等腰三角形的性质习题附答案.doc

等腰三角形的性质

一.判断题 (本大题共 40 分)
1. 等腰三角形内一点到底边两端点距离相等, 则这点和这个等腰三角形的顶点及底边 中点
在同一直线上. (    )
2. 已知如图AB＝AC, OB＝OC, 则∠ABO＝∠ACO 
(    )

3. 如图已知△ABC中AB＝AC, AD平分△ABC的外角∠EAC, 则AD∥BC. (    )

4. (    )

5. 等腰三角形的底角一定是锐角．
(    )
6. 已知如图, △ABC是等边三角形, D是BC中点 DE⊥AC于E, 则 EC＝AC
(    )

7. 等腰三角形的底角不一定是锐角. (    )
8. 如图△ABC中AB＝AC, D、E分别为AC、BC上的点, 则DB＞DE (    )

9. 等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等 (    )
10. 等腰三角形两腰上中线的交点到底边的两端点距离相等.(    )
11. 如图, D是等腰三角形底边BC上一点. 则 ∠ADC＞∠C. (    )

12. 等腰三角形一腰上中线把它周长分为15cm和6cm两部分,则这个三角形三边长为10cm、10cm、1cm
(    )
13. 等腰三角形中, 两个角的比为1:4, 则顶角的度数为20°. (    )
14. 等边三角形的边长为a, 则高为a. (    )
15. 等腰三角形的顶角可以是直角、锐角或钝角. (    )
16. 如图, 已知: △ABC的AB＝AC, D是AB上一点, DE⊥BC, E是垂足, ED的延长线交CA的 延长线于F, 则AD＝AF.
(    )

17. 如图B、D、E、C在同一直线上, 若AB＝AC, ∠1＝∠2, 则 ∠3＝∠4. (    )

18. 等边三角形ABC中, D是AC中点, E为BC延长线上一点, 且 DB＝DE. 则 CE＝CD
(    )

19. 已知, △ABC中, AB＝AC, ∠B＝75°, CD⊥AB于D, 则CD＝AB  
(    )
20. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.
(    )
21. 如图, B、D、E、C在同一直线上, 若AB＝AC, ∠3＝∠4, 则∠1＝∠2. 
(    )

22. 因为等腰三角形的底角一定是锐角, 所以等腰三角形是锐角三角形. (    )
23. 如图, △ABC和△CDE都是等边三角形, 则 AD＝BE. (    )

24. 如图, 已知: 四边形ABCD中, ∠ABC＝∠ADC, AB＝AD, 则 CB＝CD. (    )

25. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 这个三角形不一定是直角三角形. (    )
26. 等腰三角形角平分线、高线、中线在同一条直线上 (    )
27. 已知如图, △ABC中, ∠B＞∠C, 点D是AC上的一点, 且AD＝AB, 则∠DBC＝(∠ABC-∠C) 
(    )

28. 如果等腰三角形的顶角为50°, 那么一腰上的高与底边的夹角是40°.
(    )
29. 已知△ABC中, AB＝AC, D在AB上且∠DCB＝∠A, 则 CD⊥AB (    )
30. 等腰三角形两腰上的中线相等. (    )
31. 已知△ABC中, AB＝AC, CD⊥AB于D, 则  ∠DCB＝∠A 
(    )
32. 如图, AB＝AE, ∠B＝∠E, CB＝ED. F是CD的中点, 则AF⊥CD. (    )

33. 等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等. (    )
34. 已知: 如图在△ABC中, AB＝AC, D是BC延长线上一点, E是AB上一点, DE交AC于点F
, 则 AE＜AF (    )

35. 在△ABC中, AB≤AC, 延长CB到D, 使BD＝BA, 连结AD, 则 AD＜AC.
(    )

36. 已知: 如图, D为等腰直角△ABC的直角边BC延长线上一点, 且CD＝CE, BE延长线交AD于F, 则BF⊥AD
(    )

37. 在△ABC中, ∠A＝2∠B, 则BC＜2AC.
(    )

