时，拉力 F 最大，设为 F2，对物体 A 有：F2kx2mg=ma 对物体 B 有：kx2=mg 对物体 A 有：x1x2221at 解得 a=3.75m/s2，F145N，F2285N (2)在力 F 作用的 0.4s 内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：WF=mg(x1x2)+2)(21atm49.5J 变式变式 1 如图，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都可以不计，盘内放一个物体 P 处于静止。P 的质量为 12kg，弹簧的劲度系数 k=800N/m。现给 P 施加一个竖直向上的力 F，使 P 从静止开始向上做匀加速运动。已知在前 0.2s 内 F 是变化的，在 0.2s 以后 F 是恒力，则 F 的最小值是多少，最大值是多少？A B F 62 分析与解答：以物体 P 为研究对象。物体 P 静止时受重力 G、称盘给的支持力 N。因为物体静止，N-G=0 所以：N=G=kx0 设物体向上匀加速运动加速度为 a。此时物体 P 受力如图 2-31 受重力 G，拉力 F 和支持力 N 据牛顿第二定律有 F+NG=ma 当 0.2s 后物体所受拉力 F 为恒力，即为 P 与盘脱离，即弹簧无形变，由 00.2s 内物体的位移为 x0。物体由静止开始运动，则 x0=at2/2 解得 x0=0.15m a=7.5m/s2 当 N最大时，即初始时刻，F 最小 Fmin=ma+mgkx0=12(7.5+10)-8000.15=90(N)F 最大值即 N=0 时，F=ma+mg=210（N）变式变式 2 如图所示,一只升降机在箱底装有若干个弹簧,设在某次事故中,升降机吊索在空中断裂,忽略摩擦力,则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（）A.升降机的速度不断减小 B.升降机的加速度不断变大 C.先是弹力做的负功小于重力做的正功,然后是弹力做的负功大于重力做的正功 D.到最低点时,升降机加速度的值一定大于重力加速度的值.分析与解答：升降机从弹簧下端触地后直到最低点的运动过程可分为三个阶段：mgN（N 为弹簧的弹力）,据mkxmgmNmga 可知,加速度 a 随着形变量 x 的增大而减小,故此阶段升降机做加速度减小的加速运动；mg=N 时,速度达到 vm；mg VC2，所以第二次恢复原长时，A 的速度大小为 4.5m/s,方向水平向右；小车的速度大小为 0.5m/s，方向水平向左。变式变式 4 在纳米技术中需要移动或修补原子，必须使在不停地做热运动（速率约几百米每秒）的原子几乎静止下来且能在一个小的空间区域内停留一段时间，为此已发明了“激光致冷”的技术，若把原子和入射光子分别类比为一辆小车和一个小球，则“激光致冷”与下述的力学模型很类似。一辆质量为 m 的小车（一侧固定一轻弹簧），如图所示以速度 v0水平向右运动，一个动量大小为 p，质量可以忽略的小球水平向左射入小车并压缩弹簧至最短，接着被锁定一段时间 T，再解除锁定使小球以大小相同的动量 p 水平向右弹出，紧接着不断重复上述过程，最终小车将停下来，设地面和车厢均为光滑，除锁定时间 T 外，不计小球在小车上运动和弹簧压缩、伸长的时间，求：（1）小球第一次入射后再弹出时，小车的速度的大小和这一过程中小车动能的减少量。（2）从小球第一次入射开始到小车停止运动所经历的时间。分析与解答：（1）小球射入小车和从小车中弹出的过程中，小球和小车所组成的系统动量守恒。由动量守恒定律得（取向右为正）10mvpmv pmvmv11 得：102pvvm V0 75 此过程中小车动能减少量Emvmvk12120212 )(222020mpvpmppvEk得 （2）小球第二次入射和弹出的过程，及以后重复进行的过程中，小球和小车所组成的系统动量守恒。由动量守恒定律得：mvpmv12 mvmvp22 由以上两式得vvpmvpm210222()同理可推得)2(0mpnvvn 要使小车停下来，即 vn=0，小球重复入射和弹出的次数为pmvn20 故小车从开始运动到停下来所经历时间为 TpmvTnt20 变式变式 5 如图所示，A、B 两物体与一轻质弹簧相连，静止在地面上，有一小物体 C 从距A 物体高度处由静止释放，当下落至与 A 相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分开，当 A 与 C 运动到最高点时，物体 B 对地面刚好无压力、设 A、B、C 三物体的质量均为，弹簧的劲度，不计空气阻力且弹簧始终处于弹性限度内。