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求数列通项的基本方法和技巧
该题型主要的出现形式为给出数列的一些递推关系式，求证数列为特殊数列，并求通项。因此要熟悉各种递推关系式，了解各种递推关系式所对应的数列类型。
一． 观察法
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…（2）
（3）（4）
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：
（2） （3） （4）
【总结：关键是找出各项与项数n的关系。】
二、定义法
根据数列的定义，适用与一些简单数列，有一定规律的数列，例如等差、等比，或可转化为等差、等比数列
例2：已知数列中， ， ，求通项
解：

是以1为首项，为公差的等差数列.

【总结：由递推关系式都可转化为等差数列】
例3：已知数列中， ， 时有 ，求通项

是以2为首项，3为公比的等比数列.

【总结：由递推关系式都可转化为等比数列】
三、      累加法 相邻两项的差不是常数，而是一个与有关的值，使用累加法

例5. 若在数列中，，，求通项。
解：由得，
所以，，…，，
将以上各式相加得：，又
所以
点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解.

四、累乘法
例5：在数列｛｝中， =1, ，求的表达式。
解：由
得，=··…= 所以
【总结：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。】

五、利用前项和公式与通项的关系：
例6：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。 （2）
解： （1）===3
此时，。∴=3为所求数列的通项公式。
（2），当时
由于不适合于此等式 。 ∴
【总结：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。】
例7：已知数列中前n项和为，，，求数列的通项公式，及前n项和。
【解法一】消去，寻找的关系
①
②
①-②得，

，
∴数列从第二项起为等差数列，

【解法二】消去，寻找的关系

为首项，以2为共比的等比数列。

六、综合应用
例8. 已知数列中，，前项和与的关系是
（1）求证数列是等差数列，（2）求通项公式。
解：

数列是以为首项，以2为公差的等差数列，

例9. 已知数列中，，前项和与的关系是 ，试求通项公式。
解：首先由易求的递推公式：
将上面n—1个等式相乘得：