38. 已知, 如图 AD＝DC, DE平分∠ADB, F是AC中点, 则DE⊥DF.   (    )

39. 已知如图: △ABC和△ADE都是等腰三角形且顶角∠BAC＝∠DAE, 则BD＝CE (    )

40. 如图, 已知: △ABC中, ∠ABC＝2∠C, AH⊥BC, 垂足为H延长AB至D, 使
BD＝BH,DH的延长线交AC于点M, 则MA＝MC
(    )

二.单选题 (本大题共 60 分)
1. 在△ABC中, AB=AC, ∠A=40°, 点O在三角形内且∠OBC=∠OCA, 则
∠BOC的度数是 [    ]
A.110°          B.35°               C.140°         
  D.55°
2. 如图在△ABC中, AB＝AC, ∠A＝40°, P为△ABC内的一点, 且∠PBC＝∠PCA, 
则∠BPC的度数是
[    ]
A.115°          B.110°         C.120°         
 D.130°

3. 等腰三角形一边长5cm, 另一边长是3cm, 它的周长是 [    ]
A.11cm    B.13cm    C.11cm或13cm    D.以上都不对
4. 等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于 [    ]
A.20°、140°               B.20°、140°或80°、80°
C.80°、80°                  D.20°、80°
5. 已知等腰三角形的一边长为4, 另一边长为9, 则它的周长为
[    ]
A.17      B.17或22      C.22       D.13
6. 一个等腰三角形的一个内角为70°, 则它一腰上的高与底边所夹的角的度数为
[    ]
A.55°         B.55°或70°           C.20°           
  D.20°或35°
7. 等腰三角形顶角的度数是底角度数的4倍, 那么,它的底角的度数是
[    ]
A.120°      B.30°          C.60°          D.90°
8. 有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为 [    ] A.80°    B.50°    C.80°或50°    D.65.5°
9. 等腰三角形周长12厘米，其中一边长2厘米，其他两边分别长  [    ]
A．2厘米，8厘米                    B．5厘米，5厘米
C．5厘米，5厘米或2厘米，8厘米      D．无法确定
10. 等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米, 则它的第三边长为  [    ]
A.35cm     B.22cm      C.35cm或22cm      D.15cm
11. 已知等腰三角形的两个角之比为1∶2, 则顶角的度数是 [    ]
A.90°        B.36°       C.36°或90°         D.120°
12. 等腰三角形两边长是9cm和15cm, 则它的周长是 [    ]
A.24cm       B.33cm         C.39cm       D.33cm或39cm
13. 等边三角形ABC中, CD是∠ACB的平分线, 过D作BC的平行线交AC于E, 若△ABC的边长 是a, 则△ADE的周长是 [    ]
A.2a    B.a    C.a    D.a
14. 如果等腰三角形的周长为21, 其中一边长为5, 那么此等腰三角形底边长是 [    ]
A.11     B.5      C.5或11      D.8
15. 已知等腰三角形中一个角为50°, 则这个三角形腰上的高和底边夹角的度数为 [    ]
A.25°    B.40°    C.25°或40°    D.以上答案都不对
16. 在等腰△ABC中, AB的长是AC的二倍, 三角形的周长是40, 则AB的长等于. [    ]
A.20    B.16    C.20或16    D.10
17. 等腰三角形的底边为a, 顶角是底角的4倍. 则腰上的高为 [    ] A.a    B.    C.a    D.2a
18. 已知等腰三角形的一边长为5, 另一边长为6, 则它的周长为 [    ]
A.16       B.16或17         C.17           D.11
19. 等腰三角形底边长为5厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长之差为3厘米，则
它的腰长为 
[    ]
A．8厘米                B．5厘米
C．2厘米或8厘米         D．2厘米
20. 等腰三角形有一个角是45°, 那么这个三角形是  [    ] A.锐角三角形    B.直角三角形    C.钝角三角形    D.不唯一确定
21. 如图△ABC中, AB＝AC, 且EB＝BD＝DC＝CF, ∠A＝40°, 则∠EDF的度数为
[    ]
A.70°          B.110°           C.55°         D.60°

