直线的交点坐标与距离公式.doc

课 时 教 学 设 计 首 页
设计者： 程俊明
课题
直线的交点坐标与距离公式
课型
新授课
课时
3
课
时
教
学
目
标
（三维）
知识与技能：1. 会通过求二元一次方程组的解来求直线和直线的交点，掌握直角坐标系两点间距离，会用坐标法证明简单的几何问题。熟练掌握点到直线的距离公式；
过程和方法：
1．掌握数形结合的学习法。
2．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。
情态和价值：
1.通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内
的联系。
2.能够用辩证的观点看问题。
教学
重点
与
难点
重点：判断两直线是否相交，求交点坐标，点到直线的距离公式

难点：两直线相交与二元一次方程的关系，点到直线距离公式的理解与应用.

教学
方法
与
手段
接受学习与发现学习相结合
用
教
材
的
构
想
点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具.希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维.根据本节课的内容特点，.学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣.

教 师 行 为
学 生 行 为
课堂变化及处理
主要环节的效果

　　第一课时：两直线的交点坐标
一、情境设置，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那么如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？
二．新课讲授
1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系
已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2： A2x+B2y+C2=0
如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
几何元素及关系
代数表示

点A
A（a，b）
直线L
L：Ax+By+C=0
点A在直线上

直线L1与 L2的交点A

课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
例题讲解：
例1：求下列两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0
同类练习：书本104页第1，2题。
例2 ：判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。
(1)L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0
(2)L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0
(3)L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。

例3.已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.
例4．(1)求经过直线y=2x+3和3x-y+2=0的交点，且垂直于第一条直线的直线的方程.

第二课时：两点间的距离

一、情境设置，导入新课
课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平面直角坐标系中两点间距离公式：。

二、例题分析
例1．以知点A（-1，2），B（2， ），在x轴上求一点，使 ,并求 的值。

设问：本题能否有其它解法
同步练习：书本106页第1，2 题

例2 .证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题。

第三课时：点到直线的距离

1．点到直线距离公式：
点到直线的距离为：
（1）提出问题
在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?
学生可自由讨论。
（2）数形结合，分析问题，提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长.
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：
设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d

下面我们探讨别一种方法
方案二：略

可证明，当A=0时仍适用
3．例题应用，解决问题。
例1.求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。

例2 .已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。

第四课时：两条平行直线间的距离：

1)讨论：两条平行直线间的距离怎么求？（是指夹在两条平行直线间公垂线段的长）
2)可以将平行直线间的距离转化为点到直线的距离
已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为

例1．已知直线，与是否平行？若平行，求与间的距离

例2．求与直线平行且到的距离为2的直线的方程

例3．求与两条平行直线

的距离相等的直线方程。

学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？
1．若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。
2．若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。
3．若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？

课堂设问：当变化时，方程 3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点坐标。
(1)运用信息技术，当 取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。
(2)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。
(3)结论：方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。

在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

通过例题，使学生对两点间距离公式理解、应用。

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。

这里体现了“化归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。

此方法虽思路自然，但运算较繁.

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力，意志品质等方面得到了提高。

通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

思考：若二平行线中x,y的系数不相同如何处理？
这一公式的本质是利用了等价转化思想。

第 7 页 共 7 页
课 时 教 学 设 计 尾 页
板 书 设 计

☆补充设计

作 业 设 计
作业：109页2、3、4、5题
名师一号

教 学 后 记
本节课，采用探究式的教学方法，通过设问、启发、铺垫，为学生搭建探究问题的平台，让学生在问题情境中，自己去观察、归纳、猜想并证明公式，经历数学建模的过程，在自主探究、合作交流中获得知识，在多角度、多方面的解决问题中，使不同层次的学生都能有所收获与发展.

课 时 达 标 检 测 设 计 （试用）
项 目
检 测 内 容

课堂练习：
(1)已知三点A(2, –3), B(4, 3), C(5, )在同一直线上，则m的值为
(2)不论m为何实数，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0 恒过定点
（A）(1, －) （B）(－2, 0)
（C）(2, 3) （D）(－2, 3)
(3)直线方程为(3m＋2)x＋y＋8=0, 若直线不过第二象限，则m的取值范围是

(4)光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。
(5)求满足下列条件的直线方程：经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直
（6）.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等
（7）.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。

8.若直线与直线平行，则的值
9.求两条平行直线的距离，
10．过作直线，使之与点的距离等于2，求这条直线方程。
11．求过点，且与距离相等的直线方程

当堂

达标

检测
检测的目标点与用时预设；反馈、矫正方法预设与达标效果补充