若弹簧的弹性势能由弹簧劲度系数和形变量决定，求 C 物体下落时的高度。分析与解答：开始时 A 处于平衡状态，有mgxk 当 C 下落高度时速度为v，则有：221mvmgh C 与 A 碰撞粘在一起时速度为/v，由动量守恒有：/)(vmmmv 当 A 与 C 运动到最高时，B 对地面无压力，即：mgxk/可得：/xx （2 分）所以最高时弹性势能与初始位置弹性势能相等。由机械能守恒有：)(2)(21/2/xxmgvmm 解得：kmgh8 类型十类型十 恒定电流中的弹簧的应用恒定电流中的弹簧的应用 在科技活动中某同学利用自制的电子秤来称量物体的质量，如图所示，为电子秤的原理图，托盘和弹簧的电阻与质量均不计.滑动变阻器的滑动端与弹簧上端连接，当托盘中没有放物h A B C 76 体时，电压表示数为零.设变阻器的总电阻为 R，总长度为 l，电源电动势为 E，内阻为 r，限流电阻的阻值为 R0，弹簧劲度系数为 k，不计一切摩擦和其他阻力，电压表为理想表，当托盘上放上某物体时，电压表的示数为 U，求此时称量物体的质量.分析与解答：设托盘上放上质量为 m 的物体时，弹簧的压缩量为 x，由题设知：mg=kx，则 x=kmg 由全电路欧姆定律知：I=rRRE0 U=I R=IRLx 解得 URgErRRkLm)(0 变式变式 1 角速度计可测量飞机、航天器等的转动角速度，其结构如图所示。当系统 OO/转动时，元件 A 发生位移并输出电压信号，成为飞机、航天器等的制导系统的信号源。已知 A 的质量为 m，弹簧的劲度系数为 K、自然长度为 L，电源的电动势为 E、内阻不计，滑动变阻器总长度为 l。电阻分布均匀，系统静止时 P 在 B 点，当系统以角速度 转动时，请导出输出电压 U 和 的函数式。(要求：写出每步理由及主要方程)分析与解答：设稳定状态时，弹簧的伸长为 x，物块 A 在弹力 Kx 的作用下，做匀速圆周运动。Kx=m2(L+x)因电阻分布均匀，所以阻值与长度成正比。lxRRBP 根据全电路的欧姆定律及分压公式 BPRREU 由以上三式解得)(22mKlmLEU 类型十一类型十一 电磁感应中的弹簧问题电磁感应中的弹簧问题 如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为 L，左端接有阻值为 R 的电阻，处在方向竖直 磁感应强度为 B 的匀强磁场中，质量为 m 的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度 v0在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触 (1)求初始时刻导体棒受到的安培力(2)若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为 Ep，则这一过程中安培力所做的功 W1和电阻R 上产生的焦耳热 Q1分别为多少?(3)导体棒往复运动，最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻 R 上产生的焦耳热Q 为多少?77 分析与解答：（1）初始时刻棒中感应电动势：0ELv B 棒中感应电流：EIR 作用于棒上的安培力FILB 联立得220L v BFR安培力方向：水平向左（2）由功和能的关系，得，安培力做功21012pWEmv 电阻 R 上产生的焦耳热 21012pQmvE（3）由能量转化及平衡条件等，可判断：棒最终静止于初始位置2012Qmv 解题方法归纳与提升解题方法归纳与提升 弹簧是中学物理中常见的模型它总是与其他物体直接或间接地联系在一起，通过弹簧的伸缩形变，使与之相关联的物体发生力、运动状态、动量和能量等方面的改变因而，这类问题具有很强的隐蔽性和综合性特征，也为学生的想象和推理提供了一个多变的思维空间以弹簧模型命题的高考试题在历年高考中频频出现，解决此类题的关键在于能对与弹簧相关联的系统进行正确的力和运动的关系分析、功能关系的分析，并抓住弹簧的基本特征，正确地运用力学规律