22. 已知等腰三角形的一个角为20°, 则它的另外两个角分别为 
[    ]
A.20°,140°                                  B.80°,80°
C.20°,140°或80°,80°            D.20°,80°
23. 如果一个等腰三角形的一腰是顶角平分线的2倍, 那么这个三角形必有一个内角等于
[    ]
A.45°    B.60°    C.90°    D.120°
24. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A=
[    ]

A.26°      B.32 °        C.64°       D.52°
25. 一个等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数最多有
[　　]
A．3条
B．5条
C．7条
D．9条

26. 至少有两边相等的三角形是 [　　]
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．锐角三角形

27. 已知：等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [    ]
A.20          B.16          C.20或16          D.无法确定
28. 如图, AB＝AC, FD⊥BC于D, DE⊥AB于E, 若∠AFD＝155°, 那么∠EDF的度数是
[    ]
A.45°         B.55°         C.65°        D.75°

29. 一条等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [    ]
A.小于60°          B.等于60°         C.等于90°        
  D.大于90°
30. 等边三角形的高、中线、角平分线共有________条．[    ]
A.9        B.7          C.6              D.3
31. 等腰三角形有一个角是，则它顶角的大小为 [　　]
A．
B．
C．
D．

32. 等腰三角形的两边长为25cm和12cm, 那么它的第三条边长为
[    ]
A.25cm      B.12cm      C.25cm或12cm     D.37cm
33. 在等腰△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，并交AC于D．如果∠CDB＝，那么∠A等于
[　　]
A．
B．
C．
D．

34. 若一个等腰三角形的两边分别是3cm和6cm, 则它的周长为 [    ]
A.15cm     B.12cm      C.12cm或15cm     D.18cm
35. 如果一个三角形的三条高线的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么此三角形 [　　]
A．是锐角三角形
B．是钝角三角形
C．是直角三角形
D．形状不确定

36. 等腰三角形两边是9cm和15cm, 则它的周长是 [    ]
A.24cm    B.33cm    C.39cm    D.33cm或39cm
37. 等腰Rt△ABC中, ∠C＝90° D是BC上一点, 且AD＝2CD 则 ∠ADB的度数为 [    ]
A.30°    B.60°    C.120°    D.150°
38. 已知等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [    ]
A.20    B.16    C.20或16    D.无法确定
39. 已知：如图, △ABD和△ACE均为等边三角形, 那么△ADC≌△AEB的根据是 [    ]

A.边,边,边     B.边,角,边
C.角,边,角     D.角,角,边
40. 一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [    ]
A.小于60°       B.等于60°        C.等于90°       D.大于90°
41. 在△ABC中, AB＝AC, ∠A+ ∠B＝130°, 则∠A、∠B、∠C的度数是
[    ]
A.∠A＝50°、∠B＝80°、∠C＝80°
B.∠A＝50°、∠B＝80°、∠C＝50°
C.∠A＝50°、∠B＝50°、∠C＝80°
D.∠A＝80°、∠B＝50°、∠C＝50°
42. 等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成角的度数是 [    ]
A.42°    B.6°    C.36°    D.46°
43. 如图: AB＝AC, ∠BAD＝30°AD⊥BC且AD＝AE, 则∠EDC＝
[    ]
A.10°    B.12.5°    C.15°    D.20° 　
44. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [    ]
A.顶角    B.顶角的    C.顶角的2倍    D.底角的
45. 等腰三角形边长分别是3和6，这个三角形的周长是
[　　]
A．9
B．12
C．15
D．12或15

