基本不等式及其应用（限时练习）.doc

限时作业7 基本不等式()及其应用
一、选择题
1.设x,y∈R,则“x2+y2≤1”是“|x|+|y|≤”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:∵2|x||y|≤|x|2+|y|2＝x2+y2≤1,
∴(|x|+|y|)2＝x2+2|x||y|+y2≤2.
∴|x|+|y|≤.
取x＝0,y＝,不满足x2+y2≤1,故是充分不必要条件.
答案:A
2.下列结论正确的是( )
A.当x＞0且x≠1时,≥2
B.当x＞0时,≥2
C.当x≥2时,的最小值是2
D.当0＜x≤2时,无最大值
解析:≥,当且仅当,即x＝1时等号成立.
答案:B
3.若a,b都是正实数,π是圆周率,e是自然对数的底数,则下列各式中可能大于a2+b2的是( )
A.2(a+b-1) B.()2+ab C.(a+b) D.ab
解析:对于A,因为a2+b2-2(a+b-1)＝(a-1)2+(b-1)2≥0,因此a2+b2≥2(a+b-1);对于B,a2+b2-［()2+ab］＝＝≥0,因此a2+b2≥()2+ab;对于D,因为a2+b2≥2ab＞ab,所以a2+b2＞ab.
综上,可知只有C满足条件.
答案:C
4.某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g药品,他先将5 g的砝码放在左盘,将药品放在右盘使之平衡;然后又将5 g的砝码放在右盘,将药品放于左盘使之平衡,则此学生实际所得药品( )
A.小于10 g B.大于10 g C.大于等于10 g D.小于等于10 g
解析:设左、右臂长分别为t1、t2,第一次称的药品为x1,第二次称的药品为x2,则有5t1＝x1t2,x2t1＝5t2,所以x1+x2＝5()＞5×2＝10,即大于10g.
答案:B
5.若实数a、b满足a+b＝2,则3a+3b的最小值是( )
A.18 B.6 C. D.
解析:由均值不等式,得3a+3b≥，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以3a+3b的最小值是6,故选B.
答案:B
6.一批货物随17列货车从A市以a km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于（)2 km，那么这批货物全部运到B市，最快需要
( )
A.6 h B.8 h C.10 h D.12 h
解析:第一列货车到达B市的时间为h，由于两列货车的间距不得小于()2 km,所以第17列货车到达时间为+≥8，当且仅当,即a＝100(km/h)时成立，所以最快需要8 h,故选择B.
答案:B
二、填空题
7.已知a、b∈R,a+b+a2+b2＝24,则a+b的取值范围是_________________.
解析:∵a2+b2≥2ab,当且仅当a＝b时取“＝”，
∴2（a2+b2)≥(a+b)2,即a2+b2≥ (a+b)2,当且仅当a＝b时取“＝”.
∴24-(a+b)＝a2+b2≥ (a+b)2,当且仅当a＝b时取“＝”,
即(a+b)2+2(a+b)-48≤0.
解关于a+b的二次不等式，得-8≤a+b≤6.
答案:-8≤a+b≤6
8.已知x,y∈R+，且x+4y＝1,且x·y的最大值为____________.
解析:xy＝x·4y≤,当且仅当x＝4y＝时取等号.
答案:
9.已知a,b,c都是正实数,且满足log4(16a+b)＝,则使4a+b≥c恒成立的c的取值范围是___________.
解析:由条件知,16a+b＝abb＝,∴4a+b＝.
由＞0,得a＞1.
令a-1＝t,则4a+b＝≥20+16＝36,当且仅当t＝,即t＝2时取“＝”.
因此要使不等式4a+b≥c恒成立,只要c≤36.又因为c为正数,因此c∈(0,36］.
答案:(0,36］
三、解答题
10.已知a,b,c都是正数,且a+b+c＝1,求证:≥9.
证明:∵a,b,c都是正数,且a+b+c＝1,
∴,,
∴
＝≥
＝3+2+2+2＝9,
当且仅当a＝b＝c时取等号.
∴≥9.
11.（1）已知a,b是正常数，a≠b,x,y∈(0,+∞),求证：,并指出等号成立的条件.
(2)求函数f(x)＝,x∈(0,)的最小值,指出取最小值时x的值.
(1)证明:∵a,b,x,y都是正数,
∴()(x+y)＝a2+b2+≥a2+b2+2ab＝(a+b)2,当且仅当,即bx＝ay时取“＝”.
∴,当且仅当bx＝ay时等号成立.
(2)解：∵0＜x＜,
∴0＜1-2x＜1.
由(1),知f(x)＝,
当且仅当3·2x＝2·（1-2x)，即x＝∈(0,)时取“＝”.
∴x＝时,f(x)的最小值为25.
12.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过a米,房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.
(1)把房屋总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域.
(2)当侧面的长度为多少时,房屋的总造价最低?最低总造价是多少?
解:(1)由题意，可得y＝3()+5 800＝900()+5 800(0＜x≤a).
(2)y＝900()+5 800≥900×+5 800＝13 000,
当且仅当x＝,即x＝4时取等号.若a≥4,则当x＝4时,y有最小值13 000;
当0＜a＜4,任取x1,x2∈(0,a］且x1＜x2,
y1-y2＝900()+5 800-900()-5 800
＝900［(x1-x2)+16()］
＝,
∵x1＜x2≤a,
∴x1-x2＜0,x1x2＜a2＜16.
∴y1-y2＞0.
∴y＝900()+5 800在(0,a］上是减函数.
∴当x＝a时,y有最小值900()+5 800.
综上,①若a≥4,当侧面的长度为4米时,总造价最低,最低总造价是13 000元;
当0＜a＜4时,当侧面长度为a米时,总造价最低,最低总造价是900()+5 800元.