勾股定理的逆定理_提高训练_难度较大.doc

一、复习回顾基础知识

巩固练习;
1、等边三角形的高为2，则它的面积是　　　　　　。
2、直角三角形两直角边分别为6cm和８cm，则斜边上的中线长为　　　　　　。
Ａ　　　　　　　　　
3、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，
ＥBC=8cm，现将直角边AC沿直线 AD折迭，使它落在斜边AB　
上，且与AE重合，则CD等于　　　　　　　。　 Ｃ　 Ｄ　　　　Ｂ

4、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿　　　　　　 Ｄ　　　　　　　　　Ｃ
对角线AC折迭，点D落在点D′处，
求重迭部分△A FC的面积．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 Ａ　　　　Ｆ　　Ｂ
D，

5、如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.

一、本节基础知识
1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

巩固练习：
1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是_________三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_________．
2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做_________如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的_________．
3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有_________．(填序号)
4．若△ABC中，(b－a)(b＋a)＝c2，则∠B＝_________；
5．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是________三角形．
6．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为________．
7．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．
(1)两直线平行，同位角相等．

(2)若a＞b，则a2＞b2．

二、经典例题、针对训练、延伸训练
考点一 证明三角形是直角三角形
例1、已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.
求证：△ABC是直角三角形.

针对训练：1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

2(如图) 在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，
求证：ÐEFA=90°.

3、如图，已知：在ΔABC中，ÐC=90°，M是BC的中点，MD^AB于D，求证：AD2=AC2+BD2.

考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算
例、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，
求△ABC的周长。

针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD的面积.

3.已知：如图，DE=m,BC=n,ÐEBC与ÐDCB互余，求BD2+CD2.

考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用
例1.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.
解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；
②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.

例2. 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！
(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是 ______mm；_______mm；较长的一条边长_______mm。
比较 (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；
(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是______mm； _______mm；较长的一条边长_______mm。
比较 (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；
(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是:
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
⑷对你猜想与的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。

例3.如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

针对训练：1观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．

2、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：
　　①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.
　　②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延
　　　长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

3.喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度AC为800 m,从山上A与山下B处各建一索道口,且BC=1 500 m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走50 m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶?说明理由.

延伸训练：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

总结提高：

三、上节习题讲评
四、课后作业
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5
2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6
3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.
4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=AD，试判断△EFC的形状.

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18－2－7

6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.

7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？

8、.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.

9、若△ABC的三边长为a、b、c，根据下列条件判断△ABC的形状。
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
(2) a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0

10．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．

11．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

14．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且求证：AF⊥FE．

15．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．
(1)若a2＝b2，则a＝b．

(2)如果△ABC≌△A'B'C'，那么BC＝B'C'，AC＝A'C'，∠B＝∠B'．

(3)全等三角形的三组对应角相等．