46. 用一条长为12cm的铁丝做等腰三角形, 底和腰的长必须是正整数, 若底的长为xcm,
则腰的长y可为 [    ]
A.5cm    B.5cm或4cm    C.4cm    D.-5cm
47. 一个等腰三角形底边为8cm, 从底边上一个端点引腰的中线, 分三角形周长为两部 分,
其中一部分比另一部分长2cm, 则腰长为 [    ]
A.6cm    B.10cm    C.6cm或10cm    D.以上都不对
48. 一个等腰但非等边三角形, 它的角平分线, 中线和高线的条数共为 [    ]
A.6    B.7    C.8    D.9
49. 已知：如图在△ABC中, AB=AC, CD为∠ACB平分线,DE∥BC,∠A=40°,
则∠EDC的度数是 
[    ]
A.30°             B.36°              C.35°          D.54°

50. 等腰三角形两个角的比为4∶1, 则顶角为 [    ]
A.120°         B.20°         C.120°或20°         D.150°
51. 如图已知: AB＝AC＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足
[    ]
A.∠1＝2∠2              B.2∠1+∠2＝180°
C.∠1+3∠2＝180°                 D.3∠1-∠2＝180°

52. 若等腰三角形的两边a、b满足，则此等腰三角形的周长为
[    ]
A．7
B．5
C．8
D．7或5

53. 等腰△ABC中，两腰上的中线BE、CD交于O，则下列判断中错误的是
[    ]
A．△ADC≌△AEB
B．△DBC≌△ECB
C．△ABE≌△BCD
D． △BOD≌△COE

54. 从等腰三角形底边上任一点，分别作两腰的平行线所成的四边形的周长等于此等腰
三角形的
[    ]
A．周长
B．周长一半
C．一腰长
D．两腰长的和

55. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 [    ]
A．顶角
B．顶角的一半
C．顶角的2倍
D．底角的一半

56. 如下图，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE=BE，DF=DC，
若∠A=，则∠EDF=

[    ]
A．
B．
C．
D．

57. 等腰三角形底边长为5厘米, 一腰上的中线把三角形分成两部分, 其周长之差为3厘米, 则
它的腰长为 [    ]
A.2厘米      B.8厘米      C.2厘米或8厘米      D.9厘米
58. 如图△ABC中, AB＝AC, ∠A＝50°, P是△ABC内的一点, 且∠PBC＝∠PCA, 则∠BPC
的度数为
[    ]
A.115°           B.100°          C.130°          D.140°

59. 如图, △ABC中, AB＝AC, CD⊥AB, 则关于∠A正确的等式是
[    ]
A.∠A＝∠B    B.∠A＝∠ACB    C.∠A＝2∠ACB  D.∠A＝2∠DCB

60. 如图在△ABC中, AB＝AC, BC＝BD, AD＝DE＝EB, 则∠A的度数是
[    ]
A.30°          B.36°         C.45°         D.54°

三.填空题 (本大题共 30 分)
1. 周长为20cm的等腰三角形中, 底边长为acm, 则一腰长为________cm．
2. 如图△ABC中, AB＝AC, ∠A＝40°, ∠AED＝∠F, 则∠F＝___________度.
3. 已知等腰三角形有两条边的长分别是3cm和7cm, 那么这个三角形的周长等于__________cm
4. 已知如图, A、D、C在一条直线上AB＝BD＝CD, ∠C＝40°, 则∠ABD＝______度.
5. 等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________, 底边长为________．
6. 等腰三角形的底边为12cm,且腰是底的, 则三角形的周长是_______cm
7. 已知等腰三角形的一个底角等于顶角的4倍, 则这个等腰三角形的顶角为_______度.
8. 等腰三角形底边中线与________和________重合．
9. 已知: 如图: △ABC中, AB＝BC, ∠B＝90°, AD∥BC, ∠D＝70°, 则∠EFA＝____度
10. 已知：等腰三角形的一个角为100°, 则另两个角的度数为________．
11. △ABC中，如果AB=AC，点M是BC边中点，那么M到______两边的距离相等，AM上的点到_____
_两点的距离相等。
12. 有一个角是100°的等腰三角形其余两角为_____________度.
13. 等腰三角形的每个底角都比顶角大30°则它的顶角为________________度.
14. 如图, 若△ABC的∠ABC＝50°, ∠ACB＝70°, 延长CB至点D, 使BD＝BA, 延长BC至 E点, 
使CE＝CA, 连结AD、AE, 则∠DAE的度数为__________度.
15. 已知：等腰三角形一个底角的补角是100°, 那么这个等腰三角形的底角为_______ ,顶角为______．
16. 如图, 已知: AD＝DB＝BC, ∠C＝25°, 则∠ADE的度数为______度.
17. 已知：如图所示，点D在BC的延长线上，∠ACD＝，AB＝AC，则△ABC的形状为________，根据是________．

18. 如果等腰三角形的两边为3、6,那么它的周长为______________________.
19. 如图△ABC中, AB＝AC, AD⊥BC于D, 且AB+AC+BC＝50cm, 而AB+BD+AD＝40cm, 
则AD＝__________cm.
20. 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为_________度．
21. 如图, ∠MPN＝25°, 又PA＝AB＝BC＝CD, 则∠DCM＝_________度.
22. 在等腰△ABC中, AB＝AC, AD⊥BC于D, 且AB+AC+BC＝50cm, 而AB+BD+AD＝40cm, 则AD＝___________cm.
23. 如图已知∠ACB＝90°, BD＝BC, AE＝AC, 则∠DCE＝__________度.
24. 等腰三角形腰上的高与底边的夹角α和顶角β之间的关系是______.
25. 等腰三角形ABC中，过腰AB的中点D作它的垂线(点A、C在垂线的异侧)交另一
腰AC于点E，连结BE，若AD＋AC=24，BD＋BC=20，则△EBC的周长为________．
26. 已知：如图△ABC中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 则∠EDF的度数为________．

27. 已知：在△ABC中,∠A=20°,D为AB上一点,AD=DC,且
∠ACD∶∠BCD=2∶3,则∠ABC=_______．　
28. 已知：如图△ABC中, AB=AC, 且AD=BD, AC=CD, 则∠B的度数是．

29. 等腰三角形三个内角与顶角的外角的和等于260°, 则此三角形各角的度数为_________．
30. 如下图，ED是△ABC中AC边上的中垂线，BC=7．△ABE的周长为12，则AB=________．

四.计算题 (本大题共 5 分)
1. 已知：如图, △ABC是等边三角形, D是BC的中点, DF⊥AC于F, 延长DF到E, 使EF=DF, 连结AE,
求：∠E的度数．

2. 已知：P,Q是△ABC的边BC上两点, 并且BP=PQ=QC=AP=AQ．
求∠BAC．
3. 如图：△ABC中, AB=AC, AD⊥BC, AD=AE, ∠BAD=30°, 求∠EDC的度数．

4. 等腰三角形顶角80°, 求一腰上的高与底边所夹的角的度数．
5. 已知：如图, AB=AC, F为AC上一点, FD⊥BC于D, DE⊥AB于E,
      若∠AFD=155°．求∠EDF的度数．

六.证明题 (本大题共 15 分)
1. 已知：如图,△ABC和△CDE都是等边三角形．
求证：AD=BE

2. 已知：如图：CA=CB, DA=DB
求证：(1)∠1=∠2．
      (2)CD⊥AB．

3. 已知：如图延长△ABC的BC边到D, 使CD=AC, CF是△ACD的中线, 
CE是△ABC的角平分线．
求证：CE⊥CF

4.

5. 如图：△ABC中, AB=AC, PB=PC． 求证：AD⊥BC

6. 已知：如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F，连结AF．
求证：∠B=∠CAF.

7. 已知：在△ABC中, ∠C=90°, 在AB上截取AE=AC, BD=BC
求证：∠DCE=45°
8. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
9. 已知：如图,C是线段AB上的一点, 分别以AC和BC为边, 在线段AB的同侧作等边△ACM和△CBN．
求证：AN=MB

10. 求证：等腰三角形两腰上的高的交点到两底角顶点的距离相等．
11. 已知：如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 长线上一点，CE=CD，DM⊥BC于M.
求证：M是BE的中点.

12. 求证：若把等腰三角形的底边向两方向分别延长相等的线段, 则延长线段的两个外端与等腰
三角形的顶点的距离相等．
13. 如图所示，△ABC中，∠CAB的平分线AD⊥BD于D，DE∥CA交AB于点E．
求证：AE＝EB．

14.

15. 已知：如图, △ABC中, ∠ABC=2∠ACB, AD⊥BC于D．
求证：DC=AB+BD．

33 —— 答案

一.判断题 (本大题共 40 分)
1. T
2. T
3. T
4. T
5. T
6. T
7. F
8. T
9. T
10. T
11. T
12. T
13. F
14. T
15. T
16. T
17. T
18. T
19. T
20. T
21. T
22. F
23. T
24. T
25. F
26. F
27. T
28. F
29. T
30. T
31. T
32. T
33. T
34. T
35. T
36. T
37. T
38. T
39. T
40. F
二.单选题 (本大题共 60 分)
1. A
2. B
3. C
4. B
5. C
6. D
7. B
8. C
9. B
10. C
11. C
12. D
13. C
14. B
15. C
16. B
17. B
18. B
19. A
20. D
21. A
22. C
23. D
24. B
25. C
26. A
27. A
28. C
29. C
30. D
31. D
32. A
33. B
34. A
35. C
36. D
37. C
38. A
39. B
40. C
41. D
42. A
43. C
44. B
45. C
46. B
47. C
48. B
49. C
50. C
51. D
52. A
53. C
54. D
55. B
56. C
57. B
58. A
59. D
60. C
三.填空题 (本大题共 30 分)
1.
2. 35
3. 17
4. 20
5. 13,10
6. 30
7. 20
8. 底边上高,顶角平分线
9. 115
10. 40°,40°
11. AB、AC,B和C
12. 40
13. 40
14. 120
15. 80°, 20°
16. 75
17. 等边三角形,有一个角为的等腰三角形是等边三角形．
18. 15
19. 15
20. 120
21. 100
22. 15
23. 45
24. β=2α
25. 28
26. 70°
27. 110°
28. 36°
29. 100°,40°,40°
30. 5
四.计算题 (本大题共 5 分)
1. 解：连结AD
∵△ABC是等边三角形, D是BC的中点
∴∠1=∠2=30°
又∵DF⊥AC于F, DF=EF
∴∠AFD=∠AFE, AF=AF
∴△AFD≌△AFE (SAS)
∴∠2=∠3=30°, AD=AE
∴∠E=60°

2. 解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ ∴∠1=∠2=∠5=60°
    ∴∠B=∠3 ∠5=2∠B ∠4=∠C
    ∴∠B=∠C=30°
    ∴∠BAC=120°

3. 解：∵AB=AC, ∴∠B=∠C
    ∵AD?BC, ∴AD又是顶角∠BAC的平分线
    ∵∠BAD=30°∴∠CAD=∠BAD=30°

    ∴∠EDC=90°-75° =15°

4. 已知：△ABC中, AB=AC, ∠A=80°, CD是一腰AB上的高
求：∠BCD的度数
解：∵AB=AC, ∠B=∠BCA
    又∠A=80° , CD⊥AB
    ∴∠B=∠BCA=50° ∠BDC=90°
    故∠BCD=180°-50°-90°=40°

5. 解：∵AB=AC ∴∠B=∠C
    又∵DE⊥AB, DF⊥BC
    ∴∠B+∠1=∠EDF+∠1=90°
    ∴∠B=∠EDF=∠C
    又∵∠C=155°－90°=65°
    ∴∠EDF=65°

六.证明题 (本大题共 15 分)
1. 证明：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴AC=BC, ∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
∴DC=EC
∴△ADC≌△BEC (SAS)
∴AD=BE

2. 证明：(1)
在△ACD和△BCD中
∵AC=BC AD=DB CD=CD
∴△ACD≌△BCD(SSS)
∴∠1=∠2
(2)在△CAB中,
∵AC=BC, ∴△ABC是等腰三角形
∵∠1=∠2 ∴CD平分∠ACB
∴CD?AB(等腰三角形的三线合一)．

3. 证明：
在△CDA中，
∵CD=CA, CF是AD的中线
∴CF又是∠ACD的平分线(等腰三角形, 底边中线, 顶角平分线)
∴∠ACF=∠DCF
又CE是△ABC的角平分线
∴∠2+∠3=∠1+∠4=Rt∠
∴CE⊥CF

4. 证明：
∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C
∵CD⊥AB于D, ∴∠ADC=90°

∴∠A=30°
∴ ∠B=∠C=75°

5. 证明：
在△ABP和△ACP中
∵AB=AC, BP=PC, AP=AP
∴△ABP≌△ACP (SSS)
∴∠BAP=∠CAP
∴AD⊥BC(等腰三角形顶角平分线又是
底边的垂线)

6. 略证：如图，AF=DF
      ∴∠FAD=∠1
      ∵AD平分∠BAC
      ∴∠2=∠3
      ∵∠B=∠1－∠3
      ∠FAC=∠FAD－∠2
      ∴∠B=∠FAC

7. 证明：
    ∵AE=AC
    ∴△ACE是等腰三角形
    ∴∠1+∠2=∠4
    又∵BD=BC
    ∴∠2+∠3=∠CDB
    ∵∠ACB=90°
    即∠1+∠2+∠3=90°(1)
    又∵在△CDE中, ∠2+∠4+∠CDE=180°(2)
    (2)－(1) 得∠4+∠CDE－∠1－∠3=90°,
    ∠2－∠3+∠2+∠3=90°
    2∠2=90°∴ ∠2=45°
    即∠DCE=45°

8. 已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, BE, CF是三角形ABC的角平分线．
求证：BE=CF
证明：
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB

∴∠1=∠2    ∵BC=BC  ∠1=∠2 ∠ABC=∠ACB
∴△BEC≌△CFB (ASA)
∴BE=CF

9. 证明：
∵△ACM,△CBN是等边三角形
在△ACN和△MCB中
∴AC=MC
∠ACN=∠MCB=60°+∠MCN
CN=CB
∴△ACN≌△MCB (SAS)
∴AN=MB

10. 已知：△ABC中,AB=AC,CD, BE分别是腰AB, AC上的高, 且CD, BE交于O
求证：OB=OC
证明：
    ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB
       ∵CD, BE分别是腰AB, AC上的高
    ∴∠BDC=∠CEB=Rt∠
        BC=CB
       ∴△DBC≌△ECB (AAS)
      在△BOC中, ∵∠1=∠2, ∴OB=OC

11. 略证：由已知证得BD平分∠ABC
      ∠DBC=30°
      ∵CE=CD ∠ACB=60°
      ∴∠E=∠DBC=30°
      ∴DB=DE
      ∵DM⊥BC
      ∴M是BE的中点.

12. 已知：△ABC中, AB=AC, BD=CE
求证：AD=AE
证：∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB
    ∴∠ABD=∠ACE
    ∵AB=AC, ∠ABD=∠ACE, BD=CE
    ∴△ABD≌△ACE (SAS)
    ∴AD=AE

13.
14. 证明：作AE⊥BC于E交CD于F
则AE平分∠BAC, 即∠1＝∠2
在△ADF和△CEF中
∵∠ADF=∠CEF=Rt∠
∠AFD=∠CFE(对顶角相等)
∴∠1=∠FCE

15.
证明：
    延长DB到F, 使BF=AB, 连结AF
    ∵∠F=∠BAF , ∴∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F
    ∵∠ABC=2∠ACB ∴∠F=∠C, AC=AF
    ∵AD⊥BC ∴DC=DF
    ∵DF=BD+BF=AB+DB
    ∴DC=AB+DB